2022年《微积分》教案

1、学习好资料函欢迎下载第一章数一、预备学问（一）集合1、集合的概念：具有某种共同属性的事物的全体叫做集合 ,用 A , B , C , 表示；集合中的每个事物称为该集合的 元素 ,用 a , b , c , 表示；2、集合的表示法：（1）列举法：把全部元素都列举在大括号中；（2）描述法：把全部元素的共同特性描述出来；3、集合的运算：（1）全集与空集 ：由所争论的全部事物构成的集合称为 形表示；不包含任何元素的集合称为空集,记作；全集 ,记作 U ；在图形表示中用长方（2）子集 ：假如集合 A的每一个元素都是集合 B的元素, 就称A是B的子集 ,记作 A B 或B A；（3）集合相等 ：两个集合

2、A 、 B ,如 A B 且 B A,就称 A与 B 相等 ,记作 A B；（4）并集 ：属于 A 或属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的并集,记作 A B；（5）交集 ：既属于 A 又属于 B 的全部元素组成的集合称为 A 与 B 的交集,记作 A B；（6）差集 ：属于 A 而不属于 B 的全部元素组成的集合称为 A与B的差集,记作 A B；（7）补集 ：如集合 A 是全集 S 的子集,就 S 中不属于 A 的元素所组成的集合称为 A的补集 ,记作 A ；4数集表示 ：自然数集 N ,整数集 Z ,有理数集 Q ,实数集 R；例 1：（1）写出x1 xB2 0及x1 x2 0的解

3、集 . ,AB . 解：x1 x2 0 xx1x2 ,12；x1 x2 0 xx1x2；（2）如Axx1,x0 x3,就 A. 解：Axx1 ,ABxx1 且x,03 xx0（二）实数集1、概念（1）实数与数轴 ：学习好资料 欢迎下载有理数与无理数统称为实数；具有原点、正方向和单位长度的直线称为数轴；（2）肯定值 ：|x|x ,x0 x ,x0（3）区间 ：有限区间：a ,b,a,b,a,b ,a,b,必需ab；无限区间：a ,a,b ,b ,（4）x 点的邻域 ：x0|x 0,x0；实心邻域：x|x空心邻域：x0|xx0|x 0,x 0 x0,x 02、运算技能（1）不等式组的解是全部不等式

4、解集的交集,ax b , , , , c 的解要留意 a 的正负性；（2）二次不等式 ax 2 bx c , , , , t,（ a 除到右边去） ； t 是负数时,依据在任何实数的平方0 的属性分析出访不等式成立的 x 的取值范畴 t 是非负数时,不等式两端同时开放取肯定值,化为肯定值不等式求解解集例 2：求解x22x30 ,x22x30 ,2x24x60,3x216x60；解：x22x30 x1 22,解集是实数集R；x22x30 x122,不等式无解；,32x24x60 x1 24|x1|2,解集为3x26x60 x1 23|x1|3,解集为13,13；求解；|x1|2也可利用二次函数y

5、ax2bxc的图像求解：（3）简洁指数不等式,axb,两边取自然对数xlnalnb例 3：求解3x100；解：取自然对数得xln3ln10 ,ln30,不等式解集为x（4）简洁对数不等式logafxba1 ,fxab例 4：求解lnx22x204解：lnx22x20 x22x2e0 x1 2,3,1（5）复杂肯定值根式不等式要用争论的方式去掉肯定值符号再求解；例 5：求解|x3|2x5|2332xx5x25x10解：1）x5 2时,原不等式为x22）3x5 2时,原不等式为x522x5023）x3时,原不等式为x3522,无解,原不等式解为0,10学习好资料欢迎下载二、函数关系（一）概念定义

6、：如 D 是一个非空实数集合,设有一个对应规章 f ,使每一个 x D 都有一个确定的实数 y 与之对应, 就称这个对应规章 f 为定义在 D 上的一个函数关系,或称变量 y 是变量 x 的函数,记作 y f x , x D；x 称为自变量,y 称为因变量；集合 D 称为函数的定义域,也可记作 D f ；留意 ：（1）定义域D f非空,照实数范畴内ysin x2就构不成函数关系；（2）单值函数,自变量取定一个值时,与之对应的函数值只有一个（过定义域内任意一点、垂直于横轴的直线与函数图像只有一个交点）；y252 x和例如y225x2,x一旦取定,对应的y 有两个,称为多值函数,把y25x2称为多

