2022年《电动力学》知识点归纳及典型试题分析

1、电动力学学问点归纳及典型试题分析 一、试题结构总共四个大题：1单项题（102）：主要考察基本概念、基本原理和基本公式,及对它们的懂得；2填空题（1032）：主要考察基本概念和基本公式；3简答题5：主要考察对基本理论的把握和基本公式物理意义的懂得；4. 证明题（87）和运算题（9867）：考察能进行简洁的运算和对基本常用的方程和原理进行证明；例如：证明泊松方程、电磁场的边界条件、亥姆霍兹方程、长度收缩公式等等；运算磁感强度、电场强度、能流密度、能量密度、波的穿透深度、波导的截止频率、空间一点的电势、矢势、以及相对论方面的内容等等；二、学问点归纳学问点 1：一般情形下,电磁场的基本方程为：HEDB

2、;（此为麦克斯tJt韦方程组）；在没有电荷和电流分布（0 JD;B0 .0 的情形）的自由空间（或匀称介质）的电磁场方程为：EB（齐次的麦克斯韦方程组）tHD t;D;0B0 .学问点 2：位移电流及与传导电流的区分；答：我们知道恒定电流是闭合的：J.0恒定电流在交变情形下,电流分布由电荷守恒定律制约,它一般不再闭合；一般说来,在非恒定情形下,由电荷守恒定律有J 0 .t现 在 我 们 考 虑电 流 激发 磁 场 的 规 律：B 0J . 取 两 边 散 度 , 由 于B 0,因此上式只有当 J 0 时才能成立；在非恒定情形下,一般有J 0,因而 式与电荷守恒定律发生冲突；由于电荷守恒定律是精

3、确的普遍规律,故应修改 式使听从普遍的电荷守恒定律的要求；把 式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量 J ,它和电流J 合起来构成闭合的量 J J D ,0 * 并假设位移电流 J 与电流 J 一样产生磁效应,即把 修改为 B 0 J J D；此式两边的散度都等于零,因而理论上就不再有冲突；由电荷守恒定律Jt0 .电荷密度与电场散度有关系式E0.两式合起来得：J0E0.与 * 式比较可得JD的一个可能表示式tJ D0E.t位移电流与传导电流有何区分：位移电流本质上并不是电荷的流淌,而是电场的变化；它说明,与磁场的变化会感应产生电场一样, 电场的变化也必会感应产生磁场；而传导电流实际

4、上是电荷的流淌而产生的；学问点 3：电荷守恒定律的积分式和微分式,及恒定电流的连续性方程；J ds dV答：电荷守恒定律的积分式和微分式分别为：S V tJ 0t恒定电流的连续性方程为：J 0学问点 4：在有介质存在的电磁场中,极化强度矢量 p 和磁化强度矢量 M 各的定义方法； P 与 P；M 与 j；E、D 与 p 以及 B、H 与 M 的关系；答：极化强度矢量 p：由于存在两类电介质：一类介质分子的正电中心和负电中心不重和, 没有电偶极矩； 另一类介质分子的正负电中心不重和,有分子电偶极矩,但是由于分子热运动的无规性,在物理小体积内的平均电偶极矩为零,因而也没有宏观电偶极矩分布； 在外场

5、的作用下, 前一类分子的正负电中心被拉开,后一类介质的分子电偶极矩平均有肯定取向性,因此都显现宏观电偶极矩分布；而宏观电偶极矩分布用电极化强度矢量 P 描述,它等于物理小体积 V 内的p i总电偶极矩与 V 之比,P . ip 为第 i 个分子的电偶极矩,求和符号表示V对 V 内全部分子求和；磁化强度矢量 M ：介质分子内的电子运动构成微观分子电流,由于分子电流取向的无规性, 没有外场时一般不显现宏观电流分布；在外场作用下, 分子电流显现有规章取向, 形成宏观磁化电流密度 J M；分子电流可以用磁偶极矩描述；把分子电流看作载有电流 i 的小线圈,线圈面积为mia.a,就与分子电流相应的磁矩为：

