热学重点理论和应用讲解第10章气体动理论

1、热学重点理论和应用讲解第10章 气体动理论 热学是研究与热现象有关的规律的科学。热运动：物体中大量分子或原子无规则的运动热现象：由于物体温度的变化而引起物体性 质、形态的变化。热现象是物质中大量分子无规则运动的集体表现。热现象的例子：热胀冷缩、相变、高温退磁。热学的研究方法：热力学统计力学宏观法与微观法相辅相成。2.微观法. 物质的微观结构 + 统计方法 -称为统计力学其初级理论称为气体分子运动论(气体动理论)优点：揭示了热现象的微观本质。 缺点：可靠性、普遍性差。1.宏观法. 最基本的实验规律逻辑推理(运用数学) -称为热力学。 优点：可靠、普遍。 缺点：未揭示微观本质。热力学系统与外界 热

2、力学研究的对象-热力学系统.10-1-1 宏观和微观例：若汽缸内气体为系统，其它为外界 热力学系统以外的物体称为外界。它包含极大量的分子、原子。 以阿佛加德罗常数 NA=61023 计。10-1 气体动理论的基本概念 宏观量与微观量 对热力学系统的两种描述方法：1. 宏观量 从整体上描述系统的状态量，一般可以直接测量。 如 M、V、E 等-可以累加，称为广延量。 P、T 等-不可累加，称为强度量。2. 微观量 描述系统内微观粒子的物理量。 如分子的质量m、 直径 d 、速度 v、动量 p、能量 等。 微观量与宏观量有一定的内在联系。 例如，气体的压强是大量分子撞击器壁的平均效果， 它与大量分子

3、对器壁的冲力的平均值有关。 平衡态：处于不变外界条件下的热学系统（系统与外界无质量和能量交换）经过很时间后达到一个确定的状态，在此状态下系统的宏观状态量如：P、T不随时间改变，称此状态为平衡态。平衡态在PV 图上用一点来表示。.终了.扩散隔板.开始平衡态 状态参量 平衡态是一个理想化模型，我们主要研究平衡态的热学规律。说明：动态平衡 处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞， 每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间 改变。这称为动态平衡。箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。粒子数是宏观量描述热力学系统在平衡态下的物理量: 压强P 的

4、单位：帕斯卡（帕，Pa）热力学温度T 的单位：开尔文( K )tT=273.15+( t：摄氏温度)51.0110(Pa)1标准大气压（atm）=P、V、T状态参量状态参量10-1-2 温度的概念ABAB绝热板导热板A、B 两体系互不影响各自达到平衡态A、B 两体系的平衡态有联系达到共同的热平衡状态（热平衡），A、B 两体系有共同的宏观性质，称为系统的温度。处于热平衡的多个系统具有相同的温度温度测量ABC设 A 和 B、B 和 C 分别热平衡，则 A 和 C 一定热平衡。 （热力学第零定律）ABA 和 B 热平衡， TA=TB ；B A， A 改变很小，TA 基本是原来体系 A 的温度热胀冷缩

5、特性，标准状态下，冰水混合，B 上留一刻痕， 水沸腾，又一刻痕，之间百等份，就是摄氏温标（oC)。酒精或水银10-1-3 理想气体温标用水银或酒精的热胀冷缩特性，温标不准确用理想气体的波义耳定律，可以给出理想气体温标PV=const.（温度不变） 理想气体严格遵守波义耳定律定义理想气体温标 T，使 PV T TP273.16 K气相液相固相临界点609Pa水的相图，三相点只有一个（水的三相点演示）体积保持不变摄氏温度 t 与理想气体温度 T的关系 稀薄的实际气体接近理想气体,温度很低时气体液化，气体温度计失效。热力学温标与任何物质特性无关，但与理想气体温标等价10-1- 理想气体状态方程一、理