7、值函数y25x2的两个单值支；不作特殊说明,今后提到的函数都是单值函数；（二）表示法1、公式法 ：优点是简洁明确,便于理论分析,但不够直观；且在实际问题中许多函数关系不能用解析式表达；2、表格法 ：优点是查可以直接由表中自变量的值查出对应的函数值,如数学用表,但表中所列的值是有限的、不便于作理论分析；3、图像法 ：优点鲜明直观,但不便于作理论分析；以上三种方法各有优劣,在今后学习中可交替使用；（三）运算技能1、确定函数的定义域实际问题（略） ；一般函数,定义域就是使函数值存在的自变量取值范畴 如f1,就fx0；x,就1fx1；x 如y2kfx,就fx0； 如ylogafx,就fx0； 如yar

8、csinfx或yarccosf 分段函数的定义域是各个部分自变量取值的并集；学习好资料 欢迎下载 由几项代数和构成的函数,其定义域是各项定义域的公共部分； 如fx的定义域是a,b,就fx的定义域由axb解出；例 1：填空：（1）ylgx23x2的定义域是；,2由x2x23 x2200 x23x20 x23 x22x332lg2 x3 x213 x2222解得函数的定义域为,0 ,3（2）ylncosx的定义域是；由cosx0可以求出函数的定义域是（用弧度表示的一、四象限的角,）无穷多个区间,2k2,2k2k0 ,12,（3）yarcsinlnx的定义域是；e由1lnx11lnxlne10lnx

9、2,函数的定义域是1 ,e2e例 2：ygx 25x2的定义域是5,0,就gx（）（A ）sinx（ B）cosx（C）tanx（D）cotx按已知条件,gx必需在5,0,内有意义且g x0,tanx与cotx分别在20 点无意义；cosx在2,内非正；选（ A）例 3：fx 2 x1 ,x,2x04,求f x4的定义域0 x解：f2x4 2 2 x144 ,22x4044x 110 ,x24,02x44,2x2 x2x定义域是,4或：fx的定义域是,4,由2x44解出f x4 的定义域是x4；2、判定两个函数相同确定函数的主要因素是定义域与对应规律,两个函数只有在定义域与对应规律都相同时,才

10、表示同一个函数；有时也可以通过值域观看；例 4：判定以下函数是否相同（1）fx lnx22x3 ,gxlnx1 lnx3；（2）fx x11,g学习好资料,1x4欢迎下载x112；2x（3）fx |3x|,gx 3 x；343 413 x ,x3（4）fx 1cos2x,gx 2sinx；解：（1）定义域不同,两个不函数不相等；（2）定义域都是 R,依据肯定值概念,对应规律也相同,所以相等；（3）对应规律就不同,所以不相等；（4）值域不同,不相等1cos2x2|sinx|练习 ：判定以下函数是否相等（1）fx 2arcsinx与gxarccosx；（2）fx ln1x与gx ln1xlnx3

11、；相等；x3（3）fx x2与gxx；不相等（定义域不相同）x解：（1）定义域相同,对应规律也相同,相等；（2）定义域相同,对应规律也相同,相等；（3）定义域不相同,不相等3、运算函数值当 x 取x 时,函数yfx对应的函数值记作fx0或yxx 0,如函数对应规律由解析式确定,只要将表达式中的x 换成x 即得fx0,分段函数要留意依据自变量的条件选准相应的表达式；练习 ：设fx ,1x0,gx1 x2x1,求f3 ,f0 ,f1,f x1 ,x ,x0gx,fgx,g fx；,f1 1,1,1x x1 3 1 3guu2u1,解：f3 1,f00f3x1 3 x求g x ,作变量替换, 令ux

12、1,即xu1,代入gx1表达式中得,也就是gx x2x1；0,而gx0无解,所以fgx x2x1；fgxg,1gx x ,gx 0gfx fx 2f学习好资料1,1x0欢迎下载x12 1x2x,1x0（四）几个特殊形式的函数1 多值函数 ：如y92 x,yx,Arcsinx（ A 起头的反三角函数都是多值函数）；2 隐函数 ：对应规章用一个方程Fy0表示的函数,称为隐函数；如xy1；3 分段函数： 函数定义域被分成如干个互不相交的部分,在不同的部分上,函数有着不同的对应规律,这样的函数称为分段函数；sin x ,1 x 0例如 f x 0 , x 0 就是一个分段函数,其定义域是 R2 x ,

