高中数学选修第一册：3.2.2 双曲线的简单几何性质（分层练习）-2020-2021学年高二数学新教材配套练习（人教A版选择性必修第一册）

1、3.2.2 双曲线的简单几何性质 基 础 练 巩固新知 夯实基础1.已知双曲线的离心率为2，焦点是(4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为()A.eq f(x2,4)eq f(y2,12)1 B.eq f(x2,12)eq f(y2,4)1C.eq f(x2,10)eq f(y2,6)1 D.eq f(x2,6)eq f(y2,10)12.双曲线3x2y23的渐近线方程是()A.y3x B.yeq f(1,3)xC.yeq r(3)x D.yeq f(r(3),3)x3已知双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线

2、C的方程为( )Aeq f(x2,20)eq f(y2,5)1Beq f(x2,5)eq f(y2,20)1Ceq f(x2,80)eq f(y2,20)1Deq f(x2,20)eq f(y2,80)14已知双曲线C：eq f(x2,3)y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()Aeq f(3,2)B3C2eq r(3)D45.已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆eq f(x2,25)eq f(y2,16)1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为_.6若双曲线x2eq f(y2,m)1的离心率为eq r(3)

3、，则实数m_，渐近线方程是_7以yx为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为_8.已知双曲线的一条渐近线为xeq r(3)y0，且与椭圆x24y264有相同的焦距，求双曲线的标准方程. 能 力 练 综合应用 核心素养9若实数k满足0k5，则曲线eq f(x2,16)eq f(y2,5k)1与曲线eq f(x2,16k)eq f(y2,5)1的()A实半轴长相等 B虚半轴相等 C离心率相等 D焦距相等10(多选题)关于双曲线C1：4x29y236与双曲线C2：4x29y236的说法正确的是()A有相同的焦点 B有相同的焦距C有相同的离心率 D有相同的渐近线 11若a1，则双曲线eq f(x2,a

4、2)y21的离心率的取值范围是()A(eq r(2)，) B(eq r(2)，2) C(1，eq r(2) D(1,2)12.已知F是双曲线C：eq f(x2,4)eq f(y2,5)1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点.若|OP|OF|，则OPF的面积为()A.eq f(3,2) B.eq f(5,2) C.eq f(7,2) D.eq f(9,2)13过双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若PF1Q90，则双曲线的离心率是()Aeq r(2) B1eq r(2) C2eq r(2) D3eq r(2)14.双曲线eq f(x

5、2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的离心率为eq r(3)，则其渐近线方程为_.15.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2eq f(y2,b2)1(b0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_.已知椭圆eq f(x2,6)eq f(y2,2)1与双曲线eq f(x2,3)y21的公共焦点为左焦点F1，右焦点F2，点P是两条曲线在第一象限内的一个公共点，则|PF1|_，cosF1PF2的值为_17.已知圆M：x2(y5)29，双曲线G与椭圆C：eq f(x2,50)eq f(y2,25)1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程.18已知双曲线C：eq

6、f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的一个焦点是F(2,0)，离心率e2.(1)求双曲线C的方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程【参考答案】1. A 解析依题意知焦点在x轴上，c4，eq f(c,a)2，a2.b2c2a212.故双曲线的方程为eq f(x2,4)eq f(y2,12)1.2. C 解析双曲线方程可化为标准形式为eq f(x2,1)eq f(y2,3)1，a1，beq r(3)，双曲线的渐近线方程为yeq f(b,a)xeq r(3)x.3. A双曲线C的渐近线方程

7、为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)0，又点P(2,1)在C的渐近线上，所以eq f(4,a2)eq f(1,b2)0，即a24b2.又a2b2c225.由，得b25，a220，所以双曲线C的方程为eq f(x2,20)eq f(y2,5)1，故选A.B根据题意，可知其渐近线的斜率为eq f(r(3),3)，且右焦点为F(2,0)，从而得到FON30，所以直线MN的倾斜角为60或120，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60，可以得出直线MN的方程为yeq r(3)(x2)，分别与两条渐近线yeq f(r(3),3)x和yeq f(r(3),3)x联立，求得M(3，eq r(3) ，N

8、eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(r(3),2)，所以|MN|eq r(blc(rc)(avs4alco1(3f(3,2)sup12(2)blc(rc)(avs4alco1(r(3)f(r(3),2)sup12(2)3.5. 4x3y0 解析由椭圆eq f(x2,25)eq f(y2,16)1知长轴端点分别为(5，0)和(5，0)，焦点是(3，0)，(3，0)，由此可知双曲线的焦点为(5，0)，(5，0)，顶点为(3，0)，(3，0)，所以双曲线方程为eq f(x2,9)eq f(y2,16)1，渐近线方程为4x3y0.6. 2yeq r(2)xa21，b2m，e2e

