高中数学选修第一册：1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-2020-2021学年高二数学新教材配套学案（人教A版选择性必修第一册）

1、1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系【学习目标】课程标准学科素养1.了解空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义，并会求平面的法向量.（难点）3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行以及垂直问题（重点） 1、直观想象2、数学运算3、数学抽象【自主学习】空间中点、直线、平面的向量表示（1）点的向量表示 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量eq o(OP,sup6()来表示。我们把向量eq o(OP,sup6()称为点P的 。(2)直线的向量表示 条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线的 )形式在直线l

2、上取eq o(AB,sup6()a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得eq o(AP,sup6()teq o(AB,sup6()(3)平面的向量表示通过平面上的一个定点A和法向量来确定：平面的法向量直线l，直线l的 ，叫做平面的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的2.平面的法向量及其求法在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤：(1)设平面的法向量为n(x，y，z)；(2)找出(求出)平面内的两个 的向量a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)；(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组eq blcrc (avs4alco1(na0，,nb

3、0；)(4)解方程组，取其中的 ，即得平面的一个法向量3.空间中直线、平面的平行设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则线线平行lm akb(kR)线面平行la 面面平行v 空间中直线、平面的垂直设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，直线m的方向向量为b(a2，b2，c2)，平面的法向量(a3，b3，c3)，平面的法向量为v(a4，b4，c4)，则线线垂直lm a1a2b1b2c1c20线面垂直la 面面垂直v v0 【小试牛刀】1.判断正错(1)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行( )(2)若直线l1，l2的方向向量分别为a(1,

4、2，2)，b(2,3,2)，则l1l2.( )(3)平面的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量( )(4)两直线的方向向量垂直，则两条直线垂直( )(5)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直( )2若A(1,0，1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是()A(2,2,6) B(1,1,3) C(3,1,1) D(3,0,1)3已知平面的法向量为a(1,2，2)，平面的法向量为b(2，4，k)，若，则k等于()A5 B4 C4 D5【经典例题】题型一求平面的法向量例1 如图所示，在四棱锥SABCD中，底面是直角梯形，AD

5、BC，ABC90，SA底面ABCD，且SAABBC1，ADeq f(1,2)，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量跟踪训练 1 已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量题型二 空间中直线、平面的平行问题注意：利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题例2已知u是平面的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u(3,1,2)，a(2,2,2)，则l与的位置关系是_例3 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(

6、1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.跟踪训练 2在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PDDC，E是PC的中点证明：PA平面EDB.题型三 空间中直线、平面的垂直问题例4 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，求证：ACBC1.例5 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点(1)求证：平面AED平面A1FD1；(2)在直线AE上求一点M，使得A1M平面AED.跟踪训练3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点求证：A1O平面GBD.【当堂

7、达标】1下列命题中，正确命题的个数为()若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2；若n1，n2分别是平面，的法向量，则 n1n20；若n是平面的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面平行，则na0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直A1 B2 C3 D42已知a(2,4,5)，b(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量若l1l2，则()Ax6，y15 Bx3，yeq f(15,2) Cx3，y15 Dx6，yeq f(15,2)3设直线l1，l2的方向向量分别为a(2,2,1)，b(3，2，m)，若l1l2，则m等于()A2 B2 C6 D104设直线l的方向向量为a，平面

8、的法向量为b，若ab0，则()Al Bl Cl Dl或l5在直三棱柱ABCA1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是_(填序号)eq o(AB,sup6()； eq o(AA1,sup6()； eq o(B1B,sup6()； eq o(A1C1,sup6().6已知平面和平面的法向量分别为a(1,1,2)，b(x，2,3)，且，则x_.7在三棱锥SABC中，SABSACACB90，AC2，BCeq r(13)，SBeq r(29)，则异面直线SC与BC是否垂直_(填“是”或“否”)8.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，ABAD2，CD4，M为

9、CE的中点(1)求证：BM平面ADEF；(2)求证：BC平面BDE；(3)证明平面BCE平面BDE.【参考答案】【自主学习】1.位置向量 方向向量 方向向量 2.不共线 一组解 3. ab a0 kv(kR)4. ab0 ak(kR) a3a4b3b4c3c40 【小试牛刀】1. 2.A 解析A，B在直线l上，eq o(AB,sup6()(1,1,3)，与eq o(AB,sup6()共线的向量(2,2,6)可以是直线l的一个方向向量3.D 解析，ab，ab282k0，k5.【经典例题】例1 解以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

10、则A(0,0,0)，Deq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，则eq o(DC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1，0)，eq o(DS,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，1).向量eq o(AD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，0)是平面SAB的一个法向量设n(x，y，z)为平面SDC的一个法向量，则eq blcrc (avs4alco1(no(DC,sup6()f(1,2)xy0，,no(DS,sup6()f(1,2

11、)xz0，)即eq blcrc (avs4alco1(yf(1,2)x，,zf(1,2)x.)取x2，得y1，z1，故平面SDC的一个法向量为(2，1,1)跟踪训练 1解设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，由题意知eq o(AB,sup6()(1,1,0)，eq o(BC,sup6()(1,0，1)neq o(AB,sup6()，neq o(BC,sup6()，eq blcrc (avs4alco1(no(AB,sup6()xy0，,no(BC,sup6()xz0，)解得eq blcrc (avs4alco1(xy，,xz.)令x1，则yz1.平面ABC的一个法向量为n(1,1,1)例2

