72线性变换的运算

1、第七章线性变换学习单元2 :线性变换的运算导学学习目标：理解线性变换的加法、数乘、乘法运算的定义；了解线性变换关于加法、数乘、乘 法的运算性质；理解线性变换的募运算及线性变换的多项式。学习建议：建议大家多看书，多看例题，一个一个的对运算进行理解掌握，可以自己对某个具 体线性空间的某些线性变换进行加法、 数乘、乘法运算，看看运算后的线性变换是怎样 的。重点难点：重点：深刻理解线性变换的加法、数乘、乘法运算的定义。难点：理解可逆线性变换的概念及线性变换的多项式。学习内容一、线性变换的加法、数乘、乘法的定义及性质定义 设V为数域P上线性空间，k P,A, B L(V)令kA:V VkA()；A B:

2、V V:A( ) B( )AB : V VoA( B( )称kA为k与A的数乘，A B为A与B的和，AB为A与B的积注：(kA)( ) k(A()(写成 kA()；(A B)( ) A( ) B()；(AB)( ) A(B()。定理 kA, A B, AB L(V) o性质(1) A B B A；(A B) C A (B C )； A O A;(4)对 A L(V),存在 B L(V),使 A B O； 1A A；(6) (kl)A k(lA);(k l)A kA lA ；k(A B) kA kB ; A(BC)=(AB) C ;A(B+ C )=AB+AC ;(A+B) C =AC +BC

3、;EA=AE=A;k(AB) (kA)B；( 1)A A。推论L(V)关于线性变换加法及数与线性变换的数乘构成P上线性空间(当dimV n 时，dim L(V) n2 , L(V) Pn n)。推论L(V)关于线性变换加法及线性变换乘法构成一个有单位元的环。注：线性变换的乘法不满足变换律，例如： V是闭区间0, 1上多项式函数构成的 x线性空间，D(f (x) f (x) , G(f(x)0 f (t)dt,则DG(x+1) = x + 1,而 GD(x+1) = x,所以 DG GD。一般由AB = 0推不出A = 0,或B = 0。一般由AB = AC, A 0推不出B = Co二、线性变

4、换的可逆性定义 令V为P上线性空间，A为V的线性变换，若A是可逆的，则称A为可逆 线性变换，记A的逆变换为A-1。注：A为V的变换，A可逆当且反当A为双射。定理 若A为V的可逆线性变换，则A-1也是V的线性变换。 TOC o 1-5 h z 证明 显然A-1是V的变换，对任何k P , , V ,有 1111A () A (AA )( ) (AA )()111A A(A )( ) A(A )() 111A A(A ( ) A () 111(A A)(A ( ) A () 11 A ( ) A ()。同理 A 1(k ) kA 1( ) o所以A-1为V的线性变换。三、线性变换的多项式定义 令A

5、 L(V),若n为正整数，则规定An AAL4A n若n 0 ,则规定A0 E。当A可逆时，可规定A(A1)n, n为正整数。注：(AB)n AnBn定义 A L(V), f (x) amxm L ax aQ Px,定义f (A) am A L ai A a0 E,称f(A)为A的多项式。注 f(A) L(V)f(A)g(A) g(A)f(A)。例1设 为V2中非零向量，是过原点且与垂直的平面， ()是 在 方向的内射影，x()是关于的反射，则x= E 2 ，即x为的多项式。例2在Pxn中，D是微商变换(为Pxn的线性变换)于是Dn = 0。a： Pxn Pxnf (x) f (x a)2n 1则 a E aD D2 L Dn，2!(n 1)!即a为D的多项式。【教师解读】在代数学中，要研究某些对象，通常会对这些对象规定运算，把它变成代数系统进 行研究。要研究线性变换，就对线性变换定义运算，并把它做成线性空间，可利用线性 空间的结果来研究线性变换。拓展资料设，是线性变换，且2, 2