6、介质磁化后,显现宏观磁偶极矩分布,用磁化强度MM 表示,它定义为物理小体积V 内的总磁偶极矩与V 之比,Mm i.VPP,jMM,D0EP ,HB0学问点 5：导体表面的边界条件；答：抱负导体表面的边界条件为：nE0 ,.nD.0,；它们可以形象地nBnH表述为：在导体表面上,电场线与界面正交,磁感应线与界面相切；学问点 6：在球坐标系中,如电势不依靠于方位角,这种情形下拉氏方程的通解；答：拉 氏 方 程 在 球 坐 标 中 的 一 般 解 为：R , , a nm R n b nmn 1 P n m cos cos m c nm R n d nmn 1 P n m cos sin mn ,

7、m R n , m R式中 a nm , b nm , c nm 和 d nm 为任意的常数,在详细的问题中由边界条件定出；P n m cos为缔合勒让德函数；如该问题中具有对称轴,取此轴为极轴,就电势 不依靠于方位角,这球形下通解为：n a n R nR bn n1 P n c o s , P n c o s 为勒让德函数,a 和 b n 是任意常数,由边界条件确定；学问点 7：争论磁场时引入矢势A 的依据；矢势 A 的意义；答：引入矢势 A 的依据是：磁场的无源性；矢势 A 的意义为：它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量；只有 A 的环量才有物理意义,而每点上的 A

8、（x）值没有直接的物理意义；学问点 8：平面时谐电磁波的定义及其性质； 一般坐标系下平面电磁波的表达式；答：平面时谐电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式；它是传播方向肯定的电磁波, 它的波阵面是垂直于传播方向的平面,播方向的平面上,相位等于常数；平面时谐电磁波的性质：（1）电磁波为横波, E 和 B 都与传播方向垂直；（2）E 和 B 同相,振幅比为 v；（3 E 和 B 相互垂直, E B 沿波矢 k 方向；也就是说在垂直于波的传学问点 9：电磁波在导体中和在介质中传播时存在的区分；电磁波在导体中的透 射深度依靠的因素；答：区分 :（1）在真空和抱负绝缘介质内部没有能量的损耗,电磁波可以

9、无衰减地传播（在真空和抱负绝缘介质内部）；（ 2）电磁波在导体中传播,由于导体内有自由电子, 在电磁波电场作用下, 自由电子运动形成传导电流, 由电流产 生的焦耳热使电磁波能量不断损耗； 因此,在导体内部的电磁波是一种衰减波 （在 导体中）；在传播的过程中,电磁能量转化为热量；电磁波在导体中的透射深度依靠于：电导率和频率；学问点 10：电磁场用矢势和标势表示的关系式；答：电磁场用矢势和标势表示的关系式为：EBAAt学问点 11：推迟势及达朗贝尔方程；x ,t4x,trdvdv c40r答：推迟势为：,trJxcAx ,t0r达朗贝尔方程为：2A1 2 c 12A0Jt 222c2t20A1t0

10、c2学问点 12：爱因斯坦建立狭义相对论的基本原理（或基本假设）是及其内容；答：（1）相对性原理：全部的惯性参考系都是等价的；物理规律对于全部惯 性参考系都可以表为相同的形式；也就是不论通过力学现象, 仍是电磁现象, 或其他现象,都无法觉察出所处参考系的任何“ 肯定运动”；相对性原理是被大量试验事实所精确检验过的物理学基本原理； （2）光速不变原理： 真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为c,并与光源运动无关；学问点 13：相对论时空坐标变换公式（洛伦兹变换式）和速度变换公式；xxvt洛伦兹反变换式：xxvt1v21v2c2c2yyvxyy答：坐标变换公式（洛伦兹变换式）：zzz zvxt

11、tttc2c21v21v2c2c2速度变换公式：uuuuxv2xvux1c2y1v c2y1vuxc2uuz1v c22z1vuxc2学问点 14：导出洛仑兹变换时,应用的基本原理及其附加假设；洛仑兹变换同 伽利略变换二者的关系；答：应用的基本原理为：变换的线性和间隔不变性；基本假设为： 光速不变原理 （狭义相对论把一切惯性系中的光速都是c 作为基本假设,这就是光速不变原理） 、空间是匀称的并各向同性,时间是匀称的、运动的相对性； 洛仑兹变换与伽利略变换二者的关系：伽利略变换是存在于经典力学中的一种变换关系, 所涉及的速率都远小于光速； 洛仑兹变换是存在于相对论力学中的一种变换关系,并假定涉及

