三角函数的性质求解参数问题

1、 16/16 应用三角函数的性质求解参数问题知识拓展1对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq f(1,4)个周期(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期2奇偶性若f(x)Asin(x)(A,0),则(1)f(x)为偶函数的充要条件是eq f(,2)k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)3由ysin x到ysin(x)(0,0)的变换：向左平移eq f(,)个单位长度而非个单位长度4函数yAsin(x)的对称轴由xkeq f(,2),kZ确定；对称中心由xk,kZ确定其横坐标题型分析(一

2、)与函数最值相关的问题【例1】已知函数（1）求函数的最小正周期与单调递增区间；（2）若时,函数的最大值为0,某数的值【分析】（1）化为,可得周期,由可得单调递增区间；（2）因为,所以,进而的最大值为,解得.（2）因为,所以,则当,时,函数取得最大值0,即,解得【点评】三角函数的最值问题,大多是含有三角函数的复合函数最值问题,常用的方法为：化为代数函数的最值,也可以通过三角恒等变形化为求yAsin(x)B的最值；或化为关于sinx(或cosx)的二次函数式,再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的最值.【小试牛刀】【某省启东中学2018届高三上学期第二次月考】若方程在上有且只有两解，则

3、实数的取值X围_【答案】【解析】所以当时，与只有一个交点，当时，方程解所以要使方程在上有且只有两解，实数的取值X围(二)根据函数单调性求参数取值X围如果解析式中含有参数,要求根据函数单调性求参数取值X围,通常先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解或转化为使得某个等式或不等式(可以、恒)成立,通常分离参数,求出解析式的X围或最值,进而求出参数的X围即可.【例2】已知0,函数f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)上单调递减,则的取值X围是_【分析】根据ysinx在eq blc(rc)(avs4alco1

4、(f(,2)，f(3,2)上递减,列出关于的不等式组【解析】由eq f(,2)x,0得,eq f(,2)eq f(,4)xeq f(,4)eq f(,4),又ysinx在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(3,2)上递减,所以eq blcrc (avs4alco1(f(,2)f(,4)f(,2)，,f(,4)f(3,2)，)解得eq f(1,2)eq f(5,4).【答案】eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，f(5,4)【点评】求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如yAsin(x)或yAcos(x)(

5、其中0)的单调区间时,要视“x”为一个整体,通过解不等式求解但如果0,那么一定先借助诱导公式将化为正数,防止把单调性弄错；已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解【小试牛刀】【某市、某市2018届高三年级第一次模拟】若函数在区间上单调递增，则实数的取值X围是_【答案】【解析】由题意得，所以5(三)根据函数图象的对称性求参数取值X围【例3】已知函数(1)若函数的图像关于直线对称,求a的最小值;(2)若存在使成立,某数m的取值X围.【分析】(1)先利用降幂公式进行化简,然后利用辅助角公式将化为,最后根据正弦函数的对称性求出对称轴,求出的最小值即可；(2)根据的X围

6、求出的X围,再结合正弦函数单调性求出函数f(x0)的值域,从而可求出m的取值X围 (2)故【点评】对于函数yAsin(x),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线xx0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断【小试牛刀】【2018届某省亳州市蒙城高三第五次月考】若将函数的图象向左平移个单位,所得的图象关于轴对称,则的最小值是【答案】【解析】函数的图象向左平移个单位,得到图象关于轴对称,即,解得,又,当时, 的最小值为. (四)等式或不等式恒成立问题在等式或不等式恒成立问题中,通常含有参数,而与三角函数相关的恒成立问

7、题,一定要注意三角函数自身的有界性,结合自变量的取值X围,才能准确求出参数的取值或X围.【例4】已知不等式对于恒成立,则实数的取值X围是【答案】【点评】解决恒成立问题的关键是将其进行等价转化,使之转化为函数的最值问题,或者区间上的最值问题,使问题得到解决具体转化思路为：若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上的最小值大于；若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上最大值小于【小试牛刀】【2018届某省常熟市高三上学期期中】已知函数,若对任意的实数,都存在唯一的实数,使,则实数的最小值是_【答案】【解析】函数,若对任意的实数,则：f（）,0,由于使f（）+f（）=0,则：f（）0, ,=,所以：实

