无穷级数的概念与性质课件

1、10:00:35第八章 无穷级数8.1 数项级数的概念和性质 8.2 数项级数敛散性判别法 问题: 其原函数都不能用初等函数表示，利用无穷级数作为工具就可以处理这类问题。离散量之和的数学模型.无穷级数也是以极限为理论基础 无穷级数是高等数学的一个重要内容，是研究无限个的一个重要的数学工具。无穷级数是一个与数列极限有着密切联系的概念，是一种特殊形式的数列极限。 无穷级数作为一种处理数据的理论与方法，它在表示等方面都有它独特的贡献。函数、研究函数的性质，求解微分方程以及进行数值计算第八章 无穷级数 在经济学、金融学中应用非常广泛，如股票定价、年金、现金流贴现等领域都有广泛的应用.第八章 无穷级数

2、8.1 数项级数的概念和性质 8.2 数项级数敛散性判别法 返 回微积分CALCULUS 第八章 无穷级数 第一节 数项级数的概念和性质 1.理解数项级数的收敛、发散以及收敛级数的和的概念教学目的:常数项级数收敛与发散的概念及收敛级数的 基本性质重点：2.掌握几何级数、调和级数的敛散性3.掌握无穷级数基本性质及收敛的必要条件 无穷级数是在生产实践和科学研究中产生和发展起来的。早在我国古代的魏晋时期，我国数学家刘徽在利用割圆术求圆的面积时，就萌发了无穷级数的思想。18-19世纪,无穷级数在并伴随着极限理论的产生欧洲逐步得到发展，建立起了一套完整的理论。导言：8.1 数项级数的概念和性质 求和运算

3、是数学的最基本运算，从初等数学到高等数学随时都可以遇到，这些求和主要是有限项之和.例：等比数列求和 在实际问题中, 除了要遇到有限项求和外, 经常还要遇到无穷个数量相加的问题.例：数值相加、函数相加、数列求和等.一 、数项级数的概念例：8.1 数项级数的基本概念 圆的面积问题:则有这里就出现了无穷个数量相加问题.半径为 的圆的面积为 边为底、顶点在圆周上作三角形其面积和 为 以正六边形在圆内作圆的内接正六边形其面积为 例：以此类推正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积正二十四边形的面积割圆术（无穷级数）一 、数项级数的概念一 、数项级数的概念设给定数列u1, u2, , un , ，或一般

4、项. 其中第n 项un称为通项称为数项级数或无穷级数, 记为 用加号将其连接起来所得和式按其给定次序 1.定义1 （1）（2）都是数项级数.例：简称为级数, （1） 无穷级数的定义只是在形式上表达了无穷多个数的和。 无穷级数的定义只是在形式上表达了无穷多个数的和。应该怎样理解其意义呢？例：用 表示上式的前n 项和，即这样就得到一个数列 （部分和数列）解 由数列极限概念，可知数列 在 时的极限，一 、数项级数的概念可以看成上式的和.由等比数列求和公式得于是所以 此例说明为了解决无穷项相加问题，按照有限与无限之间的辨证转化关系。而由于任意有限个数的和 因此，我们可以通过考察无穷级数的前n项的和随着

5、n的变化趋势来认识这个级数。是可以完全确定的，部分和数列2.级数的前n项部分和与部分和数列：当n依次取1,2,3,时,即它们构成一个新的数列称为级数的前n项部分和. 部分和数列,级数 的前n项和一 、数项级数的概念一 、数项级数的概念则称级数 收敛, 若 不存在, 则称级数 发散.若级数 的部分和数列记为并称此极限值 S 为级数的和, 定义3.级数收敛与发散注：发散的级数没有和.当级数发散时，因为发散的级数没有和，如果使用了发散级数的和，就会导致错误的结果，故判别级数是否收敛是非常重要的级数敛散性的判定方法由此，判断一个级数是收敛的还是发散的，只要看它的部分和数列 有无极限即可。 这样，数项级

6、数的敛散性问题就转化为数列的敛散性问题(定义法)一 、数项级数的概念例1解得所以故该级数收敛，其和为1.分析：（折项法）（裂项相消法） 例2 判定等比级数 的敛散性. 解当|q|1时, 即级数收敛.即级数发散.即级数发散.即级数发散.不存在，（又称为几何级数）(结论） 几何级数是一个标准级数它可作为讨论其它级数敛散性的参照级数。根据几何级数的敛散性结论，可以直接从公比的值来判定级数的敛散性将一个函数展开成无穷级数等等各个方面都有广泛而几何级数是收敛级数中最著名的一个级数.几何级数在判断无穷级数的收敛性、求无穷级数的和以及重要的应用。例解因为公比有所以其和解因为公比有所以，例级数 是否收敛的基本

