物理刚体力学

1、一.刚体任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物体，即运动过程中不发生形变的物体。刚体是实际物体的一种理想的模型三.1.刚体定轴转动的描述定轴转动的角量描述角位置： (t )角位移： (t) (t0 )d角速度： dtdd 2角加速度： dt 2dt2.角量和线量的关系矢量表示：v ra r 2 ra ra r 2 nv rzF一.力对转轴的力矩F|FrOdP大小： M F r sin F d方向： 沿 r F 方向。定轴转动中沿转动轴的方向。M Fr二.转动惯量1.转动惯量的物理意义：刚体转动惯性大小的量度。2.转动惯量的计算连续体：转动惯量与刚体的质量、形状及转动轴有关。J r 2dmJ

2、 m r 2ii三.转动定律的应用解题要点1）受力分析质点:根据 m第二定律F :aJ2：）列方程刚体:根据转动定律M:无滑动条件a:R3）解方程例3-1计算质量为 m ，长为 l 的细棒绕通过其端点的垂直轴的转动惯量。z解：dJ x2dmdm dx dmomxdxxdxlx2 m dx 1 m x3llJ l3 l00J 1 ml 23例3-2一质量为 m ，半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。解：dJ r 2dmdm 2 rdrRrdrORJ 2 r3dr0 R41mR222例 3-4如图，质量为 m，长为 l 的均匀细棒绕过 O 点下摆。（1）求细棒的转轴自水

3、平位置以零角速度运动到与水平夹角为时的角加速度和角速度；（2）此时细棒末端 A 的速度和加速度。lCmgA图1633g cosl1cos ml 2解：（1） mg232l d d d d ddtddtd d 3g cos d 2l3g cos d d 2l003g sinl a l 3g cos / 2（2） v l 3gl sin ， a l 2 3g sinn一.质点的角动量质点对Oz轴的角动量：zOyrdvm大小: L mvr sin pdx方向:由r mv决定L mrv二.刚体对定轴的角动量ZL Li mivi riviiiim r J2iiOmiri图26角动量 L 是矢量，定轴转动

4、中 L 的方向沿 的方向，即L JL J三.刚体定轴转动的的角动量定理和角动量守恒定律MdL M推广Jdt角动量定理M 0 角动量守恒定律L J Ct t Mdt L L00四物体系的角动量定理角动量守恒定律M 系统所受的合外力矩质点:mvdJL系统总角动量： L 刚体:M 0 L Ct t Mdt L L00角动量守恒现象举例演示演示如图，已知m1 4kg ，m2 1kg ，M 2kg例 3-7 300 F9，.6 t 12t88，N t(=0 时) 系统保持，求 t 时 m1 的速度。（设绳子与滑轮间无相M对滑动）m1Rm2F图133解：t(F m g m g sin )Rdt m vR

5、m vR J21120v R,J MR2/ 2tt(6t 18t 2 )dt0(F m g m g sin )dt21v 0m1 m2 M / 21 4 1 1 t 2 t3 (m / s) 2一.力矩的功和功率1.力矩的功Z F cos dlFidA F dliiiiii Fi sin i ri d Fi ri sini d MidPidlidA dAi Mid MddiOriiiP0图29A Md02.力矩的功率P dA M d MdtdtP M二刚体的转动动能与重力势能1刚体的转动动能Z1E (2m v )kii2ivi121222(m r)i iiOmriJ 2i图26E 1 J 2k

6、22刚体的重力势能Ep mi ghii mi himi Mgimiihi MghC图164Ep MghC三.刚体定轴转动的动能定理M J J d J d d J ddd20dtdt11d 2MdJJJ2200A Ek Ek 0四.刚体定轴转动的功能定理和机械能守恒定律M M 外M 重 E Ek 0MMd（）k外重 0M 重d (EpEp 0 )0M 外 0 E Ep Ek CM 外d E E00推广：对含有刚体和质点复杂系统，若外力不做功，且内力都是保守力，则系统机械能守恒，即 1 mv2 ,E mgh质点： Ekp2 1 J 2 ,E Mgh刚体： EkpC2E Ek Ep C例 3-5如图

7、，质量为 m，长为 l 的均匀细棒绕过 O 点下摆。（1）求细棒的转轴自水平位置以零角速度运动到与水平夹角为时的角加速度和角速度；（2）此时细棒末端 A 的速度和加速度。lCmgA图163 l212Md cos dmgl sinA 解：1）mg（00E 1 J 2 1 1 0,22E(ml )k 0k22 3 3g sin / l d d d d 3g cosddtd3g sin / ldt2l由 A Ek Ek 0 得： （2） v l 3gl sina l 3g cos / 2a l 2 3g sinn例 3-6簧如图，滑轮质量为 M，半径为 R，物体质量 m，弹系数 k，斜面倾角均为已知

8、。开始时扶住物体m，弹簧无伸缩，然后放开。求：（1）物体下使系统保持滑距离为 x 时的速度为多少？（2）下滑距离 x 为多大时，物体的速度为最大，最大速度为多少？（3）物体下滑的最大距离为多大？（设绳子与滑轮间无相对滑动）MRmhck图320 1 mv2 1 J2 1 kx2mgx sin222解：（1） v R1J MR222mgx sin kx 2v m M / 2a dv dv dx v dv mg sin kxm M / 2dtdx dtdx mg sin ,mgx sin（2） dv 0 xvmmaxm M / 2dxkx xm2mg sin 0 xmax（3） vx xmaxk例3-7如图，长为l，质量为M的均匀细棒可饶过O点转动。一质量为m的质点以的转轴在竖直面内初速v0沿水平方向运动，与在竖直位置的细棒的末端发生完全非弹性碰撞，碰撞后两者一起上摆。求（1）碰撞后瞬间两者一起上摆的角速度，（2）两者一起上摆的最