2026年邵阳市高三第二次联考试题数学试卷含答案

2026年邵阳市高三第二次联考试题卷本试卷共4页，19个小题。满分150分。考试时间120分钟。1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。将条形码横贴在2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x²-x-6≤0},集合B={x|y=A.(-∞,3)B.(-2,2)C.(-2,2)B.复数z在复平面内对应的点位于第一象限C.复数z的共轭复数为-1+i3.在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且若ED=λAD+μAB,其中4.清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加志愿者，则不同的派法共有5.已知函,则下列结论错误的是2026年邵阳市高三第二次联考试题卷(数学)第1页(共4页)2026年邵阳市高三第二次联考试题卷(数学)第2页(共4页)6.已知M是△ABC内的一点，且AB·AC=4√3,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA和△MAB的面积分别为1,x,y,则的最小值是A.4√3+2B.9C.15A.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增B.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减C.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增D.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减8.在正四棱锥P-ABCD中，E是棱PA的中点，平面EBC将该正四棱锥分B二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.已知F₁,F₂分别是椭圆C:的左、右焦点，过F₁的直线l交C于A,B两点，A.△ABF₂的周长为8B.|AF₁I·|AF₂|≤4A.数据2,3,4,5,6,7,8,9的第25百分位数为3B.若随机变量X~B(6,p),C.某校在对高一(2)班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105,方差为24,随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102,方差为21,则这15名学生的数学成绩的方差为25D.一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率则下列选项正确的是B.若D是边AC的中点，则线段BD的长的最小值C.cosA+cosB+cosC的最大值为D.若点0是△ABC的外心，且BO=λBA+μBC,c=2,则2026年邵阳市高三第二次联考试题卷(数学)第3页(共4页)三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)动点P满足|PA|=2|PB|.四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)已知数列{an}是等差数列，且a₁=1,2a₃=a₄+3,数列{bn}满足b₁=3,(2)若数列{cn}满足cn=aₙ+bn,求{cn}的前n项和Tₙ.16.(15分)为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法从甲、乙两所学校共抽取120名学生.通过测验得到如下数据：甲校50名学生中有10名学生的数学成绩优秀；乙校70名学生中有10名学生的数学成绩优秀.根据抽样数据的分析，得到不完整抽样数据列联表，如表(一)所示.学校合计不优秀甲校乙校合计(1)完成表(一)列联表，依据小概率值α=0.1的X²独立性检验，能否据此推断两校(2)已知甲、乙两所学校利用AI自习室帮助数学不优秀的学生进行成绩有效转化，且转化数据如下：甲校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为乙校数学不优秀机抽样的方式抽出1名学生，用样本估计总体，用频率估计概率，求该学生数学成绩有效转化的概率.α2026年邵阳市高三第二次联考试题卷(数学)第4页(共4页)(2)设点Q是三棱锥P-BCD的外接球的球心，且四棱锥P-ABCD的体积是7√2,求直线QC与平面PCD所成角的正弦值.CC(1)若l与E的渐近线分别交于A,B两点，证明：点P为线段AB的中点；(2)已知直线l₁:x=2,l₂:,若l与l₁,l₂分别交于点M,N,是否存在实数λ,使得|MF|=λ|NF|恒成立?若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.19.(17分)已知函数f(x)=x²lnx.(1)求函数f(x)的极值；(2)若函数(a∈R)有两个零点x₁和x₂,且x₁<x₂,求证：x₂-x₁>ae+1;(3)设函数h(x)=kx³+2x,k∈R,若h(x)与f(x)的图象有两个交点M(m,s),2026年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)题号12345678DBABCCAB8.B【解析】如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，E是棱PA的中点，取PD的中点为F,连接EF,BE,CF,CE,CA,FA,所以EF//AD,因为AD//BC,所以EF//BC,所以B,C,F,E四点共面，所以平面EBC在四棱锥上的截面是平面BCFE.平面BCFE把四棱锥分为两个部分，设四棱锥P-ABCD平面BCFE把四棱锥分为两个部分，设四棱锥P-ABCD设点C到平面AEF的距离是t,则B所以体积较小部分与体积较大部分的体积之比为二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)题号9答案得即,因为sinA>0,sinB>0,得又B∈(0,π),故,所以选项A正确；由正弦定理,得,所以又,所以ac=6.2026年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第1页(共7页)因为D是边AC的中点，所以又因为,所以当且仅当a=c=√6时取等号，所以|,所以选项B错误；因为BO=λBA+μBC,所以又BA·BC=3,即得,所以选项D正确.三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)故e*≥mx+n恒成立，故m≥0.与此同时(1)若m=0,则m2²⁰26n=0.(2)若m>0,令g(x)=eˣ-mx-n(m>0),g(x)的定义域为R,g'(x)=e*-m,所以当x=lnm时，g(x)的最小值为g(Inm)=m-mlnm-n,因为g(x)≥0恒成立，则g(x)min≥0恒成立，得m-mlnm-n≥0,即n≤m-mlnm.(ii)当n>0时，则有0<m²⁰26n≤m²⁰26(m-mlnm)=m²0²7(1令h(x)=x²⁰²7(1-lnx)(0<x<e).h'(x)=x²⁰26(2026-2022026年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第2页(共7页)(2)取BD的中点为0,连接PO.因为PB=PD,所以PO⊥BD.又因为平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩所以PO⊥平面ABCD.以点0为原点，分别以OB,OP所在直线分别为则P(0,0,3)设Q(x₀,yo,z₀),由QB=QD,得x₀=0...2026年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第4页(共7页)设直线QC与平面PCD所成的角为θ,所以直线QC与平面PCD所成角的正弦值是………………15分18.(17分)i)当切线l斜率不存在时，由对称性可知，P为AB的中点.ii)当切线l斜率存在时，设切线l:y-yo=k(x-x。)(x₀>√3或x₀<-√3)由△=0,即(x。²-3)k²-2x₀y₀k+y。²+1=0.………………6分所以,即(3y。k-x₀)²=0,解得所以直线l:,又1,则…………8分则上式化简为x²-2xox+3=0,△=4x²-12>0恒成立.(2)因为l与l₁相交，则切线l的斜率存在，由(1)知，切线,将x=2,分别代入切线l的方程得所以2026年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第5页(共7页)……15分故存在,使得恒成立.……17分19.(17分)解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=2xlnx+x,………………5分则直线与函数φ(x)的图象交点的横坐标分别是x₁和x₂,设与直线OB和AB的交点的横坐标分别是x₃和x₄,x₃<x₄·解方程可得x₃=-a,x₄=(e-1)a+1,x₄-x₃2026年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第6页(共7页)2026年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第7页(共7页)(3)由h(x)=f(x)得hx²+2=xlnx,所以……