统计学常用分布

1、离散型分布二项分布B(n, p) n为试验次数，p为每次成功概率p X = x = Cxpxqn-x 其中p + q = 1 nE (X) = np, Var (X) = npqE(etx) = (q + pet)n 其中 s t 8解释：n重贝努里实验中正好成功x次的概率几何分布Geo(p) p为成功概率P( X = x) = pqxE (X ) = q；p ,Var (X ) = q p 2E(etX) = p/ (1-qet), t 1，k为成功次数，0 p 1，p为成功概率P X = x = Cx pkqxE (X) = kq： p ,Var (X) = kqj p 2_,、， p 、

2、E(etX) = ()k, t - In q1 一 qet解释：贝努里实验系列中第k次成功正好出现在第x+k次实验上地概率泊松分布P (2-、 人xP X = x=e-人,人0 x!E (X) = M, Var (X) = ME(etX ) = e(et-1) , -8 t 8解释：贝努里概型中的实验次数很大，但每次成功的概率很小，平均成功次数接近于常数连续型分布均匀分布(。,)X _ Qf (x) ,axb F (%) ,axbx b-axb-ae(x)= Q,vmx)=虹四212E(X r)=br+1 ar+l(r+ 1)(。一。)正态分布W，b2)1O (x)=e2( a)x 2兀E(X

3、) = |Li,V#(X)=b2E(ox) = ew+；w对数正态分布log N( ptq 2)2s 、1 e 2 o ff =/=x (j yJ2n xE(X) = eVar(X) =2卜1+。2 (g(j2 )E(X) = k+扑 2解释：如果 XlogN(收2)，则 logXN(Ji,b2)指数分布ExpQ) f (x) = X。一， F () = 1-。一 TOC o 1-5 h z XX11E(X)= ,Var(X) =A人2E(Xr)=W2X rM=(1_；)一撰 0, X 。；形状参数，规模参数Xa 一， f (x) =()xa-ie-Xx/ 、 a , 、 aE (X) = ,

4、 Var (X)=-XX 2E(Xr)=搞m (t)= (g-a t, 0, X 0 ；比例参数，规模参数okaf (x) =,、,x 0 F (x )= 一 4 a)X(X + x)a+iXX + x/ 、 X , 、aX2-E(X)=,a i; Var(X) =, a 2a-1(a- i)2(a- 2)E (Xr) = X r(r +i)(a-r), a r(a)韦伯分布Weibull (c, r)f (x) = crxr-ie-cxr, x 0； F (x) = 1 一 e-cxrr(i+A)r(i+ 2)r(i+A)E(X) =r ,Var(X) =r -( r )2i2ic rc r

5、c rr(i+-)rgC r解释：对于指数分布，用xr替代x则得到韦伯分布X 2分布X 2自由度nni n f (x) =x 2-ie 2X22(；)n2r(r + 疽n iE(etx )= (- 122) t2E (X) = n,Var (X) = 2n, E (xr) =2解释：n个独立的标准状态分布随机变量的平方和服从X2分布。X2分布是伽马分布的特例n 1、X2 = Gamma（=, ）。X2分布常用来作检验对分布的拟合是否恰当（非参数检验）。 n2 2贝塔分布Beta （以,P），以 0, P 0r（a + p）r（a）r（ p）Var (X)=ap(a + P )2(a + P +

6、1)Xa -1(1 一 x) P-1,0 X 1;Var (X)=，n 2n - 2解释：如果X1 N（0,1）和X2 /2相互独立X则十土二：X2 n tn。例如取自正态母体的样本均值标准化后服从t分布。F分布F m为分子的自由度，n为分母的自由度m+nf (x) = (m);x，(1+mx)-mrx n r(m)r(n)n22n2n 2(m + n 一 2)E(X) =, n 2;Var(X) =,n 4n 一 2m(n 一 4)(n 一 2)2E ( Xr )=nmn()r ( + r)( 一 r)m 22吟( 2),n 2r解释：如果X x2和X x2相互独立，1 m 2 nX mX： n。例如两个取自正态母体的样本方差之比服从F分布。F分布用于检验对方差的估计。布尔分布Burr （以,入,丫）ayla xy-i(人 + xy )a+1ilr(a - A)r(i+1) y y ,a r(a)获 r(a- 2)r(i+ 2)2Var (X) =y - E (X )2, a -(以)yXxr(a-)r(i+-) y y &E 眼)=f(o,ay广义帕累托分布Pareto (a, X, k)尸 , 、r(a + k)Xaxk-if (x