圆里的截长补短课件

1、圆里的截长补短天津石化一中 曹诚 2003.09题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCM分析：把已知条件及可得结论标在图上：60606060BAC=60，。.题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCM分析：把已知条件及可得结论标在图上：60606060BAC=60，。.把能表示的60角用圆弧表示：题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCM分析：把已知条件及可得结论标在图上：606060BAC=60，。.把能表示的60角用圆弧表示：）题目：如图，M是等边ABC的外

2、接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCM分析：把已知条件及可得结论标在图上：6060BAC=60，。.把能表示的60角用圆弧表示：）题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCM分析：把已知条件及可得结论标在图上：BAC=60，。.把能表示的60角用圆弧表示：）60题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCM分析：把已知条件及可得结论标在图上：BAC=60，。.把能表示的60角用圆弧表示：）题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCMBAC=60，。.）分

3、析1：补短法延长BM到N，使MN=CM，NCMN=BAC=60，）连结CN.MA=NB，MA？NB？MACNBC，AC=BC，MAC=NBC，AMC=BNC，AMC=60，BNC=60，CMN是等边三角形，CMN是等边三角形，题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCM。.）证法1：延长BM到N，使MN=CM，N）连结CN.MA=NB，MACNBC，AC=BC，MA=MB+MC.AB=BC=CA，BAC=ABC=60.CMN=BAC=60，CMN是等边三角形，BNC=60.AMC=ABC=60，AMC=BNC.MAC=NBC，题目：如图，M是等边ABC

4、的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCMBAC=60，。.）分析2：补短法延长MB到S，使BS=MC，SACM=ABS，连结AS.MA=MS，MA？SA？AC=AB，ABS=ACM，MC=SB，MACSAB，AMB=60，MA=MS=AS，MA=AS，ABCM。.）证法2：延长MB到S，使BS=MC，S连结AS.AC=AB=BC，则ABS=ACM.MACSAB，AMB=ACB=60，MA=MS=AS，MA=SA.MA=MB+MC.题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ACB=60，题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：

5、MA = MB+MC.）ABCM。.）分析3：补短法延长MC到T，使CT=BM，TABM=ACT，连结AT.MA=MT，MA？TA？AB=AC，ACT=ABM，BM=CT，MABTAC，AMC=60，MA=MT=AT，MA=AT，ABCM。.）证法3：延长MC到T，使CT=BM，T连结AT.则ACT=ABM，AC=AB=BC，MABTAC， AMC=ABC=60，MA=MT=AT，MA=TA.MA=MB+MC.题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABC=60，题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCM。.）分

6、析4：补短法延长CM到F，使MF=BM，FABM=CBF，连结BF.MA=FC，MA？FC？AB=CB，BM=BF，MABFCB，BAC=60，BMF=BAC=60，）BFM是等边三角形，BFM是等边三角形，）ABCM。.）证法4：延长CM到F，使MF=BM，FFMB=FBM=60，连结BF，MA=FC， AB=AC=CB，BAC=ABC=60.BM=BF，MABFCB，则BMF=BAC=60，）则BFM是等边三角形，）ABM=CBF，MA=MB+MC.题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA =

7、MB+MC.）ABCM。）分析5：截长法在AM上截取AE=MC，EBCM=BAM，连结BE.ME=MB，MB？EB？BC=BA，CM=AE，MBCEBA，AMB=60，ME=MB=BE，MB=EB，ABCM。）证法5：在AM上截取AE=MC，EBCM=BAE， CM=AE，ME=MB；BC=BA=AC，ACB=60.MBCEBA，AMB=ACB=60，ME=MB=BE，MA=ME+AE=MB+MC.连结BE.题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCM分析6：截长法在MA上截

8、取MK=MC，KKAC=MBC，连结KC.AK=MB，AK？BM？AC=BC，AKC=BMC，AKCBMC，KCM是等边三角形，BMC=120，.）AKC=120，KCM是等边三角形.）ABCM证法6：在MA上截取MK=MC，KKAC=MBC，连结KC.AK=MB，AC=BC=AB，ABC=ACB=60，AMC=ABC=60， AMB=ACB=60，BMC=120，AKCBMC，KCM是等边三角形，.）AKC=120=BMC，）MA=AK+MK=MB+MC.题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA

9、= MB+MC.）ABCM分析7：截长法在AM上截取AD=MB，DMBC=DAC，连结DC.MD=MC，MC？DC？CB=CA，BM=AD，MCBDCA，DMC=60，.）MD=MC=DC，）MC=DC，ABCM证法7：在AM上截取AD=MB，DMBC=DAC，连结DC.CB=CA=AB，ABC=60.BM=AD，MCBDCA，DMC=ABC=60，.）MD=MC=DC，）MC=DC.MA=AD+MD=MB+MC.题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCM。）分析8：截长法

