2023版高三一轮数学复习电子教参（新高考人教版）：第8章到完

1、第八章解析几何第一讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程知识梳理双基自测eq x(知)eq x(识)eq x(梳)eq x(理)知识点一直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，把x轴_正向_与直线l_向上_方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_0_.(2)倾斜角的取值范围为_0，180)_.知识点二直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角的_正切值_叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k_tan_，倾斜角是90的直线斜率不存在(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1x2)的直线的斜

2、率公式为k_eq f(y2y1,x2x1)_.知识点三直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式_yy0k(xx0)_不含直线xx0斜截式_ykxb_不含垂直于x轴的直线_两点式_eq f(yy1,y2y1)eq f(xx1,x2x1)不含垂直于坐标轴的直线_截距式_eq f(x,a)eq f(y,b)1不含垂直于x轴、平行于x轴和_过原点的_直线一般式AxByC0其中要求_A2B20_适用于平面直角坐标系内的所有直线eq x(归)eq x(纳)eq x(拓)eq x(展)1直线的倾斜角和斜率k之间的对应关系：009090900且越大，k就越大不存在k0且越大，k就越大2特殊直线的方程(1)直线

3、过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为xx1；(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为yy1；(3)y轴的方程为x0；(4)x轴的方程为y0.eq x(双)eq x(基)eq x(自)eq x(测)题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等()(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示()(5)不经过原点的直线都可以用eq f(x,a)eq f(y,b)1表示()(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2

4、，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()题组二走进教材2(选择性必修1P58T7)经过两点A(4,2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角为eq f(3,4)，则y(B)A1B3C0D2解析由eq f(2y13,42)eq f(2y4,2)y2，得y2taneq f(3,4)1，y3.3(选择性必修1P67T7)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_3x2y0或xy50_.解析当截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，设直线方程为eq f(x,a)eq f(y,a)1，则eq f(2,a)eq f(3,a)1，解得a5.所以直线方程为x

5、y50.题组三走向高考4(2016北京，7)已知A(2,5)，B(4,1)，若点P(x，y)在线段AB上，则2xy的最大值为(C)A1B3C7D8解析线段AB的方程为y1eq f(51,24)(x4), 2x4.即2xy90,2x4，因为P(x，y)在线段AB上，所以2xy2x(2x9)4x9.又2x4，则14x97，故2xy最大值为7.5(2010辽宁)已知点P在曲线yeq f(4,ex1)上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是(D)Aeq blcrc)(avs4alco1(0，f(,4)Beq blcrc)(avs4alco1(f(,4)，f(,2)Ceq blc(rc(avs4

6、alco1(f(,2)，f(3,4)Deq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，)解析由题意可知切线的斜率ktan eq f(4ex,ex12)eq f(4,exf(1,ex)2)，1tan 0，又0，eq f(3,4)，故选D考点突破互动探究考点一直线的倾斜角与斜率自主练透例1 (1)(2022兰州模拟)直线2xcos y30eq blc(rc)(avs4alco1(blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(,3)的倾斜角的变化范围是(B)Aeq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(,3)Beq blcrc(avs4alco1(f(,4)，f(,3)Ceq bl

7、crc(avs4alco1(f(,4)，f(,2)Deq blcrc(avs4alco1(f(,4)，f(2,3)(2)(2020贵州遵义航天高级中学期中)经过点P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为(A)Aeq blcrc(avs4alco1(0，f(,4)eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，)Beq blcrc(avs4alco1(0，f(,4)Ceq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，)Deq blcrc(avs4alco1(0，f(,4)eq blcrc(avs4alco1(f(3,4

8、)，)(3)已知曲线f(x)ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为(C)AeBeCeq f(1,e)Deq f(1,e)(4)(2022新高考八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为_eq f(1,3)，3_.解析(1)直线2xcos y30的斜率k2cos .由于eq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(,3)，所以eq f(1,2)cos eq f(r(3),2)，因此k2cos 1，eq r(3)设直线的倾斜角为，则有tan 1，eq r(3)由于0，)，所以eq blcrc(avs4alco1(f(,4)，f(,3)，即倾斜