9、q f(c2,a2)eq f(a2b2,a2)1m3，m2.渐近线方程是yeq r(m)xeq r(2)x.7. eq f(x2,4)eq f(y2,4)1以yx为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为x2y2(0)，代入点(2,0)得4，x2y24，即eq f(x2,4)eq f(y2,4)1.8.解椭圆方程为eq f(x2,64)eq f(y2,16)1，可知椭圆的焦距为8eq r(3).当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1 (a0，b0)，eq blc(avs4alco1(a2b248，,f(b,a)f(r(3),3)，)解得eq blc

10、(avs4alco1(a236，,b212.)双曲线的标准方程为eq f(x2,36)eq f(y2,12)1；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1 (a0，b0)，eq blc(avs4alco1(a2b248，,f(a,b)f(r(3),3)，)解得eq blc(avs4alco1(a212，,b236.)双曲线的标准方程为eq f(y2,12)eq f(x2,36)1.由可知双曲线的标准方程为eq f(x2,36)eq f(y2,12)1或eq f(y2,12)eq f(x2,36)1.9. D由于16(5k)(16k)5，所以焦距相等1

11、0.BD两方程均化为标准方程为eq f(y2,4)eq f(x2,9)1和eq f(x2,9)eq f(y2,4)1，这里均有c24913，所以有相同的焦距，而焦点一个在x轴上，另一个在y轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐近线均为yeq f(2,3)x，故D正确C1的离心率eeq f(r(13),2)，C2的离心率eeq f(r(13),3)，故C错误11. C由题意得双曲线的离心率eeq f(r(a21),a).即e2eq f(a21,a2)1eq f(1,a2).a1，0eq f(1,a2)1，11eq f(1,a2)2，1eeq r(2).故选C.12. B 解析由F是双曲线eq f

12、(x2,4)eq f(y2,5)1的一个焦点，知|OF|3，所以|OP|OF|3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x00，y00，则eq blc(avs4alco1(r(xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)3，,f(xeq oal(2,0),4)f(yeq oal(2,0),5)1，)解得eq blc(avs4alco1(xeq oal(2,0)f(56,9)，,yeq oal(2,0)f(25,9)，)所以Peq blc(rc)(avs4alco1(f(2r(14),3)，f(5,3)，所以SOPFeq f(1,2)|OF|y0eq f(1,2)3eq f(5,3)eq

13、f(5,2). B因为|PF2|F2F1|, P点满足eq f(c2,a2)eq f(y2,b2)1，yeq f(b,a)eq r(c2a2)，2ceq f(b,a)eq r(c2a2)，即2acb2c2a2，2eeq f(1,e)，又e0，故e1eq r(2).14. yeq r(2)x 解析因为双曲线的离心率为eq r(3)，所以eq f(c,a)eq r(3)，即ceq r(3)a.又c2a2b2，所以(eq r(3)a)2a2b2，化简得2a2b2，所以eq f(b,a)eq r(2).因为双曲线的渐近线方程为yeq f(b,a)x，所以yeq r(2)x.15.yeq r(2)x解析

14、因为双曲线x2eq f(y2,b2)1(b0)经过点(3，4)，所以9eq f(16,b2)1(b0)，解得beq r(2)，即双曲线方程为x2eq f(y2,2)1，其渐近线方程为yeq r(2)x.16.eq r(6)eq r(3)eq f(1,3)因为F1，F2分别为左、右焦点，点P在第一象限，由椭圆与双曲线的定义可得eq blcrc (avs4alco1(|PF1|PF2|2r(6)，,|PF1|PF2|2r(3)，)解得eq blcrc (avs4alco1(|PF1|r(6)r(3)，,|PF2|r(6)r(3)，)又|F1F2|4，所以由余弦定理得cosF1PF2eq f(|PF

15、1|2|PF2|2|F1F2|2,2|PF1|PF2|)eq f(1,3).17. 解椭圆C：eq f(x2,50)eq f(y2,25)1的两焦点为F1(5，0)，F2(5，0)，故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c5.设双曲线G的方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，则G的渐近线方程为yeq f(b,a)x，即bxay0，且a2b225.圆M的圆心为(0，5)，半径为r3.eq f(|5a|,r(a2b2)3，a3，b4.双曲线G的方程为eq f(x2,9)eq f(y2,16)1.18. 解(1)由已知得c2，e2，所以a1，beq r(3).所以所求双曲线方程为x2eq f(y2,3)1.(2)设直线l的方程为yxm，点M(x1，y1)，N(x2，y2)联立eq blcrc (avs4alco1(