12、的速率等于光速；当惯性系 S （即物体）运动的速度 V c 时,洛伦兹变换就转化为伽利略变换,也就是说, 如两个惯性系间的相对速率远小于光速,就它以伽利略变换为近似；学问点 15：四维力学矢量及其形式；答：四维力学矢量为：（ 1）能量动量四维矢量（或简称四维动量）：（4）（6）（8）pp,iW（2）速度矢量：Udxdx（3）动量矢量：pm 0 Uddtc四维电流密度矢量：J0 U,JJ,ic（5）四维空间矢量：xx ,ict四维势矢量：AA ,i（7）反对称电磁场四维张量：FAAxxc四维波矢量：kk,iwc学问点 16：大事的间隔：答：以第一大事 P 为空时原点（ 0,0,0,0）;其次大事

13、 Q 的空时坐标为：（x,y,z,t）,这两大事的间隔为：s2c2t2x22y22z22c2t2r2式中的rxyz为两大事的空间距离；两大事的间隔可以取任何数值；在此区分三种情形：（1）如两大事可以用光波联系,有rct,因而s2ct0（类光间隔）；（2）如两大事可用低于光速的作用来联系,有r,因而有s20（类时间隔）；（a）肯定将来；（b）肯定过去；有（3）如两大事的空间距离超过光波在时间t 所能传播的距离,有rct,因而s20（类空间隔）；学问点 17：导体的静电平稳条件及导体静电平稳时导体表面的边界条件；答：导体的静电平稳条件：（1）导体内部不带电,电荷只能分布在于导体表面上；（2）导体内

14、部电场为零；（3）导体表面上电场必沿法线方向,因此导体表面为等势面；整个导体 的电势相等；导体静电平稳时导体表面的边界条件：常量；n.学问点 18：势方程的简化；答：采纳两种应用最广的规范条件：（1） 库仑规范：帮助条件为A.0（2） 洛伦兹规范：帮助条件为：A1At0 .2A0A1t0J（适用于一c212例如：对于方程组：2c2t2c2tA般规范的方程组）；如采纳库仑规范,可得：2A12A1t0J；c2t2c230如采纳洛伦兹规范,可得：2A2AA0 （此为达朗贝尔方程） ；10J2 c12 t 22t2t0c21A0c2学问点 19：引入磁标势的条件；答：条件为：该区域内的任何回路都不被电

15、流所围绕,或者说,该区域是没有传导电流分布的单连通区域,用数学式表示为：Hjd00LL学问点 20：动钟变慢：S系中同地异时的两大事的时间间隔,即t1 S 系中同一地点x2x 1,先后（t2t1）发生的两大事的时间间隔t2在 S 系的观测：t2t1t2t11v2x2x 1c2v2cx2x1t2t1tt11v2t2t12v21c2c2t.称为固有时,它是最短的时间间隔,学问点 21：长度收缩（动尺缩短）尺相对于 S 系静止,在 S 系中观测lx2v2 x 1在 S 系中观测t2x 1t1即两端位置同时测定x2x 1x 2x 1ll01x2x 1l0,x2l1v2c2c20l 称为固有长度,固有长

16、度最长,即 l 0 l；学问点 22：电磁场边值关系（也称边界上的场方程）n E 2 E 1 ,0n H 2 H 1 ,n D 2 D 1 ,n B 2 B 1 .0学问点 23：AB 效应1959 年 Aharonov 和 Bohm 提出一种后来被试验所证明的新效应（这简称 AB 效应）,同时 AB 效应的存在说明磁场的物理效应不能完全用 B 描述；学问点 24：电磁波的能量和能流平面电磁波的能量为：wE2E1 B2EnEE2n .平面电磁波的能流密度为：SH能量密度和能流密度的平均值为：w1E02*1B 02,E02n .22S1Re EH122学问点 25：波导中传播的波的特点：电场 E