9、角的变化范围是eq blcrc(avs4alco1(f(,4)，f(,3).(2)如图所示，设直线l的倾斜角为，0，)kPAeq f(12,01)1，kPBeq f(11,02)1.直线l与连接A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，1tan 1.eq blcrc(avs4alco1(0，f(,4)eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，).故选A(3)解法一：f(x)ln x，x(0，)，f(x)eq f(1,x).设切点P(x0，ln x0)，则切线的斜率kf(x0)eq f(1,x0)eq f(ln x0,x0)，ln x01，x0e，keq f(1,x0)eq f(1

10、,e).解法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线f(x)ln x及曲线f(x)ln x经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C(4)正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图直角坐标系，设对角线OB所在直线的倾斜角为，则tan 2，由正方形性质可知，直线OA的倾斜角为45，直线OC的倾斜角为45，故kOAtan(45)eq f(tan tan 45,1tan tan 45)eq f(21,12)eq f(1,3)，kOCtan(45)eq f(tan tan 45,1tan tan 45)eq f(21,12)3.故答案为：eq f(1,3)；

11、3.引申1若将本例(1)中“eq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(,3)”改为“eq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(2,3)”，则倾斜角的取值范围为_eq blcrc(avs4alco1(0，f(,3)eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，)_.引申2若将例(2)中“有公共点”改为“无公共点”，则直线l的斜率的范围为_(，1)(1，)_.引申3若将题(2)中A(1，2)改为A(1,0)，其它条件不变，求直线l斜率的取值范围为_(，11，)_，倾斜角的取值范围为_eq blcrc(avs4alco1(f(,4)，f(3,4)_.解析P(0，1)，

12、A(1,0)，B(2,1)，kAPeq f(10,01)1，kBPeq f(11,20)1.如图可知，直线l斜率的取值范围为(，11，)，倾斜角的取值范围为eq blcrc(avs4alco1(f(,4)，f(3,4).名师点拨(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：求出斜率ktan 的取值范围，但需注意斜率不存在的情况；利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆，数形结合确定倾斜角的取值范围(2)求直线斜率的方法：定义法：ktan ；公式法：keq f(y2y1,x2x1)(x1x2)；导数法：曲线yf(x)在x0处切线的斜率kf(x0)(3)注意倾斜角的取值范围是0，)，若直线的斜率不存在，则直线

13、的倾斜角为eq f(,2)，直线垂直于x轴变式训练1(1)(2022大庆模拟)直线xsin y20的倾斜角的范围是(B)A0，)Beq blcrc(avs4alco1(0，f(,4)eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，)Ceq blcrc(avs4alco1(0，f(,4)Deq blcrc(avs4alco1(0，f(,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)(2)(多选题)(2022安阳模拟改编)已知点A(1,3)，B(2，1)若直线l：yk(x2)1与线段AB相交，则k的值可以是(ABC)Aeq f(1,2)B2C0D1解析(1)设直线的倾斜角为，则

14、tan sin ，所以1tan 1，又0，)，所以0eq f(,4)或eq f(3,4)0，b0)，则eq f(2,a)eq f(1,b)1.(1)eq f(2,a)eq f(1,b)2eq r(f(2,ab)eq f(1,2)ab4，当且仅当eq f(2,a)eq f(1,b)eq f(1,2)，即a4，b2时，AOB面积Seq f(1,2)ab有最小值为4.此时，直线l的方程是eq f(x,4)eq f(y,2)1.即x2y40.(2)ab(ab)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,a)f(1,b)3eq f(2b,a)eq f(a,b)32eq r(f(2b,a)f(a,b

15、)32eq r(2).故ab的最小值为32eq r(2)，此时eq f(2b,a)eq f(a,b)，求得beq r(2)1，a2eq r(2).此时，直线l的方程为eq f(x,2r(2)eq f(y,r(2)1)1.即xeq r(2)y2eq r(2)0.(3)解法一：设BAO，则sin eq f(1,|MA|)，cos eq f(2,|MB|)，|MA|MB|eq f(2,sin cos )eq f(4,sin 2)，显然当eq f(,4)时，|MA|MB|取得最小值4，此时kl1，所求直线的方程为y1(x2)，即xy30.解法二：|MA|MB|eq o(MA,sup6()eq o(MB