6、想气体状态方程气体质量摩尔质量摩尔数气体密度二、道尔顿分压定理设有几种分子置于同一容器中，容器体积为V，温度为T分压强某气体单独存在是容器的压强总压强为例：如图所示，求容器最后的压力。例2：求大气压强随高度h 变化的规律，设空气的温度不随高度变化。hhh+dhdmgPs(P+dP)S 解：如图，在高度为h处有一薄空气层，在重力和上下压力作用下处于平衡状态，所以可得下面方程设空气 为理想气体，则可以得出下式代入上式hhh+dhdmgPs(P+dP)S上式称为恒温气压公式，h2Km 例3： 一体积为10-3 m3 的容器中，含有10-5 kg的氦气和10-5 kg的氢气，它们的温度为 300C，试

7、求容器中混合气体的压强。=2.52104Pa =5.04104Pa =VMPm=TR1114.010-58.31303 4.010-31.010-3 =4.010-58.31303 2.010-31.010-3 VMPm=TR222=+P1P2P7.56104Pa 1=4.010-3kg/mol MHe的摩尔质量2.010-3kg/mol 2=MH2的摩尔质量=T273+30=303 K解：10-2-1 理想气体微观模型 1. 对单个分子的力学性质的假设分子当作质点，不占体积； （因为分子的线度0，Nuvkd()=dvk为常量()Nd=0uv(1)画出分布函数图；(2)用N和u定出常量k；(3

8、)用u表示出算术平均速率和方均根速率。=00uNdNkvdk=Nuk/NNdvNduvO=13v200uNdNkvdv221u=00uNdNkvdvv2u(3)k=Ndvd(2)解：(1)分布函数如图k=Nu例：导体中共有N个自由电子。电子气中电子的最大速率vF叫费米速率。电子的速率在 vv+dv 的概率为:式中A为常量。(1)由归一化条件求A；(2)证明电子气中电子的平均动能此处EF 叫做费米能。40AFNv2d=NdvNv0vFvv35wm2()=12Fv35=FE1=4Av2dvNv0=NdNFFv331=4ANFv33=4AN40AFNv2d=NdvNv0vFvv解：(1)由归一化条件

9、：求得归一化系数=NdNfd()vv=m212v0vFNdNwm2=12vm=124AN0dvvFv4m=124AN15Fv5m=124N15Fv5Fv334N()=35m212vF()FE=35v2f0d()=vvvFv2(2)平均平动动能为：10-3-3 麦克斯韦速率分布律的实验验证OD蒸汽源检测器R抽气抽气rRLl小孔充分小，改变，测D上的沉积厚度，就可测气体速率分布斯特恩实验L金属蒸汽方向选择速率选择器屏vt =2Lv1 t=,Lv=得：1tt=令2只有满足此条件的分子才能同时通过两缝。通过改变可获得不同速率区间的分子。速率区间 百分数1002002003003004004005005

10、0060060070070080800900900100分子 实速 验率 数分 据布的20.6 %1.4 %8.1 %16.5 %21.4 %15.1 %9.2 %4.8 %2.0 %0.9 %(m/s) 1859年麦克斯韦从理论上得到速率分布定律。 1920年斯特恩从实验上证实了速率分布定律。麦克斯韦速度分布函数*速度 v （vx ，vy ，vz）设总分子数N，速度分量区间 vx vx+dvx ，该速度分量区间内分子数 dNvxdNvxN= g(vx)dvx速度分量分布函数同理对 y、z 分量归一化条件即，区间 v v + dv ，分子数dNv速度在区间 vx vx+dvx ， vy vy+

11、dvy ， vz vz+dvzvxvx+dvxvxvyvzvyvy+dvyvzvz+dvz速度空间dNvN= g( v ) dv =g(vx) g(vy) g(vz) dvx dvydvz平均速度同理对 y、z 分量，故平均速度为零。dNvN= g( v ) dv =g(vx) g(vy) g(vz) dvx dvydvz10-4 玻耳兹曼分布律假如气体分子有势能 Ep = Ep( x，y，z )， E = Ep+ Ek将麦克斯韦速度分布推广至保守场中，即：（2）vx vx+dvx ， vy vy+dvy ， vz vz+dvz vx vx+dvx ，vy vy+dvy ， vz vz+dvz

