新人教版高中数学必修第二册第七章复数：7.1.2 复数的几何意义

1、7.1.2复数的几何意义 1.理解复数的几何意义. 2.了解共轭复数的概念. 3.通过学习本节内容,能借助几何直观理解复数的几何意义,逐步形成直观想象的核心素养. 复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数的几何意义 复数的模复数z=a+bi(a,bR,i为虚数单位)对应的向量为,则向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|.即|z|=|a+bi|=,其中a,bR. 共轭复数一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两

2、个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示,即如果z=a+bi(a,bR),那么=a-bi(a,bR).1.在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.()2.复数的模一定是正实数.()3.两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件.()提示：两个复数相等可以推出这两个复数的模相等,反之未必,因此结论正确.4.复数z=a+bi(a,bR,i为虚数单位)的模为a2+b2.()5.若两个复数互为共轭复数,则这两个复数的模相等.()判断正误，正确的画“” ，错误的画“ ” .提示：设z=a+bi(a,bR),则=a-bi,因此|z|=|=,因此结论正确. 复数几何意义的应用 1.利用复数与点

3、的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系:复数z=a+bi(a,bR)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,这是解决此类问题的根据. (2)列出关系式求解:根据题意,建立复数的实部与虚部应满足的关系式,进而求解. 2.根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量. 3.解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在复平面内对应的点分别为A,B

4、,C,若BAC是直角,求实数c的值.思路点拨由已知得出A,B,C三点的坐标,再根据BAC是直角,利用向量垂直的充要条件建立方程,从而求出c的值.解析在复平面内,A,B,C三点的坐标分别为(3,4),(0,0),(c,2c-6),则=(-3,-4),=(c-3,2c-10).由BAC是直角,得,所以=0,即-3(c-3)-4(2c-10)=0,解得c=.故实数c的值为.已知i为虚数单位,在复平面内,复数i,1,4+2i对应的点分别是A,B,C.求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数.思路点拨根据复数的几何意义将复数对应的点(或向量)表示出来,然后依据平行四边形的性质求解.解析解法一:由复数的几

5、何意义得A(0,1),B(1,0),C(4,2),则AC的中点坐标为,由平行四边形的性质知,该点也是BD的中点,设D(x,y),则解得即点D的坐标为(3,3),点D对应的复数为3+3i.解法二:由复数的几何意义得A(0,1),B(1,0),C(4,2),设D(x,y),则=(1,-1),=(4-x,2-y).四边形ABCD是平行四边形,=,解得点D的坐标为(3,3),点D对应的复数为3+3i.解法三:由已知得=(0,1),=(1,0),=(4,2),=(-1,1),=(3,2),=+=(2,3),=+=(3,3),点D对应的复数为3+3i. 复数模的范围(或最值)问题 求解关于复数模的范围(或

6、最值)问题的两种方法 1.转化为函数式:将z=x+yi(x,yR)直接代入要求的式子中去,把要求的模用关于x,y的式子表示出来,转化为函数求范围(或最值)的问题. 2.数形结合:因为复数与图形有着密切的关系,所以可以利用这种关系将所给条件转化为图形,直观地得出最值.已知zC,i为虚数单位,且|z|=1,则|z-2|的最小值为(A)A.1B.2C.D.0思路点拨设z=x+yi(x,yR),把|z-2|表示成关于x的式子,然后求其最小值.解析设z=x+yi(x,yR),因为|z|=1,所以x2+y2=1,-1x1,-1y1,易得|z-2|=|x-2+yi|=,因为-1x1,所以的最小值为1,即|z-2|的最小值为1.答案A已知z1=+i,z2=2+i,设zC,在复平面内z对应的点为Z,求满足条件|z1|z|z2|的点Z的集合表示