16、,sup6()(a2，1)(2，b1)2ab5(2ab)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,a)f(1,b)5eq f(2b,a)eq f(2a,b)4.当且仅当ab3时取等号，|MA|MB|的最小值为4，此时直线l的方程为xy30.解法三：若设直线l的方程为y1k(x2)，则Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(2k1,k)，0)，B(0,12k)，|MA|MB|eq r(f(1,k2)1)eq r(44k2)2eq blcrc(avs4alco1(f(1,k)k)4，当且仅当keq f(1,k)，即k1时，取等号故|MA|MB|的最小值为4，此时直线l的方程为xy3

17、0.(4)同(3)|MA|eq f(1,sin )，|MB|eq f(2,cos )，|MA|2|MB|2eq f(1,sin2)eq f(4,cos2)(sin2cos2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,sin2)f(4,cos2)5eq f(cos2,sin2)eq f(4sin2,cos2)9.eq blc(rc)(avs4alco1(当且仅当cos22sin2，即tan2f(1,2)时取等号)|MA|2|MB|2的最小值为9，此时直线的斜率keq f(r(2),2)，故所求直线的方程为y1eq f(r(2),2)(x2)，即eq r(2)x2y2(eq r(2)1)0

18、.注：本题也可设直线方程为y1k(x2)(k0，b0)则eq blcrc (avs4alco1(f(2,a)f(1,b)1，,ab9)解得eq blcrc (avs4alco1(a3，,b3)或eq blcrc (avs4alco1(a6，,bf(3,2)故所求直线方程为eq f(x,3)eq f(y,3)1或eq f(x,6)eq f(2y,3)1，即xy30或x4y60.名师讲坛素养提升定点问题例4 (1)已知直线l：kxy13k0(kR)证明：直线l过定点；若直线l不过第一象限，求k的取值范围解析证明：直线l的方程可化为y1k(x3)，故无论k取何值，直线l必过定点(3,1)令x0得y3

19、k1，即直线l在y轴上的截距为3k1.由题意知eq blcrc (avs4alco1(k0，,3k10)解得keq f(1,3).故k的取值范围是eq blc(rc(avs4alco1(，f(1,3).(2)(2021广东广州市一模)已知A(1,0)，B(0,2)，直线l：2x2ay3a0上存在点P，满足|PA|PB|eq r(5)，则l的倾斜角的取值范围是(D)Aeq blcrc(avs4alco1(f(,3)，f(2,3)Beq blcrc(avs4alco1(0，f(,3)eq blcrc)(avs4alco1(f(2,3)，)Ceq blcrc(avs4alco1(f(,4)，f(3,

20、4)Deq blc(rc(avs4alco1(0，f(,4)eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，)解析2x2ay3a0即yeq f(1,2)eq f(1,a)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)，直线l过定点Meq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(1,2)，又|AB|eq r(5)，P在线段AB上，即直线l与线段AB有公共点，又kMA1，kMB1，1eq f(1,a)0或0eq f(1,a)1，即1kl0或00)到直线l：xy30的距离为1，则a等于(C)Aeq r(2)B2eq r(2)Ceq r(2)1Deq r(2)1解析由题意

21、得eq f(|a23|,r(11)1.解得a1eq r(2)或a1eq r(2).a0，a1eq r(2).题组三走向高考4(2020高考全国)点(0，1)到直线yk(x1)距离的最大值为(B)A1Beq r(2)Ceq r(3)D2解析解法一：由yk(x1)可知直线过定点P(1,0)，设A(0，1)，当直线yk(x1)与AP垂直时，点A到直线yk(x1)距离最大，即为|AP|eq r(2)，故选B解法二：因为点(0，1)到直线yk(x1)距离deq f(|1k|,r(k21)eq r(f(k22k1,k21)eq r(1f(2k,k21)；要求距离的最大值，故需k0；可得deq r(1f(2

22、,kf(1,k)eq r(2)(当且仅当k1时取等号)，故选B5(2018全国)坐标原点关于直线xy60的对称点的坐标为_(6，6)_.解析设坐标原点关于直线xy60的对称点的坐标为(a，b)，则eq blcrc (avs4alco1(f(b,a)11,f(a,2)f(b,2)60)，解得a6，b6，坐标原点关于直线xy60的对称点的坐标为(6，6)考点突破互动探究考点一两条直线平行、垂直的关系自主练透例1 (1)(2021江西宜春高安期中)经过抛物线y22x的焦点且平行于直线3x2y50的直线l的方程是(A)A6x4y30B3x2y30C2x3y20D2x3y10(2)“m3”是“直线l1：