17、 和磁场 H 不同时为横波；通常选一种波模为E zo的波,称为横电波（TE）；另一种波模为Hz0的波,称为横磁波（ TM ）；学问点 26：截止频率定义 :能够在波导内传播的波的最低频率w 称为该波模的截止频率；2 2m n运算公式 : m,n型的截止频率为：w c , mn a b；如 ab,就 TE 10波有最低截止频率 1 wc , 10 1 . 如管内为真空,此最低截止频率为 c 2 ,2 2 a相应的截止波长为：c , 10 2 a .（在波导中能够通过的最大波长为 2a）学问点 27：相对论的试验基础 : 横向多普勒（ Doppler）效应试验（证明相对论的运动时钟延缓效应）；高速

18、运动粒子寿命的测定（证明时钟延缓效应）；携带原子钟的环球飞行试验 （证明狭义相对论和广义相对论的时钟延缓总效 应）；相对论质能关系和运动学的试验检验（对狭义相对论的试验验证）E P ; 学问点 28：静电场是有源无旋场：q 0（此为微分表达式）E .0稳恒磁场是无源有旋场：B 0 ;（此为微分表达式）B 0j .2u y dy u y 1 v c 2 2 ; dt 1 vu x c 学问点 29：相对论速度变换式：u x dxdt 1 u x vu 2 vx 其反变换式依据此式c 2u z dz u z 1 vc 22 .dt 1 vu x cu x求 u y；u z学问点 30：麦克斯韦方程

19、组积分式和微分式,及建立此方程组依据的试验定律；答：麦克斯韦方程组积分式为：LEldSSB td sEd sLBld0j0tSEd s1VdV0Bd s0S麦克斯韦方程组微分式为：E0B00EtBjtE0B 0依据的试验定律为： 静电场的高斯定理、 静电场与涡旋电场的环路定理、磁场中的安培环路定理、磁场的高斯定理；三、典型试题分析1、证明题：0Jxdv1dvA又知：1、试由毕奥沙伐尔定律证明B0证明：由式：B40Jx3rdvr4rJx式中Jx11Jx, 因 此B40由rrrA0JxdvA.4rBA0所以原式得证；E2、试由电磁场方程证明一般情形下电场的表示式t证：在一般的变化情形中,电场 E

20、的特性与静电场不同；电场 E一方面受到电荷的激发, 另一方面也受到变化磁场的激发,后者所激发的电场是有旋的；因此在一般情形下, 电场是有源和有旋的场, 它不行能单独用一个标势来描述；在变化情形下电场与磁场发生直接联系,因而电场的表示式必定包含矢势 A 在内；B A 式代入 E B 得：E A 0,该式表示矢量 E A 是无旋t t t场,因此它可以用标势 描述,E A；因此,在一般情形下电场的表t示式为：E A .；即得证；t23、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式 l l 01 v2；c答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系；如下列图, 设物体沿 x 轴方向运动,以固定于物体

21、上的参考系为 ；如物体后端经过 1P 点（第一大事）与前端经过 P 点（其次大事）相对于 同时,就 P 1P 2 定义为 上测得的物体长度；物体两端在 上的坐标设为 x 和 x 2 ；在 上 1P 点的坐标为 1x ,P 点的坐标为 2x ,两端分别经过 P 和 P 的时刻为 t 1 t 2；对这两大事分别应用洛伦兹变 换 式 得 x 1 x 1 vt2 1 , x 2 x 2 vt2 2, 两 式 相 减 , 计 及 t 1 t 2, 有1 v2 1 v2c cx 2 x 1 x 2 x 12 * . 式中 x 2 x 1 为 上测得的物体长度 l（由于坐标 x 和 x 2 是在v1 2 c

22、上同时测得的）,x 2 x 1 为 上测得的物体静止长度 0l ；由于物体对 静止,2所以对测量时刻 t 和 t 2 没有任何限制；由 * 式得 l l 01 v2；c4、试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系 E .答：由于静电场的无旋性,得：E dl 0 设 C 和 C 2 为由 P 1 点到 P 2 点 的两条不同路径；C 与C 2 合成闭合回路,因此 E dl E dl 0C 1 C 2即 E dl E dl 因 此,电 荷 由C 1 C 2P 1 点移至 P 2 点时电场对它所作的功 与路径无关,而只和两端点有关；把单位正电P 2荷由 P点移至 P 2 , 电场 E 对它所作的功为

