大物第23.2讲波动方程

1、11.3平面简谐波的波动方程一、平面简谐波方程波是振动状态的传递，描写振动状态的物理量是相位。那么，如果已知波空间某点（波源）的振动状态，就可以根据波线上任一点相对已知点相位的上述或超前，得到该点处的振动状态。反应的函数就是波方程或称为波函数。uxop已知 o 点的振动方程，那么波线上任意 p 点的相位与 o 点的相位究竟是什么关系呢?x，所以在 x 0 处的每个由于向质点将依次较晚开始振动。设波向x方向，取平衡位置在坐标原点o处的质元作参考。设它在时刻t的位移为y0 A cos tuyx（振动方程）(初相 = 0) tpOt 时刻， o 点的相位：由于波源的振动状态相位要延迟一段时间xut

2、才能传到p 点则t 时刻， p 点的相位： t t则， p 处质点在 t 时刻偏离平衡位置的位移为 Acos (t x)y A cos (t t)pu由于 p 点的任意性，这表示的就是波线上任一点的振动状态。因而它描述的是波方向上任一点的振动规律，这就是要寻找的波函数。，那么t 时刻 p 点的相位比 o如果波反向点的相位超前 ty0 Acosyp Acos Acostt 时刻， o 点 t )x )(tp 点(tu例题1 ：解：取向右为 x向， a 点距坐标原点为L ，波线上 p 点的振动比a 点yp A cos (t t )x Lua Acos (t )puLx L 0 ，若 x L若 x

3、L，p 点的振动比 a 点；ux L 0 ，p 点的振动比 a 点超前。，u一平面简谐波向右，波速u。若已知a 点的振动为ya Acos t ，求波函数。ya Acos(t )若 a 点初相位不为零， 即(t x L ) y A cos则pux L ) y A cos(t若反向pu总之，已知振动点为坐标原点时，波函数为y Acos (t x ) u“+”号对应左行波“”号对应右行波；利用 2 及 u ，可将波函数改写为x) y( x,utx) y( x,2x) y( x, kx) 距离上两点间y(x,k 2角波数波的相位差二、波函数的物理意义y Acos (t x ) u行波方程f (t x

4、)的函数中，有两个自变量t 、x在形如uy 是（t，x）的二元函数x x0即给定yTyoux0oxt 2 ) Acos( t )y( x,x则0表示x0 点的振动方程。其中为x0 处质点于 o 点的相位 为o 处质点的初相位 2x )y( x,0 Acos( t ) 2 x0 x处质点的振动初相为0对不同的x 点，不同。x 越大，相位越多。故方向上各质点的相位依次。这就是波动的基本特征uy波线上任意两点间的相位差 2 1x1 xox2 ( t 2 ) ( t 1 )x n 2 若则12 2 ( xn x ) 2 x21n = 0，1，2，（振动相位相同）x 称为波程差 是波在空间上的周期性的标

5、志 给定 t = t0 2x ) A cos( 2y( x,x)0表示介质中各质点在此刻偏离平衡位置的位移分布这相当于用照相机摄下的某时刻 t的画面。 给定 t = t0 2x ) A cos( 2y( x,x)0表示介质中各质点在此刻偏离平衡位置的位移分布这相当于用照相机摄下的某时刻 t的画面。连续地改变t，就可以得到波形不断地从左到右（或从右向左）移动的过程。连续地改变t，就可以得到波形不断地从左到右（或从右向左）移动的过程。同一质点在相邻两时刻的振动相位差 t 2 (tt )2121TT 是波在时间上的周期性的标志若 x , t 均变化f (t x ) 包含了不同时刻的波形uui) t