12、 ，位置在区间 x x+dx，y y+dy，z z+dz位于vx vx+dvx ，vy vy+dvy ， vz vz+dvz ，位置在区间 x x+dx，y y+dy，z z+dz的分子数为位于体积元dxdydz的分子数为位于体积元dxdydz的分子数密度为位于体积元dxdydz的分子数密度为这是高度计的原理根据压强变化测高度，实际温度也随高度变化，测大气温度有一定的范围，是近似测量。微观状态：一气体分子处于速度区间 vx vx+dvx ， vy vy+dvy ，vz vz+dvz ，位置区间 x x+dx，y y+dy，z z+dz，称该分子处于一种微观状态， dvx dvy dvz dxd

13、ydz 所限定的区域称为状态区间。玻耳兹曼统计：温度T 的平衡状态下，任何系统的微观粒子按状态的分布，即在某一状态区间的粒子数与该状态区间的一个粒子的能量 E有关，而且与 e -E /kT 成正比。玻耳兹曼因子其它情形，如原子处于不同能级的原子数目E0E3E2E1 一定质量的处于平衡态的某种理想气体。 把所有分子按速度分为若干组，在每一组内的分子速度大小, 方向都差不多。10-5 理想气体的压强和温度的微观解释设第i组分子的速度在iiivdvvrrr+区间内。以ni表示第i组分子的分子数密度总的分子数密度为=iinn一次碰撞单分子动量变化2m vix在 dt 时间内与dA碰撞的分子数ni vi

14、x dt dA斜柱体体积设 dA 法向为 x 轴vi dtdAx10-5-1 理想气体的压强dt 时间内传给 dA 的冲量为dI = 2 mnivix2 dt dAvix0P=dIdt dA = nm vx2 = 13nm v223 n( m v2 )=12= 23n t思考：推导过程中是否应考虑小柱体内，会有速度为 ivr的分子被碰撞出来而未打到dA面上?这里的压强只是统计概念为分子平均平动动能 t =32kT平均平动动能只与温度有关理想气体温标或热力学温标温度是气体分子平动动能的量度，温度是统计概念，只能用于大量分子，温度标志物体内部分子无规运动的剧烈程度。10-5-2 温度的微观意义说明

15、绝对零度下分子的平动动能为零，但是存在振动零点能。引力斥力一、分子力rfsd合力sd分子力的有效作用距离平衡距离分子的有效直径10-5-3 范德瓦尔斯方程*理想气体的缺陷：忽略了分子本身的体积； 忽略了分子间的引力。 1. 体积修正对理想气体的状态方程进行修正：状态方程中的体积应理解为分子所能到达空间的体积。BAd1mol 气体分子所不能到达的空间体积为：=4倍分子本身体积之和一对分子所不能到达的空间体积为：二、 范德瓦尔斯方程由于靠近器壁分子作用球的不对称而产生向内的引力，形成内压强，使器壁所受的压强减弱。由内压强修正后的压强为：令n分子数密度a气体所占容器体积由可得临界点之值。式中a 、b

16、两个修正系数由实验测得。对于 mol 气体的范德瓦尔斯方程为：1mol 气体的范德瓦尔斯方程为：对氮气，常温和压强低于 5107 Pa范围a = 0.84 105 Pa l2/mol b = 0.0305 l/mol范德瓦尔斯等温线和真实气体等温线的比较AA过饱和蒸汽BB过热液体AB不可能实现的过程在临界温度以上和真实气体的等温线符合较好。48 C13 C00BBAACPV0临界点.v范德瓦耳斯等温线液汽液共存汽气PKABCEFCF 过热液体遇汽化核心 - 汽化气泡室BC 虚线实际气体 EF 实际不可实现BE 过饱和蒸汽遇凝结核心 - 液化云室人工降雨火车：被限制在一曲线上运动，自由度为1；飞

