《物理场论》时变电磁场课件

1、第3章 时变电磁场张元中中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院物理场论第2篇：电磁场第1页，共60页。主要内容第1节 法拉第电磁感应定律、准静态场和电荷守恒定律第2节 完备的Maxwell方程组第3节 电荷和电流的划分；感应、极化和磁化第4节 时变电磁场的位函数第5节 时变电磁场的波动方程第6节 时变电磁场的坡印亭定理第7节 平面电磁波的传播第2页，共60页。第1节 法拉第电磁感应定律、准静态场和电荷守恒定律法拉第（Faraday）电磁感应定律法拉第（Michael Faraday, 1791-1867），伟大的英国物理学家和化学家。他创造性地提出场的思想，磁场这一名称是法拉第最早引入的。

2、他是电磁理论的创始人之一，1831年发现电磁感应定律，后又相继发现电解定律，物质的抗磁性和顺磁性，以及光的偏振面等。第3页，共60页。电磁感应定律当穿过闭合回路所围面积的磁通量发生变化时，回路中会产生感应电动势，且感应电动势正比于磁通量对时间变化率的负值。国际单位制韦伯伏特第4页，共60页。电磁感应定律 磁通量：感应电动势：电磁感应定律的微分形式感应电动势分为： 动生电动势：导体相对磁场运动引起。 感生电动势：磁场随时间变化引起。第5页，共60页。电磁感应定律令 讨论：电场是由随时间变化的磁场和聚集电荷产生，对于恒定磁场， 不随时间变化，则有 ，与前面的讨论一致。 第6页，共60页。 有一半径

3、为a、高度为h的圆盘，电导率为。把圆盘放在磁感应强度为B的磁场中, 其方向垂直盘面。设磁场随时间变化，且dB/dt=k，k为一常量。求盘内的感应电流。电磁感应定律应用举例涡流与电磁炉原理！第7页，共60页。已知求：解：如图取一半径为 r ,宽度为dr ,高度为h 的圆环。圆环中感生电动势为代入已知条件得又则第8页，共60页。计算得到圆环中电流：圆盘中的感应电流为：第9页，共60页。电荷守恒定律大量实验表明：孤立系统的电荷总量保持不变。在任何时刻，系统中正负电荷的代数和保持不变，称为电荷守恒定律。电荷守恒定律意义：孤立系统中产生或湮没某种符号的电荷，必有等量异号的电荷伴随产生或湮没。孤立系统总电

4、荷量增加或减小，必有等量电荷进入或离开该系统。第10页，共60页。电荷守恒定律积分形式：微分形式：电流连续性方程 恒定条件下 第11页，共60页。准静态场 在静电场中： 在恒定磁场中： 若 ，通常t时刻的电荷和电流经过时间r/c后才影响到P点的 和 ，即有滞后现象。 通常把随时间变化的源 和 产生的 和 称为推迟位（推迟势）。 若P点的 和 与 和 的关系和静态场中的关系完全一样，称为准静态场。 只有当场存在区域的尺寸远小于波长时，即f很小时，准静态场的条件才能满足。 第12页，共60页。麦克斯韦：18311879，英国物理学家。经典电磁场理论的奠基人，气体动力理论创始人之一。1865年，提出

5、了有旋电场和位移电流的概念，建立了经典电磁场理论，并预言了以光速传播的电磁波的存在。在气体动力理论方面，他还提出了气体分子按速率分布的统计规律。麦克斯韦（James Clerk Maxwell）第13页，共60页。第2节 完备的 Maxwell方程组位移电流密度这显然是错误的！ 为了对 进行修正，Maxwell发挥天才设想，引入 （定义为位移电流密度），得到位移电流包括极化电流和变化的电场两部分第14页，共60页。位移电流密度 揭示磁场可以由脱离电荷以外的电场的变化来激发； 揭示电磁场可以相互激发和转化，预示电磁波的存在，计算出真空中电磁波的速度： 全电流包括传导电流、位移电流和真空或气体中自

6、由电荷运动形成的运流电流。引入位移电流以后，则全电流在任何情况下都是连续的。1888年1月21日，赫兹证实了电磁波的存在！ （ 真空中的光速）第15页，共60页。Maxwell方程组的微分形式“电磁场的精华”Maxwell被认为是“一贯正确的人”，玻耳兹曼(18441906)引述歌德的诗赞美Maxwell：“写出这些符号的是上帝吗？”“叹问这莫非是神谱写的如美妙的诗句吗？”第16页，共60页。电磁场的本构关系 自由空间： 静止的各向同性介质： 静止的各向异性介质： 说明：Maxwell方程组中7个方程是独立的 ，本构方程中9个方程是独立的，共16个方程，16个未知数，因此理论上可以求解。第17