23、：E dl , 这功定义为 P 1 点和 P 2 点 的电P 1P 2势差；如电场对电荷作了正功,就电势下降；由此,P 2P 1P 1Edl由这定义,只有两点的电势差才有物理意义,一点上的电势的肯定数值是没有物理意义的；d相距为dl的两点的电势差为dEdl.由于xdxydyzdzdl,因此,电场强度E 等于电势的负梯度E.A 的微分方程2Aj；5、试由恒定磁场方程证明矢势答 ： 已 知 恒 定 磁 场 方 程 B 0J（1）（ 在 均 匀 线 性 介 质 内 ）, 把B A 2 代 入 （）得矢势 A 的微分方程 A .J 由矢量分析公式A A 2 A . 如取 A 满意规范条件 A 0,得矢

24、势 A 的微分方2程 A J .A 06、试由电场的边值关系证明势的边值关系 2 21 1 .1 n证：电场的边值关系为：nE2E10 ,.$, * 式可写为D2nD 1 nnD2D1*式中 n 为由介质 1 指向介质 2 的法线；利用DE 及E,可用标势将表为：2211.1n势的边值关系即得证；7、试由静电场方程证明泊松方程2；2E.3 在匀称各向同性线答：已知静电场方程为：E,0 1并知道D.2 性介质中,DE,将（ 3）式代入（ 2）得,为自由电荷密度；于是得到静电势满意的基本微分方程,即泊松方程；8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程；答：麦克斯韦方程组BxExx Etx说明,变化的磁

25、场可以激发Exx0Bx0tB0jx00电场,而变化的电场又可以激发磁场, 因此,自然可以推论电磁场可以相互激发,形成电磁波； 这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到,在真空的无源区域, 电荷密度和电流密度均为零, 在这样的情形下, 对麦克斯韦方程的其次个方程取旋度并利用第一个方程,得到2E x B x,再把第四个方程对时间求t2导,得到 B x0 0 E2 x,从上面两个方程消去 B x,得到t t t22 E xE x 0 0 2 0； 这 就 是 标 准 的 波 动 方 程 ； 对 应 的 波 的 速 度 是t1c .0 09、试 由 麦 克 斯 韦 方 程 组 证 明 电 磁 场 的 边 界

26、 条 件n E 2 E 1 0 ; n D 2 D 1 ; n B 2 B 1 .0D d s dVS V解：即：S n D 2 S n D 1 S .n D 2 D 1 fD 2 n D 1 n对于磁场 B,把 B d s 0 应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面上,重复以S上推导可得：B 2nB 1n 即：nB2B 10作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路,矩形回路所在平面与界面垂直,矩形长边边长为 l ,短边边长为 l ；由于 E dl 0,作沿狭长矩形的 E的路径积分；由于 l 比 l 小得多,当 l 0 时,E 沿 l 积分为二级小量,忽略 沿 l 的 路 径 积 分 , 沿 界

27、 面 切 线 方 向 积 分 为 ：E 2 t l E 1 t l 0 即 ：E 2tE 1t,0*； * 可以用矢量形式表示为：E2E 1t0式中 t 为沿着矩形长边的界面切线方向单位矢量；令矩形面法线方向单位矢量为 t ,它与界面相切,明显有 t n t #将 # 式代入 式, 就 E 2 E 1 n t ,0 $, 利 用 混 合 积 公 式A B C C A B,改写 # 式为：t E 2 E 1 n 0 此式对任意 t 都成立,因此 E 2 E 1 n 0,此式表示电场在分界面切线方向重量是连续的；10、试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程 2 E k 2 E 0答：从时谐情形下的麦

28、氏方程组推导亥姆霍兹方程；在肯定的频率下,有iwtE x , t E x e ,D E , B H,把时谐电磁波的电场和磁场方程：iwt 代入麦氏B x , t B x e .E Bt , E iw H ,方程组 H D, 消去共同因子 e iwt 后得 H iw E ,在此留意一点；t E ,0D ,0H .0B 0 .在 w 0 的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的；取第一式的散度,由于E 0,因而 H 0,即得第四式；同样,由其次式可导出第三式；在此,在肯定频率下,只有第一、二式是独立的,其他两式可由以上两式导出；取 第 一 式 旋 度 并 用 第 二 式 得2Ek2E.Ew2E由EE2