23、2(m1)x(m3)y75m0与直线l2：(m3)x2y50垂直”的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(3)(2022山东青岛调研)直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m(C)A2B3C2或3D2或3(4)等腰直角三角形斜边的中点是M(4,2)，一条直角边所在直线的方程为y2x，则另外两边所在直线的方程为_x3y20、x2y140_.解析(1)因为抛物线y22x的焦点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0)，直线3x2y50的斜率为eq f(3,2)，所以所求直线l的方程为yeq f(3,2)eq blc(rc)(a

24、vs4alco1(xf(1,2)，化为一般式，得6x4y30.(2)由l1l2，得2(m1)(m3)2(m3)0，m3或m2，m3是l1l2的充分不必要条件(3)由题意知eq blcrc (avs4alco1(mm16，,4m4，)解得m2或3.故选C(4)设斜边所在直线的斜率为k，由题意知tan eq f(,4)eq f(2k,12k)1，keq f(1,3)，斜边所在直线方程为y2eq f(1,3)(x4)，即x3y20，由eq blcrc (avs4alco1(y2x,x3y20)可知Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,5)，f(4,5)，A关于M的对称点Beq blc(

25、rc)(avs4alco1(f(38,5)，f(16,5)，另一条直角边的方程为yeq f(16,5)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(38,5)，即x2y140，故填x3y20、x2y140.名师点拨(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论变式训练1(1)(2022吉林长春模拟)曲线f(x)2sin x在xeq f(,3)处的切线与直线axy10垂直，则a_

26、1_.(2)(2022四川成都零诊)已知直线l1：xym0，l2：xm2y0，则“l1l2”是“m1”的(B)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析(1)由题得f(x)2cos x，kfeq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)1.所以1(a)1，a1.(2)由题意，直线l1：xym0，直线l2：xm2y0，因为l1l2，可得m21，解得m1，所以“l1l2”是“m1”的必要不充分条件故选B考点二两直线的交点、距离问题师生共研例2 (1)两条垂直直线l1：2xy10与l2：ax4y60的交点到原点的距离为_eq r(2)_.(2)若直线l：yk(xeq

27、r(3)与直线xy30的交点位于第二象限，则直线l倾斜角的取值范围是_eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，f(3,4)_.(3)已知点P(2，1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由(4)(2020上海)已知直线l1：xay1，l2：axy1，若l1l2，则l1与l2的距离为_eq r(2)_.解析(1)kl12，kl2eq f(a,4)，由l1l2知2eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,4)1，a2，l2：x2y30，由

28、eq blcrc (avs4alco1(2xy10,x2y30)得交点A(1，1)，|AO|eq r(2).(2)数形结合显然直线l过定点P(eq r(3)，0)，由图可知MPOeq f(,3)，MHOeq f(,4)，故所求倾斜角的取值范围是eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，f(3,4).(3)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，1)，显然，过点P(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x2.若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得eq f(|2k1|,r(k21)2，解得keq f(3,4).此时l的方

29、程为3x4y100.综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100.作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图由lOP，得klkOP1，所以kleq f(1,kOP)2.由直线方程的点斜式，得y12(x2)，即2xy50.所以直线2xy50是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为eq f(|5|,r(5)eq r(5).由可知，过点P不存在到原点的距离超过eq r(5)的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线(4)直线l1：xay1，l2：axy1，当l1l2时，a210，解得a1；当a1时l1与l2重合，不满足题意；当a1时l1l2，此时l1：xy10

30、，l2：xy10；则l1与l2的距离为deq f(|11|,r(1212)eq r(2).名师点拨距离的求法(1)点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式(2)两平行直线间的距离：利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；利用两平行线间的距离公式提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x、y的系数分别相等变式训练2(1)(2022西南名校联盟联考)设直线l1：3xy10与直线l2：x2y50的交点为A，则A到直线l：xby2b0的距离的最大值为(C)A4Beq r(10)C3eq r(2)