10、在MA上截取MH=MB，HBAH=BCM，连结BH.AH=MC，AH？CM？AB=CB，ABH=CBM，AHBCMB，ABC=60，HBM=60，HBM是等边三角形.HBM是等边三角形.ABCM。）证法8：在MA上截取MH=MB，HBAH=BCM，AHBCMB， AH=MC，连结BH.AB=CB=BC，ACB=ABC=60.AMB=ACB=60，HBM是等边三角形，HBM=60=ABC，ABH=CBM.MA=MH+AH=MB+MC.题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.） “截长补短”是初中平面几何中化难为易的一种常用解题思想。 本题是一道典型例题。 这里

11、表现 8 种证法，是要说明实际解题时怎么补、怎么截。在作好辅助线后要及时看到所产生的辅助条件，结合已知条件打通思路。 本题的其它证法附于后面。ABCM证法9：BC=AC=AB，由托勒密定理得BCMA =ACMB+ABMC.MA=MB+MC.题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCM。）证法10：记MA交BC于点P.AMC=AMB .BCM=BAM ，MCP MAB ，MA=MB+MC.题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）P = ；MC CPMA AB同理， = .MB BPMA AC + = + =1，MB

12、MC BP CPMA MA AC ABAC=AB，AC(=AB，BC=AC=AB，.一、我们因梦想而伟大，所有的成功者都是大梦想家：在冬夜的火堆旁，在阴天的雨雾中，梦想着未来。有些人让梦想悄然绝灭，有些人则细心培育维护，直到它安然度过困境，迎来光明和希望，而光明和希望总是降临在那些真心相信梦想一定会成真的人身上。威尔逊二、梦想无论怎样模糊，总潜伏在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实才止；像种子在地下一样，一定要萌芽滋长，伸出地面来，寻找阳光。林语堂三、多少事，从来急；天地转，光阴迫。一万年太久，只争朝夕。毛泽东四、拥有梦想的人是值得尊敬的，也让人羡慕。当大多数人碌碌而为

13、为现实奔忙的时候，坚持下去，不用害怕与众不同，你该有怎么样的人生，是该你亲自去撰写的。加油！让我们一起捍卫最初的梦想。柳岩五、一个人要实现自己的梦想，最重要的是要具备以下两个条件：勇气和行动。俞敏洪六、将相本无主，男儿当自强。汪洙七、我们活着不能与草木同腐，不能醉生梦死，枉度人生，要有所作为。方志敏八、当我真心在追寻著我的梦想时，每一天都是缤纷的，因为我知道每一个小时都是在实现梦想的一部分。佚名九、很多时候，我们富了口袋，但穷了脑袋；我们有梦想，但缺少了思想。佚名十、你想成为幸福的人吗？但愿你首先学会吃得起苦。屠格涅夫十一、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。伏尼契十二、世之初应该立即抓住第一次的

14、战斗机会。司汤达十三、哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上的。鲁迅十四、信仰，是人们所必须的。什麽也不信的人不会有幸福。雨果十五、对一个有毅力的人来说，无事不可为。海伍德十六、有梦者事竟成。沃特十七、梦想只要能持久，就能成为现实。我们不就是生活在梦想中的吗？丁尼生十八、梦想无论怎样模糊，总潜伏在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实。林语堂十九、要想成就伟业，除了梦想，必须行动。佚名二十、忘掉今天的人将被明天忘掉。歌德二十一、梦境总是现实的反面。伟格利二十二、世界上最快乐的事，莫过于为理想而奋斗。苏格拉底二十三、“梦想”是一个多么“虚无缥缈不切实际”的词啊。在很多

15、人的眼里，梦想只是白日做梦，可是，如果你不曾真切的拥有过梦想，你就不会理解梦想的珍贵。柳岩二十四、生命是以时间为单位的，浪费别人的时间等于谋财害命，浪费自己的时间，等于慢性自杀。鲁迅二十五、梦是心灵的思想，是我们的秘密真情。杜鲁门卡波特二十六、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。白哲特二十七、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。康德二十八、青少年是一个美好而又是一去不可再得的时期，是将来一切光明和幸福的开端。加里宁二十九、梦想家命长，实干家寿短。约奥赖利三十、青年时准备好材料，想造一座通向月亮的桥，或者在地上造二所宫殿或庙宇。活到中年，终于决定搭一个棚

16、。佚名三十一、在这个并非尽善尽美的世界上，勤奋会得到报偿，而游手好闲则要受到惩罚。毛姆三十二、在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦，沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。马克思三十三、在劳力上劳心，是一切发明之母。事事在劳力上劳心，变可得事物之真理。陶行知三十四、一年之计在于春，一日之计在于晨。萧绛三十五、没有一颗心会因为追求梦想而受伤，当你真心想要某样东西时，整个宇宙都会联合起来帮你完成。佚名三十六、梦想不抛弃苦心追求的人，只要不停止追求，你们会沐浴在梦想的光辉之中。佚名三十七、一块砖没有什么用，一堆砖也没有什么用，如果你心中没有一个造房子的梦想，拥有天下所有的砖头也是一堆废物；但如