29、E2E,上式变为0,此为亥姆霍兹方kw程；11、试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上,在静电的情形下,导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流的情形下, 导体内的电场线总是平行于导体表面；证 明 ：（ 1） 导 体 在 静 电 条 件 下 达 到 静 电 平 衡 , 所 以 导 体 内E 10, 而 ：nE2E 1,0nE2,0故E0垂直于导体表面；即：D20；（2）导体中通过恒定的电流时,导体表面f.0导体外E2,0而：nD2D 1f,0即：nD 1n0E 10,nE 10；导体内电场方向和法线垂直,即平行于导体表面；12、设A 和是满意洛伦兹规范的矢势和标势,现引入一矢量函数Z

30、x ,（赫兹矢量）,如令Z证明A1Z.c2tt0.Z证明：A 和满意洛伦兹规范,故有A1c2Z 代入洛伦兹规范,有：0 ,即A1A1tZc2c2tA1Z.c2taR 0处有一点电荷Q,求2、运算题：1、真空中有一半径为R 接地导体球,距球心为a空间各点的电势；解：假设可以用球内一个假想点电荷 Q 来代替球面上感应电荷对空间电场的作用；由对称性, Q 应在 OQ 连线上；关键是能否挑选 Q 的大小和位置使得球面上 的条件使得满意？考虑到球面上任一点 P；边界条件要求 Q Q 0 . 式中 r 为 Q 到 P 的距离,r r r 为 Q 到 P 的距离；因此对球面上任一点,应有 r Q 常数；（1

31、）由图可看r Q出,只要选 Q 的位置使 OQ P OPQ , 就rR 0 常数；（2）设 Q 距 球 心 为 b , 两 三 角 形 相 似 的 条 件 为r a2b R 0, 或 b R 0. 3 由（1）和（ 2）式求出 Q R 0Q . 4 （3）和（ 4）式确R 0 a a a定假想电荷 Q 的位置和大小；由 Q 和镜象电荷 Q 激发的总电场能够满意在导风光上 的边界条件,因此是 空 间 中 电 场 的 正 确 解 答 ； 球 外 任 一 点 p 的 电 势 是 ：4 10 Qr Rar 0 Q4 10 R 2a 2 Q2 Ra cos R 2b R2 0 Q2 aRb cos 式中

32、 r为由 Q 到 P 点的距离,r 为由 Q 到 P 点的距离, R 为由球心 O 到 P 点的距离,为 OP 与 OQ 的夹角；2、两金属小球分别带电荷 和 ,它们之间的距离为 l ,求小球的电荷（数值和符号）同步地作周期变化,这就是赫兹振子,试求赫兹振子的辐射能流,并讨论其特点；解：可知赫兹振子激发的电磁场：B413RPikR esine,.（取球坐标原点在0cE412RPeikRsine0c电荷分布区内, 并以 P 方向为极轴,就可知 B 沿纬线上振荡, E 沿径线上振荡；）；赫 兹 振 子 辐 射 的 平 均 能 流 密 度 为：2S 1 Re E *H c Re B *n B c B

33、 2n 2 p3 2 s 2i n . n2 2 0 2 0 32 0 c R因子 sin 2表示赫兹振子辐射的角分布, 即辐射的方向性； 在 90 的平面上辐 0射最强,而沿电偶极矩轴线方向 0 和 没有辐射；3、已知海水的 r ,1 1 s m 1 试运算频率 v 为 50、10 和 610 Hz 的三种电 9磁波在海水中的透入深度；解 ： 取 电 磁 波 以 垂 直 于 海 水 表 面 的 方 式 入 射 , 透 射 深 度1v241072502107172 m1r10r0250 Hz 时：142v106Hz 时：2226 10210710 5. m43v9 10Hz 时：32210 9

34、2107116 mm44、电荷 Q 匀称分布于半径为 电场的散度；a 的球体内,求各点的电场强度,并由此直接运算解：作半径为 r 的球（与电荷球体同心） ；由对称性,在球面上各点的电场强度有相同的数值 E,并沿径向；当ra 时,球面所围的总电荷为Q,由高斯定理得Eds4r2EQ,0因而E4Q2,写成矢量式得E4Qrr3.ra40,由直接运算可0r0如ra ,就球面所围电荷为：4r34r34Q3Qr3.33aa33应用高斯定理得：Eds4r2EQr3.0a3由此得E4Qra3.ra*0现在运算电场的散度；当ra时E 应取 式,在这区域r得r0 ,r03 Q30.rar3因而E4Q0r0.rar3