31、Deq r(11)(2)已知两点A(3,2)和B(1,4)到直线mxy30距离相等，则m的值为(C)A6或eq f(1,2)Beq f(1,2)或1Ceq f(1,2)或6D1或6(3)(2022绵阳模拟)若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为(C)Aeq f(9,5)Beq f(18,5)Ceq f(29,10)Deq f(29,5)解析(1)解法一：显然l1与l2的交点A(1,2)，又直线l过点B(2，1)，所求最大距离为|AB|3eq r(2)，故选C解法二：显然l1与l2的交点为A(1,2)，则A到直线l的距离deq f(|12b2b|,r(1b

32、2)3eq r(f(1b22b,1b2)3eq r(1f(2b,1b2)3eq r(2)(当且仅当b1时取等号)，故选C(2)直线mxy30与直线AB平行或过AB中点，meq f(42,13)eq f(1,2)，即meq f(1,2)；AB中点(1,3)，m330即m6，故选C(3)因为eq f(3,6)eq f(4,8)eq f(12,5)，所以两直线平行，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即eq f(|245|,r(6282)eq f(29,10)，所以|PQ|的最小值为eq f(29,10).考点三对称问题多维探究角度1线关于点的对称例3 (2022河北五校联考)直线a

33、xy3a10恒过定点M，则直线2x3y60关于M点对称的直线方程为(D)A2x3y120B2x3y120C2x3y120D2x3y120解析由axy3a10，可得y1a(x3)，所以M(3,1)，M不在直线2x3y60上，设直线2x3y60关于M点对称的直线方程为2x3yc0(c6)，则eq f(|636|,r(49)eq f(|63c|,r(49)，解得c12或c6(舍去)，所以所求方程为2x3y120，故选D另解：在直线2x3y60上取点A(0,2)、B(3,0)，则A、B关于M的对称点分别为A(6,0)，B(9,2)，又kABeq f(20,96)eq f(2,3)，故所求直线方程为ye

34、q f(2,3)(x6)，即2x3y120.故选D角度2点关于线的对称例4 (2021湖南长沙一模)已知入射光线经过点M(3，4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_6xy60_.解析设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以eq blcrc (avs4alco1(f(b4,a3)1，,f(3a,2)f(b4,2)30，)解得a1，b0.又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为eq f(y0,60)eq f(x1,21)，即6xy60.(代入法)当x3时，由xy30得y0，当y4时，由xy3

35、0得x1.M(3,4)关于直线l的对称点为M(1,0)又kNMeq f(60,21)6，所求直线方程为y6(x1)，即6xy60.引申本例中入射光线所在直线的方程为_x6y270_.解析N(2,6)关于直线l的对称点N(3,5)，又kMNeq f(54,33)eq f(1,6)，所求直线方程为y4eq f(1,6)(x3)，即x6y270.角度3线关于线的对称例5 (2022合肥模拟)已知直线l：xy10，l1：2xy20.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是(B)Ax2y10Bx2y10Cxy10Dx2y10解析解法一：因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上

36、，故l与l1的交点(1,0)在l2上又易知(0，2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(x，y)，则eq blcrc (avs4alco1(f(x0,2)f(y2,2)10，,f(y2,x)11，)解得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1，)即(1,0)，(1，1)为l2上两点，可得l2的方程为x2y10.解法二：在l1上取两点A(0，2)，B(1,0)，则A、B关于l的对称点分别为A(1，1)，B(1,0)，kABeq f(01,11)eq f(1,2).l2的方程为y0eq f(1,2)(x1)，即x2y10.故选B解法三：设P(x，y)是直线l2上任一点，则P关于直线l的

37、对称点为P(y1，x1)，又Pl1，2(y1)(x1)20，即直线l2的方程为x2y10.故选B名师点拨对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有：(1)中心对称点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P(x，y)满足eq blcrc (avs4alco1(x2ax，,y2by.)直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2)轴对称点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则有eq blcrc (avs4alco1(f(nb,ma)blc(rc)(avs4alco1(f(A,B)1，,Af(am,2)Bf(bn,2