7、页，共60页。Maxwell方程组的积分形式（Faraday电磁感应定律） （广义安培环路定律，全电流定律） （高斯定律）（磁通连续性定律） （电流连续性方程） 注意：微分形式要求介质的连续性；积分形式可以在介质不连续处成立。 第18页，共60页。Maxwell方程组的复数形式 工程实际中，会遇到一种特殊形式的时变电磁场：诸场量随时间做正弦或余弦形式的变化，即随时间做简谐变化，这种形式的时变电磁场称为时谐电磁场，其时间因子为，得到Maxwell方程组的复数形式： 第19页，共60页。边界条件 在不同介质的分界面处，由于介质参数发生突变，Maxwell方程组的微分形式失去意义，代替它的是以积分形

8、式场方程导出的分界面处电磁场各分量的连续条件（边界条件）为：（切向连续） （切向的不连续量为边界面电流密度） （法向 的不连续量为边界面电荷密度） （法向 连续）第20页，共60页。常用的边界条件 介质I为理想导体，介质II为一般介质 介质I、II均为一般介质 介质I、II均为理想电介质 第21页，共60页。第3节 电荷和电流的划分；感应、极化和磁化 电荷的划分 自由电荷：能够被宏观分离并能在宏观范围内运动的正电荷或负电荷。如：金属导体内的自由电荷，电解质溶液中的正负离子。 极化电荷（束缚电荷）：不能被宏观分离也不能在宏观范围内运动的正负等量电荷。第22页，共60页。电流的划分 传导电流：在外

9、电场作用下，自由电荷宏观运动形成的电流。 极化电流：在外电场作用下，电介质发生转向极化或位移极化，形成极化电荷，其宏观效果等价于在电介质中形成极化电流。 磁化电流：在外磁场作用下，磁介质产生磁化现象，磁化的宏观效果等价于形成了磁化电流，尽管分子内的电子与原子核均未宏观移动。 通常极化电流和磁化电流统称为诱导电流。第23页，共60页。感应、极化和磁化 感应：在外电场作用下，介质中自由电荷的某种宏观分布和宏观运动，用感应电荷和传导电流表示。 极化：在外电场作用下，介质中极化电荷的某种宏观分布和宏观运动，用极化电荷密度和极化电流表示。 磁化：在外磁场作用下，介质呈现的磁性，是由宏观磁化电流引起。第2

10、4页，共60页。第4节 时变电磁场的位函数位函数的定义和物理意义 时变场的辅助位函数本身不具有任何物理意义而仅是数学运算上的辅助量； 由于电磁场的不可分割性，辅助电位函数和辅助磁位函数之间是互相关联的。 3种辅助函数： 矢量电位和标量磁位 赫兹电位和赫兹磁位 矢量磁位和标量电位第25页，共60页。矢量磁位和标量电位令代入 的散度方程和 的旋度方程 对于只有电流、电荷源而无磁流、磁荷源的情况，可以利用矢量磁位和标量电位来研究： 根据 ，定义一矢量位 ，把 代入 的旋度方程第26页，共60页。矢量磁位和标量电位代入 的散度方程和 的旋度方程此为达朗贝尔（DAlembert）方程组。 第27页，共6

11、0页。矢量磁位和标量电位引入附加条件洛伦兹规范 ：可得 形式的波动方程： 第28页，共60页。矢量磁位和标量电位在时谐场 条件下，方程变为：此时洛仑兹规范为： 第29页，共60页。矢量磁位和标量电位或 在洛伦兹规范条件下，对于时谐场无须从达朗贝尔（DAlembert）方程组分别求出 和 ，而只需求出 即可，此时 第30页，共60页。第5节 时变电磁场的波动方程电磁场波动方程的导出对 再取一次旋度可得：(1)第31页，共60页。电磁场波动方程的导出 对 再取一次旋度可得：(2) 方程（1）和（2）说明 和 随时间和空间而变化，电磁场以波动的形式存在。电磁波是电磁场的存在形式。方程（1，2）称为波

12、动方程。第32页，共60页。电磁场波动方程的导出 波动方程的一般形式为：此公式是对变量的二阶时间微分与二阶空间微分的组合。若 ，称为齐次波动方程。 时谐的波动方程为：第33页，共60页。波动方程求解矢量波动方程的两种解法： 把矢量波动方程分解为标量波动方程，此标量是矢量在所选坐标系中的分量，通过求解标量波动方程再求得待解的矢量函数； 直接求满足矢量波动方程的解。分离变量法：称为波数。 令 代表待求矢量波动方程解的直线坐标分量，满足标量波动方程（亥姆霍兹方程）：第34页，共60页。波动方程求解（1）直角坐标系中的标量波函数 圆柱坐标系中的标量波函数： 圆柱坐标系中，上式的展开式为 令 ，分离变量

