圆的对称性21北师大版课件

1、 圆的对称性(1) -垂径定理 想一想1.圆是轴对称图形吗？你是用什么方法解决这个问题的?圆是轴对称图形.其对称轴是任意一条过圆心的直线.如果是,它的对称轴是什么?用折叠的方法即可解决这个问题.你能找到多少条对称轴?O 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).O经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).AB以A,B两点为端点的弧.记作 ,读作“弧AB”.AB小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 (用两个字母).ADB大于半圆的弧叫做优弧,如记作 (用三个字母).ABCD 相关概念如图,CD是直径, AB弦, CDAB,垂足为M 。你能发现图中有哪些等量关系？请你说说

2、它们相等的理由。OCDABMAM=BM，AC=BC，AD=BD 探求不断连接OA,OB,OABCDM则OA=OB.AM=BM.点A和点B关于CD对称.O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,AC和BC重合,AD和BD重合.AC =BC,AD =BD.CDAB于M证明：已知：CD是O的直径，AB是O的弦， 且CDAB于M，求证：AM=BM， AC =BC, AD =BD垂径定理定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.OABCDMCDAB, CD是直径, AM=BM, AC = BC, AD = BD.条件一条直径垂直于弦直径平分弦平分弦所对的劣弧结论平分弦所对的优弧

3、下列图形是否具备垂径定理的条件？火眼金睛OEDCAB 如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径。E.ABO解：连结OA。过O作OEAB，垂足为E则AEBE AB 84厘米在RtAOE中，OE=3厘米，根据勾股定理OAO的半径为5厘米。厘米若E为弦AB上一动点，则OE取值范围是_。练一练如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ，点o是 的圆 心)，其中CD=600m,E为 上一点，且OECD ，垂足为F，EF=90m,求这段弯路的半径。CDE FO练一练CDCDCD A、AC=AD B、BC=BD C、AM=OM D、CM=DM1.在O中，若CD AB于M，

4、AB为直径，则下列结论不正确的是（ ）练一练2.已知O的直径AB=10，弦CD AB，垂足为M，OM=3，则CD= .3.在O中，CD AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则O的半径是 . OCDABMC813CDAB,垂径定理的逆定理AB是O的一条弦,且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由. 做一做过点M作直径CD.O下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?小明发现图中有:CD由 CD是直径 AM=BM可推得AC=BC,AD=BD. MAB CDAB,垂径定理的逆定理OCD CD是直径 AM=BM可推得 AC=BC, AD=BD. AB平分弦（不是直

5、径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.被平分的这条弦不是直径M 判断：垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）平分弦的直径一定垂直于这条弦. （ ）(3)弦的垂直平分线一定经过圆心. （ ）练一练课堂小结：1.请说出本节所学习的主要内容。2.还有什么疑惑请提出来 已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC=BD o oABCDE证明：过O作OEAB于E，解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。练一练则 AE=BE,CE=DEAECE=BEDE即AC=BDO

6、ABCD如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么?EFMN挑战自我 做一做挑战自我 画一画如图,M为O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.OM如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E， CEB=30，DE=6，CE=2，求弦AB的长。FEDOCAB挑战自我 做一做反思小结：布置作业： 1、对垂径定理的理解(1)证明定理的方法是典型的“叠合法”(2)定理是解决有关弦的问题的重要方法(3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在“垂直于弦的直径”上。圆、弦又关于直径所在的直线对称。2、关于垂径定理的运用(1)辅助线的常用作法(2)注意把问题化为解直

7、角三角形的问题 3、思考题已知：在以O点为圆心的两个同心圆中。大圆的弦CD交小圆于E、F，OE、OF的延长线交大圆于AB。 求证：。OCAEBDF AC=BD.1 3、思考题已知：在以O点为圆心的两个同心圆中。大圆的弦AB交小圆于C、D. 求证：ACDB。OACBDE如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.ABCD0EFGHMN垂径定理的应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. ED 600垂径定理的应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB

8、= 600mm，求油的最大深度. BAO600 650DC赵州石拱桥1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).赵州石拱桥解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.由题设在RtOAD中，由勾股定理，得解得 R27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.RD37.47.2练习:在圆O中，直径CEAB于 D，OD=4

9、 ，弦AC= ， 求圆O的半径。r4r-4 .AOBECDF思考题已知：AB是O直径，CD是弦，AECD，BFCD求证：ECDF圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.O例：如图，已知圆O的直径AB与弦CD相交于G，AECD于E，BFCD于F，且圆O的半径为10，CD=16 ，求AE-BF的长。船能过拱桥吗2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？船能过拱桥吗解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线

10、OD,D为垂足,与 相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.由题设得在RtOAD中，由勾股定理，得解得 R3.9（m）.在RtONH中，由勾股定理，得此货船能顺利通过这座拱桥. 练习已知：如图，O 中， AB为 弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求O 的半径OA.46凡事不要说我不会或不可能，因为你根本还没有去做！47成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践48只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星49上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价50现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。51宁可辛

11、苦一阵子，不要苦一辈子52为成功找方法，不为失败找借口53不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。54垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！55不一定要做最大的，但要做最好的56死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！57成功是动词，不是名词！28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也； 立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。孝经61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。荀子劝学篇62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！64、活鱼会逆水而上

12、，死鱼才会随波逐流。65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。68、找不到路不是没有路，路在脚下。69、幸福源自积德，福报来自行善。70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。74、今天学习不努力，明天努力找工作。75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。78、技艺创造价值，本领改变命运。79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。81、我不是来龙飞享福的，但，我是