17、果只有造房子的梦想，而没有砖头，梦想也没法实现。俞敏洪三十八、如意算盘，不一定符合事实。奥地利三十九、志向不过是记忆的奴隶，生气勃勃地降生，但却很难成长。莎士比亚四十、如果失去梦想，人类将会怎样？热豆腐四十一、无论哪个时代，青年的特点总是怀抱着各种理想和幻想。这并不是什么毛病，而是一种宝贵的品质。佚名四十二、梦想绝不是梦，两者之间的差别通常都有一段非常值得人们深思的距离。古龙四十三、梦想家的缺点是害怕命运。斯菲利普斯四十四、从工作里爱了生命，就是通彻了生命最深的秘密。纪伯伦四十五、穷人并不是指身无分文的人，而是指没有梦想的人。佚名四十六、不要怀有渺小的梦想，它们无法打动人心。歌德四十七、人生最

18、苦痛的是梦醒了无路可走。做梦的人是幸福的；倘没有看出可以走的路，最要紧的是不要去惊醒他。鲁迅四十八、浪费别人的时间是谋财害命，浪费自己的时间是慢性自杀。列宁四十九、意志薄弱的人不可能真诚。拉罗什科五十、梦想绝不是梦，两者之间的差别通常都有一段非常值得人们深思的距离。古龙五十一、得其志，虽死犹生，不得其志，虽生犹死。无名氏五十二、所虑时光疾，常怀紧迫情，蹒跚行步慢，落后最宜鞭。董必武五十三、梦想只要能持久，就能成为现实。我们不就是生活在梦想中的吗？丁尼生五十四、很难说什么是办不到的事情，因为昨天的梦想，可以是今天的希望，并且还可以成为明天的现实。佚名五十五、要用你的梦想引领你的一生，要用感恩真诚

19、助人圆梦的心态引领你的一生，要用执著无惧乐观的态度来引领你的人生。李开复五十六、人类也需要梦想者，这种人醉心于一种事业的大公无私的发展，因而不能注意自身的物质利益。居里夫人五十七、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。伏尼契五十八、梦想一旦被付诸行动，就会变得神圣。阿安普罗克特五十九、一个人追求的目标越高，他的才力就发展得越快，对社会就越有益。高尔基六十、青春是人生最快乐的时光，但这种快乐往往完全是因为它充满着希望，而不是因为得到了什么或逃避了什么。佚名六十一、生命里最重要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚毅来完成它。歌德六十二、没有大胆的猜测就作不出伟大的发现。牛顿六十三、梦想，是一个目标，

20、是让自己活下去的原动力，是让自己开心的原因。佚名六十四、人生太短，要干的事太多，我要争分夺秒。爱迪生六十五、一路上我都会发现从未想像过的东西，如果当初我没有勇气去尝试看来几乎不可能的事，如今我就还只是个牧羊人而已。牧羊少年的奇幻之旅六十六、一个人越敢于担当大任，他的意气就是越风发。班生六十七、贫穷是一切艺术职业的母亲。托里安诺六十八、莫道桑榆晚，为霞尚满天。刘禹锡六十九、一切活动家都是梦想家。詹哈尼克七十、如果一个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。小塞涅卡七十一、人性最可怜的就是：我们总是梦想着天边的一座奇妙的玫瑰园，而不去欣赏今天就开在我们窗口的玫瑰。佚名七十二、一个人如果已

21、经把自己完全投入于权力和仇恨中，你怎么能期望他还有梦？古龙七十三、一个人有钱没钱不一定，但如果这个人没有了梦想，这个人穷定了。佚名七十四、平凡朴实的梦想，我们用那唯一的坚持信念去支撑那梦想。佚名七十五、最初所拥有的只是梦想，以及毫无根据的自信而已。但是，所有的一切就从这里出发。孙正义七十六、看见一个年轻人丧失了美好的希望和理想，看见那块他透过它来观察人们行为和感情的粉红色轻纱在他面前撕掉，那真是伤心啊！莱蒙托夫七十七、努力向上吧，星星就躲藏在你的灵魂深处；做一个悠远的梦吧，每个梦想都会超越你的目标。佚名七十八、正如心愿能够激发梦想，梦想也能够激发心愿。佚名七十九、梦想一旦被付诸行动，就会变得神圣。阿安普罗克特八十、对于学者获得的成就，是恭维还是挑战？我需要的是后者，因为前者只能使人陶醉而后者却是鞭策。巴斯德八十一、冬天已经到来，春天还会远吗？雪莱八十二、一个人想要成功，想要改变命运，有梦想是重要的。我觉得每个人都应该心中有梦，有胸怀祖国的大志向，找到自己的梦想，认准了就去做，不跟风不动摇。同时，我们不仅仅要自己有梦想，你还应该用自己的梦想去感染和影响别人，因为成功者一定是用自己的梦想去点燃别人的梦想，是时刻播种梦想的人。李彦宏八十三、梦想是人们与生俱来的重要宝物之一，它等待你的珍视和实践。邹金宏八十四、心存希望，幸福就会降临你；心存梦想，机遇就会笼罩你。佚名八十五、第一，有梦