效用函数-哈尔滨工业大学

1、.PAGE ：.；PAGE 10第三章 成效函数31 成效的定义和公理系统一、引言为什么要引入成效 决策问题的特点：自然形状不确定以客观概率表示； 后果价值待定以成效度量。1. 无形后果，非数字量(如信誉、威信、出门带伞问题的后果)需以数值度量；2. 即使是数值量(例如货币)表示的后果，其价值仍有待确定，后果的价值因人而异。例一：同是100元钱，对穷人和百万富翁的价值绝然不同；对同一个人，身无分文时的100元，与已有10000元再添加100元的作用不同，这是钱的边沿价值问题。例二： 上图作为商业、运营中实践问题的数学模型有普遍意义。有人以为打赌不如礼品，即 *由上面两个例子可知：在进展决策分析

2、时，存在如何描画(表达)后果的实践价值，以便反 映决策人偏好次序(preference order)的问题 *偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，与决策人所处的社会、经济位置，文化素养，心思和生理(身体)形状有关。如工资/任务时间权衡，年龄对带伞与否的影响。 * 除风险偏好之外，还有时间偏好。i. 折扣率；ii. 其他。 而成效(Utility)就是偏好的量化，是数(实值函数)。Daniel Bernoulli 在1738年指出： “假设一个人面临从给定行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，假设他知道与给定行动有关的未来的自然形状，且这些形状出现的概率知或可以估计，那么他应选择各种能够后

3、果中偏好期望值最高的行动。 二、成效的定义1.符号 i. ab (即aPb)读作“a优于b(a is preferred to b)。：严厉序 ab (即aRb) “a不劣于b。：弱序 ab (即aIb) “a无差别于b(I: indifference)。：无差别 ii. 展望 (prospect): 或称“预期，能够的前景即各种后果及后果出现概率的组合 P=( ) 既思索各种后果 (consequence)又思索了各种后果的概率 (probability or likelihood) 分布复合展望 一切P的集合记作p iii. 抽奖 (lottery) 与确定当量certainty equi

4、valent 抽奖L2=。假设 L2那么称 确定性后果 为抽奖 L2 确实定当量2. 成效的定义(A) 在集合p上的实值函数u，假设它和p上的优先关系一致，即: 假设 p , 当且仅当 u()u() 那么称u为成效函数成效函数定义在展望集上，而非后果集上。三、成效存在性公理理性行为公理 Von Neumann-Morgenstern, 1944公理1 连通性 (Connectivity)又称可比性 p, 那么 or or 公理2 传送性 (Transitivity) p, 假设, 那么 公理3 替代性公理 ( 加等量时优先关系不变) 假设p, 且 0 1 那么 对任何p ,必有 +(1-)+(

5、1-)或者表达成：, 那么 +(1-)+(1-) 即二种后果中，决策人所偏好的后果出现时机较大的情况是决策人所喜欢的。公理4 延续性公理 偏好的有界性假设 那么 存在 01, 01, 使 +(1-)+(1-) 由 +(1-) 可知 不是无穷劣,即 u() 由 +(1-) 可知 不是无穷优, 即 u() 即使是死亡，亦不至于无穷劣例：i, 过马路 假设死亡为无穷劣，那么不能过马路 ii, 狂犬病疫苗 上述公理看来是符合理性的，现实上并不尽然.例：Allais 悖论Paradox 例如，1953年Allais在一次学术会议上提出如下问题，请成效实际权威Savage回答Savage的回答是A组宁择i

6、， B组宁择ii，Allais指出：B组的i, ii, 均以0.89的$500,000 取代0.89的 $0，即与A组的i, ii相对应，照公理3、A、B两组中i,ii,的优先关系该当不变。Savage当时语塞。成效的公理化定义 在上述公理系统中，假设p上存在实值函数u，使i. 当且仅当 u() u() ii. u(, ; 1-, )= u() +(1-)u()线性性iii. 对满足上述条件的、， 必有 () =b( )+c , 其中 b, c , b0那么u(P)称为(基数)成效函数*关于线性：将ii. u(, ; 1-, )= u() +(1-)u() 推行到普通,假设p ;0 , i=1

7、,2,m; =1; 那么 u( )= u()四、基数成效与序数成效 (Cardinal & Ordinal Utility)基数：实数：2，2.01, 100序数：第1，2，区别：1. 基数成效定义在展望集p上(思索后果及其概率分布), 是实数;序数成效定义在后果集C上，不涉及概率，可以是自然数2. 基数成效反映偏好强度：(正线性变换下独一)原数列可变换为: b+c, 2b+c, 3b+c, b+c; 其中 b, c , b0.而序数成效不反映偏好强度，(保序变换下独一), 原序数列可变换为 16,9,4,1;或 8,6,4,2,或10,7,6,1等.序数成效的存在性公理1.连通性(可比)2.

8、传送性3.延续性：对任何确定的后果x，优势集与优势集均为闭集。(教材：P29 3.1)3.2 成效函数的构造一、离散型的概率分布后果元素有限各后果成效设定的步骤 NM法von Neumann-Morgenstern，也称概率当量法 由公理4: 假设 ,那么可找到 01, 使+(1-)第一步： 选定 , C , 使 令 u()=0, u()=1 所选择的 、 应使比较易于进展.第二步：对 ,求(01), 使+(1-) 那么 u()=u(+(1-)= u()+(1-)u() u()=第三步：假设, 求(01), 使+(1-) 那么u()=u(+(1-)=u()+(1-)u() u()=/(-1)第

9、四步：假设 , 求(0 0 u在x 处凹, 风险厌恶 r(x)=-u(x)/u(x) = 0 u在x 处线性, 风险中立 0 在x处有递减的边沿价值 m(x)=-v(x)/v(x)= 0 在x处有不变的边沿价值 r(x)称为在X内相对风险追求四、风险酬金 k=E(x)-S 这是决策人为了防止风险而情愿损失的金额 五、货币的成效1. 性质 i. 单调递增：愈多愈好 有界：全世界财富总量缺乏$, u()与u()几乎无差别 ii. x较小(相对于决策人资产而言)时, u(x)近乎线性 iii. x0时u(x)通常是凹的 递减的边沿价值 风险厌恶 x0与x0的外形不同, 负债较多有追求风险的倾向.2.

10、 钱的成效曲线的构成 设某人现有1000元存款(某商店有资产10万，企业有1000万等等) i. NM法(见3.2) 利用 +(1-) ii. 修正的NM法 利用 0.5+0.5 例: 设u(0)=0, u(1000)=1 有3000.5+0.5 u(300)=0.5 又1250.5+0.5 u(125)=0.25 5500.5+0.5 u(550)=0.75 由00.5+0.5 设 a=-250 那么u(-250)=-u(500)=-0.72 -2500.5+0.5缘由：i,价值函数是S型 ii,在一定范围内相对风险态度不变 iii,负债到一定程度以上有冒险倾向 Friedmann-Savage 成效曲线(1948): 3.4 损失、风险和贝叶斯风险一、损失函数L 有些文献采用损失函数进展分析 u(c)=u(,a) l(,a)=-u(,a) 那么损失函数与成效作用一样 为了使损失值非负，可取 l(,a)= u(,a)-u(,a) 二、风险函数 自然形状集 参数空间 行动集 A 决策空间 察看值集 X 测度空间 决策规那么 :xa , , 为战略空间 损失l(,a)=l(,(x) 由于X是随机变量，对给定的，采用