38、)C0.)直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决特别地，当对称轴的斜率为1时，可类比关于yx的对称问题采用代入法，如(1,3)关于yx1的对称点为(31，11)，即(2,2)变式训练3已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)(角度2)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)(角度3)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)(角度1)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程解析(1)设A(x，y)，由已知条件得eq blcrc (avs4alco1(f(y2,x1)f(2,3)1，,2f(x1,2)3f(y2,2)10，)解得eq blcrc (avs4a

39、lco1(xf(33,13)，,yf(4,13).)Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(33,13)，f(4,13).(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点M(a，b)，则eq blcrc (avs4alco1(2f(a2,2)3f(b0,2)10，,f(b0,a2)f(2,3)1，)得Meq blc(rc)(avs4alco1(f(6,13)，f(30,13).设直线m与直线l的交点为N，则由eq blcrc (avs4alco1(2x3y10，,3x2y60，)得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线m的方程为

40、9x46y1020.(3)设P(x，y)在l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，点P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.名师讲坛素养提升巧用直线系求直线方程例6 (1)求证：动直线(m22m3)x(1mm2)y3m210(其中mR)恒过定点，并求出定点坐标；(2)求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程解析(1)证明：解法一：令m0，则直线方程为3xy10.再令m1时，直线方程为6xy40.和联立方程组eq blcrc (avs4alco1(3xy10，,6xy40，)得eq blc

41、rc (avs4alco1(x1，,y2.)将点A(1,2)的坐标代入动直线(m22m3)x(1mm2)y3m210中，(m22m3)(1)(1mm2)23m21(312)m2(22)m2130，故动直线(m22m3)x(1mm2)y3m210恒过定点A解法二：将动直线方程按m降幂排列整理，得m2(xy3)m(2xy)3xy10，不论m为何实数，式恒为零，有eq blcrc (avs4alco1(xy30，,2xy0，,3xy10，)解得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y2.)故动直线恒过点A(1,2)(2)解法一：解方程组eq blcrc (avs4alco1(x2y40，,

42、xy20，)得P(0,2)因为l3的斜率为eq f(3,4)，且ll3，所以直线l的斜率为eq f(4,3)，由斜截式可知l的方程为yeq f(4,3)x2，即4x3y60.解法二：设所求直线方程为4x3ym0，将解法一中求得的交点P(0,2)代入上式可得m6，故所求直线方程为4x3y60.解法三：设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.又ll3，3(1)(4)(2)0，解得11.直线l的方程为4x3y60.引申若将本例(2)中的“垂直”改成“平行”，则直线l的方程为_3x4y80_.名师点拨1确定方程含参数的直线所过定点的方法：(1)将直线方程写成点斜式yy0f()(

43、xx0)，从而确定定点(x0，y0)(2)将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项系数及常数项为0确定定点(3)给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程组，从而确定定点坐标2直线系的主要应用(1)共点直线系方程：经过两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中A1B2A2B10，待定系数R.在这个方程中，无论取什么实数，都得不到A2xB2yC20，因此它不能表示直线l2.(2)过定点(x0，y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(k为参数)及xx0.(3)平行直线系方程：与直线ykxb平行的直线系方程为ykxm(m

44、为参数且mb)；与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(C，是参数)(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0(A0，B0)垂直的直线系方程是BxAy0(为参数)如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，那么可选用直线系方程来求解变式训练4(1)(2022江苏启东模拟)不论m为何值时，直线(m1)x(2m1)ym5恒过定点(D)Aeq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)B(2,0)C(2,3)D(9，4)(2)与直线l：5x12y60平行且到l的距离为2的直线的方程是_5x12y320或5x12y200_.解析(1)解法一：由(m1)x(2m1)ym5

45、，得(x2y1)m(xy5)0，由eq blcrc (avs4alco1(x2y10，,xy50，)得定点坐标为(9，4)，故选D解法二：令m1，则y4；令meq f(1,2)，则eq f(1,2)xeq f(9,2)，即x9，直线过定点(9，4)，故选D解法三：将直线方程化为(2m1)(ya)(1m)(xb)，则eq blcrc (avs4alco1(ab5,2ab1)，即eq blcrc (avs4alco1(a4,b9)，y4eq f(1m,2m1)(x9)，故直线过点(9，4)，故选D(2)设所求直线的方程为5x12yc0，则eq f(|c6|,r(52122)2，解得c32或20，故

