不定积分的概念及其性质教学课件

1、Nove. 30 Mon. 第四章 不定积分不定积分的概念及性质；不定积分的换元法；不定积分的分部积分法；有理函数不定积分.第1页，共40页。微积分产生的原因:1. 求物体在任意时刻的速度和加速度；2. 求曲线的切线：透镜设计和轨迹的切线方向；3. 求最大值和最小值： 获得炮弹射程最大的发射角问题； 行星离开太阳的最远和最近距离问题；4.微小量的累加：曲线长，曲线围成的面积，曲面围 成的体积，物体重心。第2页，共40页。一元函数积分学基本问题 由此引出原函数与不定积分的概念；2. 计算诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量的无穷 累加问题。 由此引出定积分的概念。第3页，共40页。定积分不定积分Ne

2、wton Leibnize 公式(17世纪)一个函数的定积分可以通过计算它的原函数而方便的计算出来。原函数的存在性又可以由定积分决定。第4页，共40页。1 不定积分的概念及其性质原函数及不定积分不定积分的几何意义；基本积分表；不定积分的性质。第5页，共40页。一. 原函数(primitive function)与不定积分定义：第6页，共40页。问题：(1) 原函数是否唯一？(2) 若不唯一,它们之间有什么联系？第7页，共40页。定理：证明：再证它是全部原函数。第8页，共40页。任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量第9页，共40页。原函数存在定理：连续函数一定有原函数.第10页，共40页。例

3、1 求解解例2 求第11页，共40页。的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线 . 二. 不定积分的几何意义第12页，共40页。解：第13页，共40页。简单的初值问题(initial problem)：第14页，共40页。三. 基本积分表实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.第15页，共40页。由不定积分的定义，可知结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.第16页，共40页。基本积分表是常数);说明：第17页，共40页。第18页，共40页。第19页，共40页。例 求积分解根据积分公式（2）第20页

4、，共40页。积分表与微分表不同，不能给出基本初等函数的积分公式，而只给出原函数为基本初等函数的积分公式。由导数的运算法则，可得积分的运算法则.第21页，共40页。四. 不定积分的性质（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）证明：由条件第22页，共40页。证明：由条件第23页，共40页。Nove. 13 Wed. Review1. 原函数与不定积分的概念：3. 不定积分与微分的关系：2. 几何意义：第24页，共40页。4. 基本积分表；5. 不定积分的性质：第25页，共40页。解：第26页，共40页。解：第27页，共40页。解：第28页，共40页。解：第29页，共40页。解：第30页，共40页。解：第31页，共40页。解：第32页，共40页。解：由题设第33页，共40页。解：第34页，共40页。解: 第35页，共40页。小 结3.基本积分表(1).5.不定积分的性质.1. 原函数的概念：2.不定积分的概念：4.求微分与求积分的互逆关系.Hw：p258 1(双), 2。第36页，共40页。思考与练习1. 证明 2. 若提示:提示:第37页，共40页。3. 若是的原函数 , 则提示:已知第38页，共40页