35、当ra 时E 应取 * 式,由直接运算得E4Qa3r00a5、一半径为 R 的匀称带电球体, 电荷体密度为,球内有一不带电的球形空腔,其半径为 R ,偏心距离为 a,（a R 1 R）求腔内的电场；解：这个带电系统可视为带正电 的 R 球与带负电的 的 R 球的迭加而成 ； 因 此 利 用 场 的 迭 加 原 理 得 球 形 空 腔 的 一 点 M 之 电 场 强 度 为 ：E r r3 0 3 0r r3 0a3 06、无穷大的平行板电容器内有两层介质,极板上面电荷密度为 f 求电场和束缚电荷分布；解：由对称性可知电场沿垂直于平板的方向,把nE2E 10,nH2H1,*应用于下nD2D1,板

36、与介质 1 界面上,因导体内场强为零,故得nB 2B 10.D1f. 同样把 * 式应用到上板与介质 2 界面上得D2f.由这两式得E 1f,E2f.束缚电荷分布于介 质 表 面 上 ； 在 两 介 质 界 面 处 ,f012, 由0E2nE 1 nfp得p0E 2E 100f.由0E2nE 1nfp得21在介质1与下板分界处,f0E 1f10,p1在介质 2 与上板分界处,f0E 2f10.p2简洁验证,p p p 0 , 介质整体是电中性的；7、截面为 S ,长为 l 的细介质棍,沿 X 轴放置,近端到原点的距离为 b ,如极化强度为 kx ,沿 X 轴Pkx i；求：；（3）总束（1）

37、求每端的束缚电荷面密度；（2）求棒内的束缚电荷体密度缚电荷；解：（1）求 在棍端 P 2 n P 1 n P 2 P 2 n 0,P 1 n ,P kxA P 1 n A P / x b kbB P 1 n B P / x b 1 k b l P,P kx i（2） 求 由 dp kdx（3） 求 q q B A S Sl k b l kb S ksl 08、两块接地的导体板间的夹角为,当板间放一点电荷 q 时,试用镜像法就90 、0 60 0 的情形分别求其电势；解：设点电荷 q 处于两导风光间 R,一点,两导风光间夹角为,各象电荷处在以 R 为半径的圆周上,它们的位置可用旋转矢量荷的位置矢

38、为R 0、R 1、,就有i2Rei,R 0i Re,R 2R 0eR 1R 0ei2Rei2R 3R 1ei22Rei2,R 4R 2i e2Rei2,R 5R 3i e22Rei4,R 6R4ei22Rei2,R 7R 5ei24Rei4,R 8R 6ei22Rei4.2,R 1i Re,R 2Rei,R 4Rei1）R 3Rei2,i eei,R 表示,设 q 及其各个象电R 4 R 3,象电荷只有 3 个,各象电荷所处在的直角坐标为：x 1Rcos,x 2Rcos,x 3Rcos,2z2,y 1Rsin,y 2R sin,y 3Rsin.q111140rr 1r2r3式中rxRcos2y

39、Rsin空间任意一点的电势r 1xRcos2yRsin2z2,r2xRcos2yRsin2z2,r3xRcos2yRsin2z2.3,R 1i Re2,R 2Rei.3R 3Rei2,R 4Rei2,332 R5i Re4,R 6Rei2.33242,ei2i e4,3333R 6R 5,象电荷只有 5 个；各象电荷所在处的直角坐标为：x 1Rcos21Rcos3,R sin,3x 2Rcos,Rsin3,y2Rsin2y 13x 3Rcos2Rcos3,3x 4Rcos2Rcos3,3y 3Rsin2Rsin3,3y 4Rsin2Rsin3,3x 5Rcos4Rcos3,3y 5Rsin4R