46、所求直线的方程为5x12y320或5x12y200.第三讲圆的方程知识梳理双基自测eq x(知)eq x(识)eq x(梳)eq x(理)知识点一圆的定义及方程定义平面内到_定点_的距离等于_定长_的点的集合(轨迹)叫做圆标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心C：_(a，b)_半径：_r_一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心：eq blc(rc)(avs4alco1(f(D,2)，f(E,2)半径：r_eq f(r(D2E24F),2)_知识点二点与圆的位置关系圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)，(1)(x0a)2(y0b)2_r2点在圆上；(2)(x

47、0a)2(y0b)2_r2点在圆外；(3)(x0a)2(y0b)2_0.()(5)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆()题组二走进教材2(选择性必修1P88T4)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1，1)和B(1,3)，则圆C的方程为_(x2)2y210_.解析设圆心坐标为C(a,0)，点A(1,1)和B(1,3)在圆C上，|CA|CB|，即eq r(a121)eq r(a129)，解得a2，圆心为C(2,0)，半径|CA|eq r(2121)eq r(10)，圆C的方程为(x2)2y210.3(选择性必修1P98T2(1)以点(2，1)为圆心且与直线3x4y

48、50相切的圆的方程为(C)A(x2)2(y1)23B(x2)2(y1)23C(x2)2(y1)29D(x2)2(y1)29解析因为圆心(2，1)到直线3x4y50的距离deq f(|645|,5)3，所以圆的半径为3，即圆的方程为(x2)2(y1)29.故选C题组三走向高考4(2019北京高考)设抛物线y24x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为_(x1)2y24_.解析抛物线的方程为y24x，其焦点坐标为F(1,0)，准线l的方程为x1.又圆与直线l相切，圆的半径r2，故圆的方程为(x1)2y24.5(2020高考全国)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线

49、2xy30的距离为(B)Aeq f(r(5),5)Beq f(2r(5),5)Ceq f(3r(5),5)Deq f(4r(5),5)解析设圆心为P(x0，y0)，半径为r，圆与x轴，y轴都相切，|x0|y0|r，又圆经过点(2,1)，x0y0r且(2x0)2(1y0)2r2，(r2)2(r1)2r2，解得r1或r5.r1时，圆心P(1,1)，则圆心到直线2xy30的距离deq f(|213|,r(2212)eq f(2r(5),5)；r5时，圆心P(5,5)，则圆心到直线2xy30的距离deq f(|1053|,r(2212)eq f(2r(5),5).故选B考点突破互动探究考点一圆的方程自

50、主练透例1 (1)(2021浙江丽水高中发展共同体期末)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x2y4与x轴交于A点，直线m：kxy10与y轴及直线l分别交于B点，C点，且A，B，C，O四点共圆，则此圆的标准方程是_(x2)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(1,2)2eq f(17,4)_.(2)(2018天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_x2y22x0_.(3)(2021重庆一中、湖北鄂州期中)圆C半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆C的方程为(B)Ax2y22x30Bx2y24x0Cx2y24x

51、0Dx2y22x30(4)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq r(5)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为eq f(4r(5),5)，则圆C的方程为_(x2)2y29_.解析(1)由题意，A(4,0)，直线l与m垂直，k2，B(0,1)，此圆的圆心为eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(1,2)，半径为eq f(r(17),2)，所以圆的标准方程为(x2)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(1,2)2eq f(17,4).(2)设圆的一般方程为x2y2DxEyF0.分别代入(0,0)，(1,1)，(2,0)三点，得eq blcrc (avs4alco1(

52、F0，,11DEF0，,42DF0，)解得eq blcrc (avs4alco1(D2，,E0，,F0.)故圆的方程为x2y22x0.另解：在坐标系中作出O(0,0)，A(1，1)，B(2,0)，显然OAB为等腰直角三角形，故OB为过三点圆的直径，其方程为(x1)2y21，即x2y22x0.(3)设圆心C(a,0)(a0)，由题意知eq f(|3a4|,r(3242)2，解得a2，故圆C的方程为(x2)2y222，即x2y24x0，故选B(4)设圆C的圆心坐标为(a,0)，a0，半径为r，则eq f(4r(5),5)eq f(|2a|,r(2212).a0，a2.r2(20)2(0eq r(5