12、l或l 解因为ua(3,1,2)(2,2,2)3(2)12220.所以ua，所以l或l.例3 证明(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以eq o(FC1,sup6(-)(0,2,1)，eq o(DA,sup6()(2,0,0)，eq o(AE,sup6()(0,2,1)设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1eq o(DA,sup6()，n1eq o(AE,sup6()，即e

13、q blcrc (avs4alco1(n1o(DA,sup6()2x10，,n1o(AE,sup6()2y1z10，)得eq blcrc (avs4alco1(x10，,z12y1，)令z12，则y11，所以n1(0，1,2)因为eq o(FC1,sup6(-)n1220，所以eq o(FC1,sup6(-)n1.又因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)因为eq o(C1B1,sup6(-)(2,0,0)，设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量由n2eq o(FC1,sup6(-)，n2eq o(C1B1,sup6(-)，得eq blcrc (avs4alco1(n

14、2o(FC1,sup6(-)2y2z20，,n2o(C1B1,sup6(-)2x20，)得eq blcrc (avs4alco1(x20，,z22y2.)令z22，得y21，所以n2(0，1,2)，因为n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.跟踪训练 2 证明如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PDDCa.方法一连接AC，交BD于点G，连接EG，依题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0，eq f(a,2)，eq f(a,2)因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为(eq f(a,2)，eq f(a,2)，0)，所以eq o(EG,

15、sup6()(eq f(a,2)，0，eq f(a,2)又eq o(PA,sup6()(a,0，a)，所以eq o(PA,sup6()2eq o(EG,sup6()，这表明PAEG.而EG平面EDB，且PA平面EDB，所以PA平面EDB.方法二设平面BDE的法向量为n(x，y，z)，eq o(DE,sup6()(0，eq f(a,2)，eq f(a,2)，eq o(EB,sup6()(a，eq f(a,2)，eq f(a,2)，则有eq blcrc (avs4alco1(no(DE,sup6()0，,no(EB,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(f(a,2)yz0，,

16、axf(y,2)f(z,2)0，)即eq blcrc (avs4alco1(yz0，,2xyz0.)令y1，则eq blcrc (avs4alco1(x1，,z1.)所以n(1，1,1)，又eq o(PA,sup6()(a,0，a)，所以neq o(PA,sup6()(1，1,1)(a,0，a)aa0.所以neq o(PA,sup6().所以PA平面EDB.例4 证明直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5，AC，BC，C1C两两垂直如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz. 则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(

17、0,0,4)，B(0,4,0)，eq o(AC,sup6()(3,0,0)，eq o(BC1,sup6(-)(0，4,4)，eq o(AC,sup6()eq o(BC1,sup6(-)0.ACBC1.例5 (1)证明以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，eq o(DA,sup6()eq o(D1A1,sup6(-)(2,0,0)，eq o(DE,sup6()(2,2,1)，eq o(D1F,sup

18、6(-)(0,1，2)设平面AED的一个法向量为n1(x1，y1，z1)由eq blcrc (avs4alco1(n1o(DA,sup6()x1，y1，z12，0，00，,n1o(DE,sup6()x1，y1，z12，2，10，)得eq blcrc (avs4alco1(2x10，,2x12y1z10.)令y11，得n1(0,1，2)同理，平面A1FD1的一个法向量为n2(0,2,1)n1n2(0,1，2)(0,2,1)0，n1n2，平面AED平面A1FD1.(2)解由于点M在直线AE上，因此可设eq o(AM,sup6(-)eq o(AE,sup6()(0,2,1)(0,2，)，则M(2,2

19、，)，eq o(A1M,sup6(-)(0,2，2)要使A1M平面AED，只需eq o(A1M,sup6(-)n1，即eq f(2,1)eq f(2,2)，解得eq f(2,5).故当AMeq f(2,5)AE时，A1M平面AED.跟踪训练3 证明方法一如图取D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设正方体棱长为2，则O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，eq o(OA1,sup6()(1，1,2)，eq o(OB,sup6()(1,1,0)，eq o(BG,sup6()(2,0,1)，而eq o(

20、OA1,sup6()eq o(OB,sup6()1100，eq o(OA1,sup6()eq o(BG,sup6()2020.eq o(OA1,sup6()eq o(OB,sup6()，eq o(OA1,sup6()eq o(BG,sup6()，即OA1OB，OA1BG，而OBBGB，OA1平面GBD.方法二同方法一建系后，设面GBD的一个法向量为n(x，y，z)，则eq blcrc (avs4alco1(o(BG,sup6()n0,o(BD,sup6()n0)，eq blcrc (avs4alco1(2xz0,2x2y0)，令x1得z2，y1，平面GBD的一个法向量为(1，1,2)，显然eq

21、 o(A1O,sup6()(1,1，2)n，eq o(A1O,sup6()n，A1O平面GBD.【当堂达标】1.C 解析中平面，可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知正确2.D解析由l1l2得，eq f(2,3)eq f(4,x)eq f(5,y)，解得x6，yeq f(15,2).3.D解析l1l2，ab0，2322m0，m10.4.D 解析ab0，l或l.5. 解析AA1平面ABC，B1B平面ABC，eq o(AA1,sup6()与eq o(B1B,sup6()可以作为平面ABC的法向量6.4 解析，ab0，x2230，x4.7.是解析如图，以A为坐标原点，AB，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则由AC2，BCeq r(13)，SBeq r(29)，得B(0，eq r(17)，0)，S(0,0，2eq r(3)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(2r(f(13,17)，f(4,r(17)，0)，eq o(SC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(2r(f(13,1