40、sin3.3q1111140rr 1r2r 3r 4r5各个 r 由相应的象电荷坐标确定；9、在一平行板电容器的两板上加Uv 0coswt的电压,如平板为圆形,半径为a,板间距离为 d,试求（1）、两板间的位移电流 Dj ；（2）、电容器内离轴 r 处的磁场强度；（3）、电容器内的能流密度；解：（1）jDjDE t,jDEUdUv 0wSinwtttdtdjDDe zv 0wSinwt e zdHdlIDU02rHjDr2（2）HjDrv0wrSinwt22dHv 0wrSinwte2 dra时,Hav0waSinwte2d（3）s 侧EHds2aduHa2auHaa2v 0 2wSinwtC

41、oswtdd10、静止长度为0l 的车厢, 以速度 v相对于地面 S 运行,车厢的后壁以速度为向前推出一个小球,求地面观看者看到小球从后壁到前壁的运动时间；解： S 系的观看者看到长度为l012的车厢以vviv运动,又看到小球以x 1 l0uiu追 赶 车 厢 ；小 球 从 后 壁 到 前 壁 所 需 的 时 间 为 ：tl012 vc2；u1u0v2,uvu0vv1vu0c2u012 v 2 cvu 02 c,uvvu 0c1vu 0c21tl01vu 02 c2或ttl0u0,t2t 111c2ttv x 2 x 1x 2u01v22121c2cv211v2l0vl0u 01l0v2c21

42、vu0u0c2c2c211、求无限长抱负的螺线管的矢势A （设螺线管的半径为a,线圈匝数为 n,通电电流为 I）解：分析：A40VJxdV,JxdVBId l；0B为：0nIreyrAdlBd s,又对于抱负的无限长螺线管来说,它的0nI2rAr2ls0nInIA（1）当ra时,可得：2rAr2B2（2）当ra时,同理可得：2rAa2B2rAa20nIA0nIa21ey2r12、在大气中沿 Z 轴方向传播的线偏振平面波,其磁场强度的瞬时值表达式H J 2 10 5cos 10 7t4 k 0 z Am（1） 求 k 0；（2）写出 E 的瞬时值表达式4 7解：1 k 0 w 10 78；2 E

43、 v H 24 10 cos 10 t4 k 0 zv 3 10 30 4 7E i 24 10 cos 10 t k 0 z413、内外半径分别为 a 和 b 的球形电容器,加上 v v 0 cos wt 的电压,且 不大,故 电 场 分 布 和 静 态 情 形 相 同 , 计 算 介 质 中 位 移 电 流 密 度 Dj 及 穿 过 半 径R a R b 的球面的总位移电流 J D；解：位移电流密度为：jDD0E,又ERv2av0coswtJD为 ：tbRba2j0Rv0wasinwtb穿 过 半 径RR2aRb的 球 面 的总 位 移 电 流4R2v0w0sinwtJDjD42Rba21

44、4、证明匀称介质内部的体极化电荷密度10倍；p总是等于体自由电荷密度的证：PP0E0E0f10f即证明白匀称介质内部的体极化电荷密度p总是等于体自由电荷密度；15、一根长为 l 的细金属棒,铅直地直立在桌上,设所在地点地磁场强度为 H ,方向为南北, 如金属棒自静止状态向东自由倒下,试求两端同时接触桌面的瞬时棒内的感生电动势,此时棒两端的电势哪端高？解：金属棒倒下接触桌面时的角速度w 由下式给出1 ml ）,g 为重 31Iw2mgl式中为棒的质量, I 为棒绕端点的转动惯量 （22力加速度,代入得1ml2w2m g l,w3 g3l棒接触桌面时的感生电动势为：EldvBldlwx0Hdxw0

45、Hlx dx3 g0Hl23gl30H00l22此时棒的 A 点电动势高；16、点电荷 q 放在无限大的导体板前,相距为a,如 q 所在的半空间布满匀称的电介质,介质常数为,求介质中的电势、电场和导风光上的感生面电荷密度；解：设象电荷q 位于a0, 0,尝试解为：1qq,x04rr1）求 q 与a1qqc设在导体板上,4R R当R ,R,0c0.qq0 ,qq.RRRRRa2y2z2,Ra2y2z22a2y2z2q2a2y2z2q2此式对任何 y、z 都成立,故等式两边即：2q2q2,qq,y、z 的对应项系数应相等,又2a2q2a2q2,2a2q2a2q2,aa .4q11故rr（2）求 E r2xa2y232 z,rxa2 xy2z2.Exxaqar1r1r4rxrxqxx4r3r（3）求D2nD