53、)29，圆C的方程为(x2)2y29.名师点拨求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，进而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值变式训练1(1)圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，5)的圆的方程为_(x1)2(y2)210_.(2)(2021天津河西区期末)过点(eq r(3)，1)的直线与圆x2y24相切，则直线在y轴

54、上的截距为_4_.解析(1)AB的中点为H(0，4)，且kABeq f(35,22)eq f(1,2)，AB中垂线方程为y42x，即2xy40.由eq blcrc (avs4alco1(2xy40,x2y30)得圆心C(1，2)，r2AC210.故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.(2)不妨设直线方程为y1k(xeq r(3)，由题意知eq f(|r(3)k1|,r(k21)2，解得keq r(3)，切线方程为yeq r(3)x4，故其在y轴上的截距为4.考点二与圆有关的最值问题多维探究角度1斜率型最值例2 已知点P(x，y)在圆x2(y1)21上运动，则eq f(y1,x2)的最大值与

55、最小值分别为_eq f(r(3),3)，eq f(r(3),3)_.解析设eq f(y1,x2)k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率，当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值由eq f(|2k|,r(k21)1，解得keq f(r(3),3)，故填eq f(r(3),3)，eq f(r(3),3).角度2截距型最值例3 (2022海南海口模拟)已知实数x，y满足x2y24(y0)，则meq r(3)xy的取值范围是(B)A(2eq r(3)，4)B2eq r(3)，4C4,4D4,2eq r(3)解析x2y24(y0)表示圆x2y24的上半部分，如图所示，直线eq r(3)xym

56、0的斜率为eq r(3)，在y轴上的截距为m；当直线eq r(3)xym0过点(2,0)时，m2eq r(3).设圆心(0,0)到直线eq r(3)xym0的距离为d，则eq blcrc (avs4alco1(m2r(3)，,d2.)即eq blcrc (avs4alco1(m2r(3)，,f(|m|,2)2.)解得m2eq r(3)，4角度3与距离有关的最值例4 (2022陕西西安一中质检)P是圆M：x2(y3)24上的动点，则P到直线l：eq r(3)xy30的最短距离为(D)A5B3C2D1解析如图，过M作MAl于A，当P在线段MA上时，|PA|为最短距离，|MA|eq f(|r(3)0

57、33|,r(r(3)21)3，|PA|MA|21.引申本例中若P(x，y)，则(1)(x3)2(y1)2的最大值为_49_，最小值为_9_.(2)|x2y2|的取值范围为_82eq r(5)，82eq r(5)_.解析(1)(x3)2(y1)2表示圆上的点到点N(3，1)距离的平方，由|MN|eq r(032312)5知圆上的点到N的距离的最大值为7，最小值为3，故(x3)2(y1)2的最大值为49，最小值为9.(2)|x2y2|表示圆上的点到直线l1：x2y20距离的eq r(5)倍，又圆心M(0,3)到直线l1的距离为eq f(8,r(5)eq f(8r(5),5)，圆M上的点到直线l1距

58、离的取值范围为eq blcrc(avs4alco1(f(8r(5),5)2，f(8r(5),2)2).故|x2y2|的取值范围为82eq r(5)，82eq r(5)名师点拨与圆有关的最值问题的常见解法(1)形如eq f(yb,xa)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题(4)圆上的点到定点(定直线)距离的最大值与最小值可转化为圆心到定点(定直线)距离与半径的和与差变式训练2(2022广东深圳龙岗区期中质检)已知点P在圆x2y24上，已知A

59、(3,0)，B(0,4)，则eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()的最小值为_6_.解析解法1：设P(x，y)，则eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()x2y23x4y4(3x4y)记3x4yt，当此直线与圆相切时有eq f(|t|,5)2，10t10.eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()的最小值为4106.解法2：因为点P在圆x2y24上，所以设点P(2cos ，2sin )，R，则eq o(PA,sup6()(32cos ，2sin )，eq o(PB,sup6()(2cos ，42sin )所以eq o(PA,sup6()eq o(

60、PB,sup6()2cos (32cos )2sin (42sin )化简得eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()48sin 6cos 410sin()，其中tan eq f(3,4).所以当sin()1时，eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()取得最小值6.考点三与圆有关的轨迹问题师生共研例5 已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P、Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解析(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，