13、1 x 0要点 ：（1）分段函数是由几个公式表达的一个函数,对应一个自变量只有一个函数值,求分段函数的函数值时,要依据自变量满意的条件去套用适当的公式；如上例中f2sin21,f000,f 32315（2）在不同的区间上,分段函数的表达式不同,图像通常是一些互不相交的曲线段；一个常见的分段函数是符号函数ysgnx,1x00 ,x0,1x0学习好资料 欢迎下载三、函数的几种简洁性质（一）奇偶性 （定义域必需是对称区间）1、概念（1）定义 ：给定函数yf x ffx为奇函数； 假如对于全部的xD f,有fxfx ,就称 假如对于全部的xD f,有fxfx,就称x为偶函数；（2）图像特点 ：奇函数的

14、图形关于原点对称,偶函数的图形关于y 轴对称；（3）fx fx 2,0fx 为奇函数fx ,fx 为偶函数练习：判定以下函数的奇偶性fx lnxx21 ；h xa11；gx11x21 2x2,0 xax12解：fx fx x21lnlnxx21 lnxxfx l n x2 x1 是奇函数；ax1a1hx非奇非偶h x a111hxx1ax1ax11axax1gxgxax11ax1ax1 x1gx 是奇函数；0121ax21a2、奇偶函数的性质奇 奇奇；偶 偶偶；奇 奇偶；偶 偶偶；奇 偶奇如yxcosx是（偶函数） ,yx992tanx是（奇函数）是奇函数sinx补充：设fx是定义在 R 上的

15、实函数,证明fxfx（二）周期性定义 ：对于函数yfx,假如存在正的常数T ,使得fxfxT恒成立,就称此函数为周期函数；满意这个等式的最小正数T ,称为函数的周期；三角函数都是周期函数,ysinx ,ycosx都是以 2为周期,ytanx ,ycotx都是以为周期；yAsinax的周期是2（a0）以T 为周期的周期函数；aa如fx 是以 T （T0）为周期的周期函数,就fax（三）单调性定义 ：设函数yfx学习好资料欢迎下载1x 和x ,当x 1x2在区间a,b内有定义, 对区间a,b内任意两点时 , 如 有fx 1fx2, 就 称 函 数f x 在 区 间a,b内 单 调 增 加 或 单

16、调 递 增 ； 如 有fx 1fx2,就称函数fx在区间a,b内单调削减或单调递减；练习：判定以下函数的单调性（1）yex,ylnx在定义域内（严格单增） ；2,3内（严格单（2）yy1x,y53x在定义域内（严格单增）；e x,2（3）ysinx在定义域内（不单调） ；在2,2内（严格单增） ；在2减）（4）符号函数ysgnx1 ,x0在定义域内（单调递增） ；0 ,x0,1x0（四）有界性恒有定义 ：设函数yfx在a,b内有定义,假如存在一个正数M ,对于全部的xa,b,|fx|M成立,就称函数yM ,就称函fx在a,b 内有界；假如不存在这样的正数数yfx在a ,b内无界；留意： 1、通

17、常争论函数是否有界是相对于某个区间而言；如yex在,内是无界的,在|1,0内却是有界的；112x211121；2、几个常见的在R 内有界的函数f,0|sinx|1,|cosfxxx四、反函数与复合函数（一）反函数1、概念定义 ：设yf x 是定义在D f上的一个函数,值域为Z f,假如对每一个yZ f有一个确定的且满意yf x 的xD f与之对应,其对应规章记作f1,这个定义在Z f上的函数xf1 y称为yfx的反函数,或称它们互为反函数；1 y 习惯上用 x 表示自变量, y 表示因变量； 因此我们将xyf改写为以 x 为自变量、 以 y 为 的反函数；因变量的函数关系yf1 x,这时我们说