7、方法， 根据级数的部分和数列 有无极限虽然是判定但是，大多数级数的 部分和数列是很难求得的，因此，有必要研究级数的基本性质，寻求比较简单的判别级数敛散性的方法。 由于对无穷级数的敛散性的讨论可转化为对它的部分和数列的敛散性的研究，因此，根据收敛数列的基本性质可得关于收敛级数的基本性质。二、无穷级数的基本性质二、数项级数的基本性质若级数 收敛于S, 则级数 收敛于k S. 设级数 与 的部分和分别为 与由于 ，从而级数 与 的敛散性相同.性质1（数乘性）证或同时发散，同时收敛于是极限 对任意常数结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.则有则级数二、无穷级数的基本性质 若级数 与 分

8、别收敛于则 必收敛, 其和为设 的部分和为 ， 与因为于是所以，级数 收敛于证所以（可加性）性质2S和T，结论: 收敛级数可以逐项相加或逐项相减.则有推论：例 判定 的收敛性.所以由级数收敛性质知因为等比级数 与 均收敛.解二、无穷级数的基本性质例 判断级数的敛散性.解由几何级数的敛散性结论知，发散，收敛，由性质2的推论得，注：有可能收敛，也有可能发散。例发散，发散，收敛二、无穷级数的基本性质例收敛，则也收敛.发散，则也发散.在级数 中添加、去掉或改变有限项,所得新级数与原来级数的敛散性相同.（有限项性） 性质3收敛时其和可能发生变化.二、无穷级数的基本性质注：在需讨论级数的敛散性而不关心其和

9、为多少时，可只考虑该级数中从某项以后的项组成的新级数的敛散性。 收敛级数加括号后所得新级数仍收敛且和不变. （顺项可括性） 性质4注收敛级数去括号后所得的新级数不一定收敛. 收敛 发散发散级数加括号后所得的新级数不一定发散.如果加括号后所得的新级数发散， 推论则原级数也发散.该性质说明收敛级数满足加法的结合律.二、无穷级数的基本性质例 定理(收敛必要条件)若 收敛,又证由于 收敛，.注意：这个定理的逆命题不正确.但若 则 发散.则因此由极限的运算法则可知三、收敛的必要条件（逆否命题）即 （必要不充分）当考察一个级数是否收敛时，首先应当考虑趋于零。例 判定级数 的敛散性.解 所以级数为发散级数.

10、所给级数的通项 定理(收敛必要条件)若 收敛,则但必须注意的是，而不是充分条件，而不能用即 定理(收敛必要条件)若 收敛,则例 证明调和级数 发散.但级数发散.有分析 构造几何图形，例 证明调和级数 发散.此部分和大于曲边梯形的面积所以故调和级数发散.1 2 3 4 n n+1证明一即但级数发散.有分析等于图形中矩形面积之和由图可知级数的部分和 定理(收敛必要条件)若 收敛,则注:当n越来越大时,调和级数的项变得越来越小,然而,慢慢地 -非常慢慢地-它的和将增大并超过任何有限值.调和级数的这种特性使一代又一代的数学奥雷姆(1323-1382)在极限概念被完全理解之前约400年首次证明的.下面的

11、数字将有助于我们更好地理解此级数.家们困惑并为之着迷.它的发散性是由法国学者尼古拉.此级数的前1000项相加约为7.485;相加约为14.357;前100万项前10亿项相加约为21;前10000亿项相加约为28等等;更有学者估计过,为了使调和级数的和等于100,必须把如果我们试图在一 调和级数 发散.个很长的纸带上写下此级数,直到它的和超过100,即使每个项只占1mm长的纸带,也必须使用的纸带,这大约为但是宇宙的已知尺寸调和级数的某些特性至今仍未得到解决. 调和级数 发散.（一）数项级数的基本概念1.数乘性（二）级数的基本性质2.可加性3.有限项性4.加括号性部分和数列前n项部分和5.收敛的必

12、要条件小结（三）基本审敛法(四)结论1.几何级数2.调和级数发散.继续判断.则级数发散。且级数收敛时，小结作业: P269 4（1，2，5）；5 下次课内容第二节 数项级数敛散性判别法 (1) 若 收敛， 发散, 则 必定发散. (2) 若 发散， 也发散, 则 不一定发散. (4) 若 发散, 思考与练习：以下命题请给出证明或反例.(3) 若级数 发散, 则级数 (k0) 必定发散.则添括号的新级数不一定发散.思考题例求这个级数。解因为所以从而故所求的级数为例2 判定级数 的收敛性.解可知故所给级数收敛，且和为1.所给级数的前n项和 例 (芝诺悖论)乌龟与阿基里斯赛跑问题:芝诺(古希腊哲学家)认为如果先让乌龟爬行一段路程后,再让阿基里斯(古希腊神话中的赛跑英雄)去追它,那么阿基里斯将永远追不上乌龟. 芝诺的理论根据是：阿基里斯在追上乌龟前,必须先到达乌龟的出发点,这时乌龟已向前爬行了一段路程,于是,阿基里斯必须赶上这段路程,可是乌龟此时又向前爬行了一段路程如此下去,虽然阿基里斯离乌龟越来越接近,但却永远追不上乌龟. 该结论显然是错误的,但从逻辑上讲这种推论却没有任何矛盾这就是著名的芝诺悖论. 在此,我们用