代数学基础群和子群的基本概念汇总课件

1、代数学基础内容提要群环和域有限域第1页，共48页。群一般来说，一个代数结构是指一个非空集合S以及定义在S上的二元运算的总体，要求二元运算满足一定的条件。第2页，共48页。定义 群的定义 .第3页，共48页。注意：第4页，共48页。有限群和无限群：如果集合 G 中的元素个数有限，就称群G为 有限群；否则称为无限群。第5页，共48页。阿贝尔群阿贝尔群又称交换群（commutative group)，本章中出现的所有群都是指交换群。第6页，共48页。举例下面，我们给出群的一些具体例子。第7页，共48页。群的例子（1）整数集 Z 在加法下构成群，记为(Z, +). (Z, +)是一个无限群、阿贝尔群。

2、 有理数集Q、实数集R和复数集C关于加法都形成无限群。单位元，逆元素的定义与整数加法群相同。第8页，共48页。群的例子（2）Q、R 和 C中的非零元素在乘法下构成群。将这些群分别记为Q*、R*和C*。 这三个群的完整表示是(Q*, , (R*, , (C*, 。 将这些群称为乘法群。第9页，共48页。群的例子（3）对任意自然数 n , 整数模 n 集合构成一个包含 n 个元素的有限加法群，这里的加法运算是模 n 加，将这个群记为Zn 。 这个群的完整表示为（Zn，+(mod n)）. 注意: Zn 是 Z/nZ的简化表示。第10页，共48页。群的例子（4）时钟上表示小时的数字在模12加法下构成

3、群Z12 , 将（ Z12 , +(mod 12)称为时钟群。第11页，共48页。群的例子（5）Zn=0, 1, 2, , (n-1) Zn中所有与 n 互素的的元素是Zn的一个子 集, 这个子集按照模 n 乘法运算构成一个群，用Zn*表示。 例如， (Z15*, (mod15) ) = (1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, (mod15) ) 第12页，共48页。群的例子（6）集合B=0,1，在异或运算下形成群。第13页，共48页。群的例子（7）x3 -1=0的根在乘法运算下构成一个有限群。 x =1是方程的一个解，该方程有三个根。 用u和v表示其它两个根。由于 x3 -1

4、=(x-1)(x2 + x + 1) 则u和v是 x2 + x + 1=0的两个根。 由二次方程根与系数的关系， u和v互逆。 封闭性: (x2)3 1 =0 。第14页，共48页。群的例子(8)置换群 S=1,2,n Sn是S上所有置换构成的集合 | Sn |=n! , 是Sn中置换, 表示和的复合, 即(x)=(x) Sn构成群, 称为n阶对称群.第15页，共48页。置换的表示 = = = 第16页，共48页。 (1234)(56) = = (132) (1432) = (1423) 第17页，共48页。重复群运算的简化表示第18页，共48页。第19页，共48页。群的性质第20页，共48页

5、。子群第21页，共48页。子群对于群 G 的一个非空子集H，要判别H是否是G的子群，需要验证4条：封闭性结合律（不必验证）单位元逆元素第22页，共48页。子群的例子（1）在加法运算下，Z Q R C.注意，在这个例子中：子群中的单位元和群中的单位元相同，都是0子群中元素的逆元素和群中该元素的逆元素一致第23页，共48页。子群的例子（2）全体偶数的集合（包括0），在加法运算下，是整数加法群的一个子群。因此也是 （1）中所有群的子群。第24页，共48页。子群的例子（3）在乘法运算下， Q* R* C*。 第25页，共48页。子群的例子（4）第26页，共48页。子群的例子（5）B=0,1在异或运算下

6、是一个群。0是B的一个真子群1不是B的子群第27页，共48页。子群的例子（6）设G是一个群，e是它的单位元e和G是群G的两个平凡子群。第28页，共48页。群的阶有限群G中元素的个数称为G的阶，记为#G.#Zn = nB=0,1按照异或运算，#B = 2#Roots (x3-1) = 3第29页，共48页。子群中的单位元在我们给出的例子中，子群的单位元就是包含它的群的单位元！事实上，对任意子群都有这样的结论成立： 证明: 设H是G的一个子群，H中的单位元为eH，G 中的单位元为eG。那么，在H中，有eH 。eH = eH； 在G中，有eH 。eG = eH。从而可得到eH = eG。第30页，共

7、48页。子群中的逆元素由于eH = eG，因此子群H中元素的逆元正是它在G中的逆元。第31页，共48页。子群的判别 (1)子群的判别方法：第32页，共48页。第33页，共48页。子群的判别(2)设H是群G的一个非空子集, H是G的子群的充要条件是对任意的元素x, y H, 有xy-1 H.第34页，共48页。子群的判别 (3)当 H 是一个有限集合时，判别会变得容易些，只需满足封闭性即可：第35页，共48页。拉格朗日定理陪集（Coset）的定义第36页，共48页。拉格朗日定理：第37页，共48页。商群的概念注: 此处，首先应说明商群上的运算是一个二元运算。实际上，商群上的运算可以看作集合之间的

8、乘法运算，因为：第38页，共48页。商群的例子(1) 设 n0 是一个整数，在加法运算下，集合 nZ=0, n, -n, 2n, -2n,是Z的一个子群， 那么商群 Z/nZ=x+nZ | x为任一整数 有n个元素，即 Z/nZ=0+nZ,1+nZ,n-1+nZ 可以看出Z/nZ=Zn 事实上，Z/nZ是Zn的正式和标准记法，为了表达的方便， 用Zn代替Z/nZ。第39页，共48页。商群的阶第40页，共48页。商群的例子(2)第41页，共48页。群元素的阶注：当一个元素g的阶ord(g)有限时，如果有gn =e成立，则必有ord(g)|n，即n一定是ord(g)的倍数。第42页，共48页。例子（1）在时钟群Z12中：12是满足112=0 (mod 12)的最小正整数，所有ord(1)=12；类似地，ord(2)=6，ord(3)=4，ord(4)=3， ord（5）=12。第43页，共48页。例子（2）0, 1关于异或运算形成一个群，ord(0)=1, ord(1)=2.第44页，共48页。例子（3）在群Roots(x3-1)中，ord(u)=ord(v)