17、机：自由度为3（经度、纬度、高度）轮船：被限制在一曲面上运动，自由度为2， （经度、纬度）10-6-1 自由度10-6 能量按自由度均分原理确定物体在空间的位置时，需要引入的独立坐标数自由度数：一维 1个 1. 质点二维 2个 三维 3个 2. 刚体的自由度GxyzoPG： x, y, z绕GP转角：GP: 约束条件：独立坐标数 6个刚体自由度数6平动自由度 3个转动自由度 3个 三原子 多原子 分子单原子分子双原子分子自由度转动平动()3560233333. 刚性分子的自由度 i能量按自由度均分原理：处于平衡态的气体kT21分子每一自由度所占有的能量都为10-6-2 能量按自由度均分原理分子

18、热运动的平均总动能10-6-3 理想气体的内能理想气体内能：系统中所有分子热运动动能之总和。（不包括分子间相互作用的能量）单原子分子双原子分子多原子分子讨论：1. 内能 是气体状态的单值函数理想气体：E = E ( T )2. 在实际上当量子力学可以证明，当T=0时仍有零点能存在。单原子分子 如氦双原子分子 如氧气多原子分子 如二氧化碳例： 1mol氢气，在温度为270C时，它的分子平动动能和转动动能各为多少？=3.74103 J E23=8.31300TRk23=E=TRk8.31300=2.49103 J 解：平动动能转动动能例：已知某气体质量、温度、体积分别为M、T、V容器一速度v匀速直

19、线运动，若容器突然停止，定向运动动能全部转化为分子热运动动能，平衡后，T、P各增加多少？已知气体摩尔质量为解：例：已知某容器储存有氧气，求(1)、n；(2)、分子质量m；(3)、比重；(4)、分子间平均距离；(5)分子平均平动动能。解：(1)、(3)、(2)、(4)、(5)、10-7 气体分子的平均自由程和碰撞频率气体分子自由程线度 10-8m一个分子连续两次碰撞之间经历的平均 自由路程叫平均自由程 一个分子单位时间里受到平均碰撞次数叫平均碰撞频率 Zdt单位时间内分子经历的平均距离 vdt ，平均碰撞 Z dt次10-7-1 气体分子的平均自由程平均碰撞频率 Z设分子 A 以相对平均速率 u

20、 运动，其它分子可设为静止运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将与分子A 碰撞,该圆柱体的面积 就叫 碰撞截面 = d2Addduu10-7-2 气体分子的平均碰撞频率设单位体积内的分子数为 n, dt时间内体积为的分子将与A分子相碰，碰撞次数为统计理论可计算对空气分子 d 3.5 10 -10 m标准状态下 Z 6.5 10 9s ， 6.9 10 -8 m 气体容器线度小于平均自由程计算值时，实际平均自由程就是容器线度的大小。如氢气分子在标准状态下10-7-3 输运过程*最简单的非平衡态问题：不受外界干扰时，系统自发地从非平衡态向物理性质均匀的平衡态过渡过程 - 输运过程。系统各部分的物理性质，如流速、温度或密度不均匀时，系统处于非平衡态。非平衡态问题是至今没有完全解决的问题，理论只能处理一部分，另一部分问题还在研究中。介绍三种输运过程的基本规律：内摩擦热传导扩散内摩擦AB现象：A盘自由，B盘由电机带动而转动，慢慢A盘也跟着转动起来。解释：B盘转动因摩擦作用力带动了周围的空气层，这层又带动邻近层，直到带动A盘。这种相邻的流体之间因速度不同，引起的相互作用力称为内摩擦力，或粘滞力。x zu = u