《经济学微积分》教学课件

1、8.4 多元复合函数的求导法则 一、多元复合函数求导的链式法则二、全微分形式不变性三、小结第1页，共31页。 在一元函数微分学中, 复合函数的求导法则起着重要的作用.现在我们把它推广到多元复合函数的情形. 下面按照多元复合函数不同的复合情形, 分三种情况进行讨论.第2页，共31页。一、多元复合函数求导的链式法则定理 1 若函数 及 都在点 t 可导, 1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形合函数 在点 t 可导,且有函数 z = f (u, v) 在对应点 (u, v) 具有连续偏导数,则复第3页，共31页。证明设 t 获得增量 t,则有函数 z = f (u, v) 在点 (u, v) 具

2、有连续偏导数,这里当u 0, v 0 时, 1 0,2 0.将上式两边同除以 t, 得第4页，共31页。当t 0 时, 上述定理的结论可推广到复合函数的中间变量多于两个的情况.第5页，共31页。偏导数, 例如, 设函数 , 及 都在点 t 可导, 函数 z = f (u, v, w) 在对应点 (u, v, w) 具有连续则复合函数 在点 t 可导,且有以上公式中的导数 称为全导数.第6页，共31页。则复合函数2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形 定理 2 若函数 及 都在点 (x, y) 具有对 x 及对 y 的偏导数, 函数 z = f (u, v) 在对且有应点 (u, v) 具有连

3、续偏导数,在点 (x, y) 的两个偏导数都存在, 第7页，共31页。链式法则如下图所示:第8页，共31页。 类似地, 设 , 及 都在点 (x, y) 具有对 x 及对 y 的偏导数, 函数 z = f (u, v, w)在对应点 (u, v, w) 具有连续偏导数,则复合函数且有在点 (x, y) 的两个偏导数都存在, 第9页，共31页。 定理 3 若函数 在点 (x, y) 具有对 x 及对 y 的偏导数, 函数 在点 y 可导, 函数 z =f (u, v) 在对应点 (u, v) 具有连续偏导数,则复合函数且有在点 (x, y) 的两个偏导数都存在, 3、复合函数的中间变量既有一元函

4、数, 又有多元函数的情形第10页，共31页。 说明 在情形 3 中, 还会遇到这样的情形: 复合函数的某些中间变量本身又是复合函数的自变量.例如, 设函数 z = f (u, x, y) 具有连续偏导数,而函数 u = (x, y) 具有偏导数,则复合函数在点 (x, y) 的两个偏导数都存在,且有第11页，共31页。两者的区别区别类似把复合函数 中的 y 看做不变而对 x 的偏导数.把 中的 u 及 y 看做不变而对 x 的偏导数.第12页，共31页。解例 1 设 , 而 u = xy, v = x + y, 求 和 . 第13页，共31页。解 例 2 设 , 而 , 求 和 . 第14页，

5、共31页。解 例 3 设 , 而 , , 求全导数 . 第15页，共31页。 例 4 若函数 f (x, y) 满足 (k 为正整数), 则称 f (x, y) 是 k 次齐次函数. 证明: k 次齐次函数 f (x, y) 满足证明在 z = f (tx, ty) 中, 令则其中 x, y 相对于 t 是常数.由多元复合函数的求导法则, 得第16页，共31页。因此对任何 t, 有在上式中, 令 t = 1 即得第17页，共31页。解令记同理有例 5 设 , f 具有二阶连续偏导数, 求 和 .则由多元复合函数的求导法则, 得第18页，共31页。第19页，共31页。 例 6 设 z = f (

6、u, v) 具有二阶连续偏导数, 利用变换 把 z 关于 u、v 的偏导数表示方程解由多元复合函数的求导法则, 得第20页，共31页。第21页，共31页。所求方程为第22页，共31页。 例 7 设可微函数 z = f (x, y ) 满足方程证明: f (x, y ) 在极坐标系中只是 的函数.证明令则 z = f (x, y) 可视为第23页，共31页。 从而 f (x, y ) 在极坐标系中表达式不含 r, 即只是 的函数.第24页，共31页。二、全微分形式不变性设函数 z = f (u, v) 具有连续偏导数, 则有全微分若 u、v 又是中间变量, 即 u = (x, y)、u = (x

7、, y), 且这两个函数也具有连续偏导数, 则复合函数 的全微分为 第25页，共31页。第26页，共31页。 由此可见: 无论 u, v 是自变量还是中间变量, 函数 z = f (u, v) 的全微分形式是一样的. 这个性质称为全微分形式不变性. 掌握这一规律对于求初等函数的偏导数和全微分会带来很大方便.第27页，共31页。解例 8 已知 , 求 和 . 从而 方程两边求全微分, 得即第28页，共31页。1、多元复合函数求导的链式法则（分三种情况）2、全微分形式不变性（特别要注意课本中所讲的特殊情况）（理解其实质）三、小结第29页，共31页。思考题设 z = f (u, v, x), 而 u = (x)、u = (