高中数学选修第一册：课时跟踪检测（十八） 椭圆及其标准方程

1、课时跟踪检测（十八） 椭圆及其标准方程1若椭圆eq f(x2,25)eq f(y2,4)1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为()A6B7C8D9解析：选B根据椭圆的定义知，|PF1|PF2|2a2510，因为|PF1|3，所以|PF2|7.2若椭圆eq f(x2,m)eq f(y2,4)1的焦距为2，则m的值为()A5B3C5或3D8解析：选C由题意得c1，a2b2c2.当m4时，m415；当m|F1F2|8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误故选A、C.4“1m3”是“方程eq f(x2,m1)eq f(y2,3m)1表示椭

2、圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B当方程eq f(x2,m1)eq f(y2,3m)1表示椭圆时，必有eq blcrc (avs4alco1(m10，,3m0，,m13m，)所以1m3且m2；当m2时，方程变为x2y21，它表示一个圆故选B.5已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|2eq r(3)，若2|F1F2|PF1|PF2|，则椭圆C的标准方程为()A.eq f(x2,12)eq f(y2,9)1B.eq f(x2,12)eq f(y2,9)1或eq f(x2,9)eq f(y2,12)1C.eq f(x2,9)eq

3、 f(y2,12)1D.eq f(x2,48)eq f(y2,45)1或eq f(x2,45)eq f(y2,48)1解析：选B由已知2c|F1F2|2eq r(3)，ceq r(3).2a|PF1|PF2|2|F1F2|4eq r(3)，a2eq r(3).b2a2c29.故椭圆C的标准方程是eq f(x2,12)eq f(y2,9)1或eq f(x2,9)eq f(y2,12)1.6若ABC的两个顶点坐标为A(4,0)，B(4,0)，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为_解析：ABC的两个顶点坐标为A(4,0)，B(4,0)，周长为18，|AB|8，|BC|AC|10.|BC|AC|8

4、，点C到两个定点A，B的距离之和为定值，点C的轨迹是以A，B为焦点，去除直线AB上的点的椭圆2a10,2c8，b3.顶点C的轨迹方程是eq f(x2,25)eq f(y2,9)1(y0)答案：eq f(x2,25)eq f(y2,9)1(y0)7已知椭圆eq f(x2,9)eq f(y2,2)1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上若|PF1|4，则|PF2|_，F1PF2的大小为_解析：|PF1|PF2|2a6，|PF2|6|PF1|2.在F1PF2中，由余弦定理得cosF1PF2eq f(|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,2|PF1|PF2|)eq f(16428,242)eq

5、f(1,2)，F1PF2120.答案：21208椭圆的两焦点为F1(4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若PF1F2的面积最大为12，则椭圆的方程为_解析：如图，当P在y轴上时PF1F2的面积最大，eq f(1,2)8b12，b3.又c4，a2b2c225.椭圆的标准方程为eq f(x2,25)eq f(y2,9)1.答案：eq f(x2,25)eq f(y2,9)19求符合下列条件的椭圆的标准方程(1)过点eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(6),3)，r(3)和eq blc(rc)(avs4alco1(f(2r(2),3)，1)；(2)过点(3,2)且与椭圆eq f(x2

6、,9)eq f(y2,4)1有相同的焦点解：(1)设所求椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)椭圆过点eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(6),3)，r(3)和eq blc(rc)(avs4alco1(f(2r(2),3)，1)，eq blcrc (avs4alco1(mblc(rc)(avs4alco1(f(r(6),3)2nr(3)21，,mblc(rc)(avs4alco1(f(2r(2),3)2n121，)解得eq blcrc (avs4alco1(m1，,nf(1,9).)所求椭圆的标准方程为x2eq f(y2,9)1.(2)由题意得已知椭圆eq f(x2,9)e

7、q f(y2,4)1中a3，b2，且焦点在x轴上，c2945.设所求椭圆方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,a25)1.点(3,2)在所求椭圆上，eq f(9,a2)eq f(4,a25)1.a215或a23(舍去)所求椭圆的标准方程为eq f(x2,15)eq f(y2,10)1.10已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程解：法一：设所求的椭圆方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)或eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)，由已知条件得eq blcrc (a

8、vs4alco1(2a53，,2c25232，)解得eq blcrc (avs4alco1(a4，,c2，)所以b2a2c212.于是所求椭圆的标准方程为eq f(x2,16)eq f(y2,12)1或eq f(y2,16)eq f(x2,12)1.法二：设所求的椭圆方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)或eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)，两个焦点分别为F1，F2.由题意知2a|PF1|PF2|358，所以a4.在方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1中，令xc，得|y|eq f(b2,a)；在方程eq f(y2,a2)eq f(x2

9、,b2)1中，令yc，得|x|eq f(b2,a).依题意有eq f(b2,a)3，得b212.于是所求椭圆的标准方程为eq f(x2,16)eq f(y2,12)1或eq f(y2,16)eq f(x2,12)1.B级综合运用11椭圆eq f(x2,25)eq f(y2,9)1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知eq o(PF1,sup7()eq o(PF2,sup7()0，则F1PF2的面积为()A9B12C10D8解析：选Aeq o(PF1,sup7()eq o(PF2,sup7()0，PF1PF2.|PF1|2|PF2|2|F1F2|2且|PF1|PF2|2a.又a5，b3，c4

10、，eq blcrc (avs4alco1(|PF1|2|PF2|264，,|PF1|PF2|10. )2，得2|PF1|PF2|36，|PF1|PF2|18，F1PF2的面积为Seq f(1,2)|PF1|PF2|9.12已知P为椭圆eq f(x2,25)eq f(y2,16)1上的一点，M，N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则|PM|PN|的最小值为()A5B7C13D15解析：选B由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|PF2|10，从而|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|127.13椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反

11、射后恰好穿过另一个焦点现从椭圆eq f(x2,9)eq f(y2,5)1的左焦点F发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点F，则光线所经过的总路程为_解析：依题意可知光线经两次椭圆壁反射后回到F点，故根据椭圆的定义可知所走的路程正好是4a4312.答案：1214已知椭圆eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)的焦点分别是F1(0，1)，F2(0,1)，且3a24b2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|PF2|1，求F1PF2的余弦值解：(1)依题意，知c21，又c2a2b2，且3a24b2，所以a2eq f(3,4)a21，即eq f(1,4)

12、a21，所以a24，b23，故椭圆的标准方程为eq f(y2,4)eq f(x2,3)1.(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|PF2|2a224.又|PF1|PF2|1，所以|PF1|eq f(5,2)，|PF2|eq f(3,2).又|F1F2|2c2，所以由余弦定理得cos F1PF2eq f(blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)2blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)222,2f(5,2)f(3,2)eq f(3,5).故F1PF2的余弦值等于eq f(3,5).C级拓展探究15设F1，F2分别是椭圆eq f(x2,4)y21的两焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，1)(1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|PF2|的最大值；(2)设M是该椭圆上的一个动点，求MBF1的周长的最大值解：(1)因为椭圆的方程为eq f(x2,4)y21，所以a2，b1，ceq r(3)，即|F1F2|2eq r(3)，又因为|PF1|PF2|2a4，所以|PF