8、数m的最小值是故答案为： (五)利用三角代换解决X围或最值问题由于三角函数的有界性,往往可以用它们来替换一些有X围限制的变量,再利用三角函数的公式进行变换,得到新的X围,达到解决问题的目的.【例5】已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是他们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_A.B.C.3 D.2【解析】设椭圆方程为(ab0),双曲线方程为(a0,b0),其中aa1,半焦距为c,于是|PF1|PF2|2a,|PF1|PF2|2a1,即|PF1|aa1,|PF2|aa1,因为,由余弦定理：4c2(aa1)2(aa1)22(aa1)(aa1)即4c2a23a12,即令2cos,

9、2sin所以【点评】合理使用三角代换,可以使得运算步骤(特别是与求最值相关的运算)变得非常简洁.【小试牛刀】已知实数满足,则的最小值为【答案】【解析】由,可设 ,则=.五、迁移运用1【某省某2018届高三上学期期末】如图，在平面直角坐标系中，函数的图像与轴的交点，满足，则_.【答案】【解析】不妨设，得，由，得，解得.2【某省某市等四市2018届高三上学期第一次模拟】若函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，则实数的值为_【答案】【解析】，所以。3设函数,若将的图象向左平移个单位后,所得图象关于轴对称.则的最小值为_.【答案】14【某省常熟市2018届高三上学期期中】已知函数，若对任意的实

10、数，都存在唯一的实数，使，则实数的最小值是_【答案】【解析】函数，若对任意的实数，则：f（），0，由于使f（）+f（）=0，则：f（）0，=，所以：实数m的最小值是故答案为：5【某省常熟中学2018届高三10月阶段性抽测】已知函数在区间上的值域为，则的取值X围为_.【答案】【解析】函数, 当时, , ,画出图形如图所示; ，则, 计算得出, 即的取值X围是.6【某省横林高级中学2018届高三模拟】若函数对任意的实数且则=_ .【答案】或【解析】对任意的实数,说明函数图像的一条对称轴为，则，或.7【某省启东中学2018届高三上学期第一次月考】已知函数若函数的图象关于直线x2对称，且在区间上是单调

11、函数，则的取值集合为_.【答案】【解析】是一条对称轴，得，又在区间上单调，得，且，得，集合表示为。8.【2018届】某省某高三12月月考】将的图像向右平移单位（）,使得平移后的图像仍过点,则的最小值为_【答案】【解析】将的图像向右平移单位（）得到,代入点得： ,因为,所以当时,第一个正弦值为的角,此时,故填.9.函数的图象在上至少有三个最大值点,则的最小值为_.【答案】【解析】,要使函数的图象在上至少有三个最大值点,由三角函数的图象可得,解得,即的最小值为,故答案为.10设常数a使方程在闭区间0,2上恰有三个解,则 . 【解析】原方程可变为,如图作出函数的图象,再作直线,从图象可知函数在上递增

12、,上递减,在上递增,只有当时,直线与函数的图象有三个交点,所以11.若函数在区间上单调递增,则实数的取值X围是【答案】【解析】因为函数在区间上单调递增所以在区间恒成立,因为,所以在区间恒成立所以因为,所以所以的取值X围是12已知,且在区间有最小值,无最大值,则【答案】13若函数在区间0,上是单调函数,最大值为,则实数=【答案】【解析】函数在区间0,上是单调函数,所以在时取到最大值,当在时取到最大值时,解得当x=0时,函数取得最大值时,无解故答案为：14【某省常熟市2018届高三上学期期中】已知函数（）的图象与轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为.（1）求的值；（2）求在上的最大值和最小值

13、.【解析】（1）图象上相邻两个最高点之间的距离为，的周期为，且，此时，又的图象与轴相切，且，；（2）由（1）可得，当，即时，有最大值为；当，即时，有最小值为0.15【某省常熟中学2018届高三10月阶段性抽测】已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式，并求出的单调递增区间；（2）将函数的图象上各个点的横坐标扩大到原来的2倍，再将图象向右平移个单位，得到的图象，若存在使得等式成立，某数的取值X围.【解析】（1）设函数的周期为，由图可知，即，上式中代入，有，得，即，又，令，解得，即的递增区间为；（2）经过图象变换，得到函数的解析式为，于是问题即为“存在，使得等式成立”，即在上有解，令，即在上有解，其中，实数的取值X围为.16已知函数.(1)若方程在上有解,求的取值X围;(2)在中, 分别是所对的边,当(1)中的取最大值且时,求的最小值.【答案】（1