18、yf1 x 是fx要点：（1）只有一一对应的函数（自变量不同时因变量也不同）才有反函数,多值函数的反函数可以依据原自变量（反函数的因变量）的取值范畴分成几个；如yx2在x0 ,内的反函数是yx,在x,0 内的反函数是yx；（2）函数学习好资料欢迎下载yfx与其反函数yf1 x的定义域为、值域位置交换可得；y 为自变量,表达式 x f 1 y1 x ,图像与原函数图像关于直线,图像与原函数图（3）yf x 的反函数有两个,一个以像重合；一个以x 为自变量,表达式yfyx对称；xx2、求反函数步骤中解出,得到xf1 y；yy37,这时1 把 x 作为未知数,从方程yf xyf1 y 2 所得的表达

19、式中x 与 y 对换,即得练习 ：求ye2x3的反函数解：两边取对数lny2x3 lne ,2x3lny,得到xf1yln2所以ye2x3的反函数是yf1xlnx32例 1、设fx3x4 ,12xx21,就f1 x x210 ,2y100ex,2x4解：分别求出各区间上的反函数与定义域（原函数的值域）；1）在,21 内,yfx3x4是增函数,f2yf 1 ,即f1y y34；时2）当x,12 时,yfxx210是增函数,9y6,这时xy10e4,这3）在2 ,4内,y100ex是减函数,f2yf4,即100ex100f1yln100y所以f1xx 10 x 4,3ln 100,x ,9x476

20、100e2xx100e（二）复合函数1、概念 ：就称定义 ：设函数yfu 的定义域为D f,如ux 的值域为Z,DfZ非空,yfx为复合函数,x 为自变量, y 为因变量, u 称为中间变量；非空；要点：（1）yfu,ux可以构成复合函数的条件是DfZ（2）中间变量可以有好几个2、运算技能（1）把几个函数复合成一个函数,与求函数值完全相同,用代入法；练习 ：（1）fxsinx1,x 2 x1,求ffx,fx,fx；解：ffxsinfx 学习好资料x1 1；欢迎下载1sinsinfxsinx1sinx211；fgx,g fxfxf2x1sin2x11；（2）fx x e,x1,gx2x1,求x,

21、2x1解：fgx g ex,g x1e2x1,x0 0；gx,2x 12x,1x g fx2fx22 e x,2x12x,6x1分段函数与分段函数的复合要显得复杂一些,可以借助图形帮忙分析；例 1：fx 2x,1x22,gxx e,x0,求g fx0；sinx ,23x ,x0 x解：g fxefx,fx 0,画出中间变量的图像,可以看出3fx ,fx 0sinx,1x时,fx2x10；当x,2时,fx 2x1,2时,fx 2x10；当x2,时,fx sinx02e2x1,x1122所以g fx6x3x23sinx,2x2sin ex,x（2）把复杂函数分解成几个简洁函数；在高数运算中, 为便

22、于对函数进行争论,经常需要把一个纷杂的函数看成由几个简洁函数（基本初等函数的和、差、积、商函数）复合而成,这就是复合函数的分解；例 2：函数ytanlnx21 可看成由哪些简洁函数复合而成？得杂函数从外到内,逐层画上矩形框,每个矩形框用一个中间变量来表示；解：可看成由ytanu,uy,fx 2tanlnx21 lnvvx1复合而成；学习好资料 欢迎下载五、初等函数（一）基本初等函数 ：（六大类,要记住它们的定义域、基本性质、图像）1、常数函数yyxC（ C 为实常数）x 轴的直线；其定义域为,图形是一条平行于2、幂函数（为实常数）其定义域随 值的不同而不同,但不管 的值是多少,它在 ,0 内总

23、是有定义的；当 0 时,其图形都通过原点（0,0）和点（ 1,1）,在 0 , 内严格单调增加且无界；当 0时,其图形都通过点（1, 1）,在 0 , 内严格单调削减且无界；常用的几种幂函数的图形如下：3、指数函数yax（a0且a1）其定义域为,不论 x 为何值, 总有axx0,且a01,所以它的图形总是在x 轴的上方,且通过点（0,1）；（如下图）是微积分中常用的指数函数；当a1时,函数yax严格单调增加且无界；当0a1时,函数yax严格单调削减且无界；以无理数e.27182818为底的指数函数ye4、对数函数yloga学习好资料1）欢迎下载x（a0且a它的定义域为 0 , ,不论 a 为何值,对数曲线都通过点（1,0）；（如下图）当 a 1 时,函数 y log a