新人教版高中数学必修第二册第七章复数：7.3. 复数的三角表示

1、7.3*复数的三角表示7.3.1复数的三角表示式7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义基础过关练 题组一复数的三角表示式1.复数12-32i的三角形式是()A.cos-3+isin-3B.cos 3+isin 3C.cos 3-isin 3D.cos 3+isin 562.复数z=sin 15+icos 15的三角形式是()A.cos 195+isin 195B.sin 75+icos 75C.cos 15+isin 15D.cos 75+isin 753.(多选)下列各角可以作为复数33-3i的辐角的是()A.-6B.116C.-3D.534.复数z=1-cos +isin (2)的

2、辐角的主值为()A.2-2B.2C.52-2D.2-25.复数z=cos 6-isin 6的辐角的主值为.6.把下列复数表示成三角形式. (1)-1-i;(2)ai(a0);(3)-3(sin -icos ).深度解析7.把下列复数表示成代数形式.(1)z1=3cos 4+isin 4;(2)z2=3cos 43+isin 43;(3)z3=22cos 76-isin 76.题组二复数三角形式的乘、除运算8.如果2,那么复数(1+i)(cos -isin )的三角形式是()A.2cos94-+isin94-B.2cos(2-)+isin(2-)C.2cos4+isin4+D.2cos34+is

3、in34+9.设复数z1=1+3i,z2=3+i,则z1z2的辐角的主值是.10.计算:(1)8cos 43+isin 434cos 56+isin 56;(2)3(cos 225+isin 225)2(cos 150+isin 150);(3)4cos 4+isin 4.题组三复数三角形式乘、除运算的几何意义11.把复数1+i对应的向量按逆时针方向旋转2,所得到的向量对应的复数是.12.已知向量OZ对应的复数为-2i,把OZ绕原点O按顺时针方向旋转45后,再把模变为原来的32倍得到向量OZ1,则OZ1对应的复数为.(用代数形式表示)13.在复平面内,把复数3-3i对应的向量分别按逆时针和顺时

4、针方向旋转3,求所得向量对应的复数.答案全解全析基础过关练1.A依题意得,r=122+-322=1,cos =12,复数12-32i对应的点在第四象限,所以arg12-32i=53,所以 12-32i=cos 53+isin 53=cos2-3+isin 2-3=cos-3+isin-3.2.Dz=sin 15+icos 15=cos 75+isin 75,故选D.3.AB依题意得,r=(33)2+(-3)2=6,cos =336=32,复数33-3i对应的点在第四象限,所以arg(33-3i)=116,所以2k+116(kZ)都可以作为复数33-3i的辐角,结合选项可知,A、B正确.4.Cz

5、=1-cos +isin =2sin22+2isin 2cos 2=2sin 2sin 2+icos 2=2sin 2cos 2-2+isin2-2,2,22,-22-20.辐角的主值的取值范围为0,2),复数z的辐角的主值为52-2.5.答案116解析z=cos 6-isin 6=cos 2-6+isin2-6=cos 116+isin 116.故复数z的辐角的主值为116.6.解析(1)依题意得,r=2,cos =-22,复数对应的点在第三象限,所以-1-i的辐角的主值为54.所以-1-i=2cos 54+isin 54或-1-i=2cos-34+isin-34.(2)因为a0,所以r=|

6、a|=-a,复数对应的点在y轴的负半轴上,取=-2,所以ai=-acos-2+isin-2.(3)-3(sin -icos )=3(-sin +icos )=3cos2+isin2+.深度剖析(1)复数三角形式的特征:(2)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值,且这些值相差2的整数倍.例如,复数i的辐角是2+2k,其中k可以取任何整数.(3)对于复数0,因为它对应着零向量,而零向量的方向是任意的,所以复数0的辐角也是任意的.7.解析(1)z1=3cos 4+3isin 4=322+322i.(2)z2=3cos 43+3isin 43=-32-32i.(3)z3=22cos 76-22isi

7、n 76=-6+2i.8.A因为1+i=2cos 4+isin 4,cos -isin =cos (2-)+isin (2-),所以(1+i)(cos -isin )=2cos4+2-+isin4+2-=2cos94-+isin94-.9.答案6解析由题得,z1=2cos 3+isin 3,z2=2cos 6+isin 6,所以z1z2的辐角是3-6=6,又因为60,2),所以z1z2的辐角的主值是6.10.解析(1)8cos 43+isin 434cos 56+isin 56=32cos43+56+isin43+56=32cos 136+isin 136=32cos 6+isin 6=323

8、2+12i=163+16i.(2)3(cos 225+isin 225)2(cos 150+isin 150)=32cos (225-150)+isin (225-150)=62(cos 75+isin 75)=626-24+6+24i=334+3+34i.(3)4cos 4+isin 4=4(cos 0+isin 0)cos 4+isin 4=4cos-4+isin-4=22-22i.11.答案-1+i解析由题意得,(1+i)cos 2+isin 2=(1+i)i=-1+i.12.答案-322-322i解析OZ1对应的复数为-2i32cos -4+isin-4=-2i324-324i=-322-322i.13.解析由题意得,(3