13、可得：（2）圆柱坐标系中的标量波函数 第35页，共60页。波动方程求解 特征方程： 第一式为Bessel方程，其解为Bessel函数的线性组合，其它两个方程的解为三角函数的组合。 第36页，共60页。非齐次波动方程的求解非齐次波动方程的Green函数解法；时变场的标量Green函数和推迟位。自学该部分内容。 第37页，共60页。第6节 时变电磁场的坡印亭矢量坡印亭定理定量地描述电磁场能量的运动和转移，是电磁场中的能量和转化守恒定律。 电场的能量密度（单位体积内所储存的电场能量）： 磁场的能量密度（单位体积内所储存的磁场能量）： 第38页，共60页。坡印亭矢量 能流密度矢量（坡印亭矢量） ：意义

14、：单位时间内穿过一与之垂直的单位面积的能量。坡印亭定理 焦耳楞次定律的推导： 电荷dq在dt时间内通过的距离为dl，做功为：第39页，共60页。坡印亭矢量 在微小圆柱体积元dV中，单位时间内消耗的功，即功率为： 因此，单位体积内所消耗的功率为： 得到焦耳楞次定律： （微分形式）（积分形式）第40页，共60页。坡印亭定理把 代入焦耳楞次定律积分表达式： 根据恒等式：第41页，共60页。坡印亭定理则：于是得到： 此式左边项表示V内电磁能量的减少率； 右端第一项表示热能； 第二项表示穿过S面的逸散的能量。 即体积V内的电磁储能的减少率，等于电磁能转化为热能的部分及通过S面向外逸散的部分。 第42页，

15、共60页。用坡印亭矢量表示的坡印亭定理为：（积分形式）（微分形式） 坡印亭定理说明了电磁场是能量的储存者和传递者。 无论是电力传输或电讯传输，都必须通过空间电磁波实现能量传递。坡印亭定理第43页，共60页。坡印亭定理 分别为的共轭复数，时谐电磁场的坡印亭定理为： 其实部具有的物理意义：等于一个时间周期内瞬时坡印廷矢量的平均值，记为： 定义 为复坡印廷矢量。第44页，共60页。第7节 平面电磁波的传播无损耗介质（理想介质）：介质的电导率为零。有损耗介质（导电介质）：介质的电导率不为零。从Maxwell方程出发，在线性各向同性和均匀介质中，当只有传导电流和位移电流的情况下，可以导出电磁场满足的波动

16、方程：第45页，共60页。电磁波方程复数形式方程组可简化为:其中， 是传播常数或波数。是复介电常数。上述两个方程具有相同的形式，在直角坐标系下其各分量均满足标量方程：第46页，共60页。电磁波方程或复数形式： 无限大无损耗介质中的均匀平面波通解形式为：在 的表达式中，前项为正向波，后项为反向波。下面的推导不考虑反向波，同时考虑时间因子可得： 第47页，共60页。电磁波方程若考虑实部即是：其中，波数 ， 称为相位常数（传播常数），即传播1米的相位变化，单位是弧度/米。 波速度： 为光速。 第48页，共60页。电磁波方程 波长： 为实数，无损介质电场与磁场是同相的。 特性阻抗： 真空的特性阻抗：

17、平面波传播特点：（1） 和 都垂直于波的传播方向，是一个TEM波；第49页，共60页。电磁波方程 平面波传播特点：（2） 和 相互垂直， 沿波传播的方向。坡印亭矢量 的方向与传播方向一致；（3） 和 同相位，振幅比为波阻抗 ；（4）波在传播过程中无衰减，波形不变化。波的传播常为 ，相速度为 ，波长 ； （5）波中的电场能量密度等于磁场能量密度，群速度和相速度相等。第50页，共60页。电磁波方程无限大有损耗介质中的均匀平面波讨论电场方程： 则：同理可得： 称为波数， 是相位常数， 衰减常数，单位为奈培/米，表示波传播1米时的衰减值。第51页，共60页。电磁波方程无限大有损耗介质中的均匀平面波 衰

18、减长度（穿透深度，趋肤深度），是指电磁 波在其能量衰减为原来能量 的时穿过的距离。 相速度 波 长 第52页，共60页。电磁波方程无限大有损耗介质中的均匀平面波 特性阻抗 电场与磁场不同相。第53页，共60页。电磁波方程无限大有损耗介质中的均匀平面波 几种介质的特性参数 介质 m e s a b Vp l Z(Ohm) 空气 m0 1 0 0 2p 3108 1 377 淡水 m0 81 0 0 56.55 33107. 0.111 42 海水 m0 81 4 58.3 81.3 232108. 0.077 23.7035ie 第54页，共60页。电磁波方程无限大有损耗介质中的均匀平面波 和 的讨论 无损耗介质 弱