6、时刻的波函数yt tt x ) y( x,Oxuii) t + t 时刻的波函数xx) y(x, t t uiii) t 时刻，x 处的某个状态经过t ，了x 的距离) y( x x, t t) x ut A cos(t x ) y( x, t)u波形无畸变地朝前推进uyt tt在时间t 内整个波形沿波的方向Ox平移了一段距离xx这就给了一幅行波的图像例题2 ：解：由图知T 4sA 0.02m 2 T2 振动方程2 0.02cos (t x ) my Acos(t x ) u252 uT 20m给定x 5 / 4，得振动方程y 0.02cos (t 5 / 4) 0.02cos( t 3 )m

7、2252其振动曲线图示u = 5m/sT 4sy 0.02cos(t )m2202xy 0.02cos(t ) m52给定时间 t 3s ，得波形方程2xy 0.02cos(3 ) 0.02cos( x)m5210波形曲线如果已知的是某 x0点的振动图形而不是原点，该如何计算？例题3 ：解：由图知A 0.02mT 4s 2 T2 u / 20m (t x ) (0 / 2) ，02u2252平面简谐ox向，u = 5m/s，已知 / 2 点的振动曲线如图。求：点的振动方程； x = 5/4 处质点的振动方程， t = 3s时其波形曲线。o 点振动方程x波动方程uy 0.02cos (t 5 /

8、 4) 0.02cos( t 2 )m2522y 0.02cos (3 x ) 252 0.02cos2 x10例题4 ：D 2 0, 133 x ) y( x,解： 设波函数为由图和已知条件u 2 / T 2 1 0.20 2 0.40m 0.40 / 2 0.20m/sA 0.1mu / T33 ( 1 0) 30.20m已知 T = 2s， t = 1/3 s 时的波形如图(右行)，求波函数、D点的振动方程。) x波函数为： y( x, t ) 0.1cos (t 0.23求D点的振动方程DxD 7 / 30由图得：my(D, t) 0.1cos (t 7 / 30) 0.1cos( t

9、 5 )0.23611.4 波的能量、能流波不仅是振动状态的，而且也是伴随着振动能量的。波的确是携带能量的。海啸过后，海岸边的民房、设施遭到严重破坏，远离中心的地区，也的损失。y遭到下面波的冲击，造成生命、对波的能量作定量分析一、弦线上波的能量先研究原长为dx的元段ds具有的能量ydsdE 1 dm v2 1 dxv2动能k22 x ) xy( x,由uv y A sin (t x ) 元段ds的振动速度tudE 1 dxA2 2 sin2 (t x ) 所以k2udEp T (ds dx)势能弦在波动过程中，质元的势能只能是弦被拉伸时的弹性势能，它可由弹性力的功度量。因而此式的物理意义是弹性

10、质有的弹性势能。振动而偏离平衡位置所具这个表达式还意味着，假定弦线形变是微小的，因而张力 T 可视为恒量，这种假定合理吗?1 ( dy )2 dxds dx2 dy2因为dx（1 1 ( y )2 ）dx按级数展开2 xdEp T (ds dx)略去高阶小量 T ( 1 ( dy )2 dx dx)dx T 1 ( y )2 dx2 x正比于( y )2由此式看，长度 dx 的变化 ds dxxdE T (ds dx) T 1 ( y )2 dxp2 x则 T x定律， T kx按张力的变化正比于长度的变化，y因此，只要是一级小量(微振动)，x(ds dx) 即 T 的变化就是二级小量，所以可

11、以略去T 的变化，视其为恒量。y xAsin (t ) uuxT u2u T / 而即dE 1 dxA2 2 sin2 (t x ) p2u比较单一谐振子的能量谐振子能量和简谐波能量的差异之一波动过程性介质质元不是孤立的，它们与相邻质点间有相互作用。作用过程中，吞吐能量，形成能量的传递。可证明，能量沿行波方向传递。abca 对 b 作正功，b 对 a 作负功同时对c 作正功谐振子能量和简谐波能量的差异之二以弦上的横波为例：波形顶端形变最小几乎为零，故此处弹性势能最小零值。同时，因该处介质元已达偏离平衡位置最大点，速度为零，即动能最小；而在平衡点，波形斜率最大，故而势能最大，过平衡点时动能也是最

12、大。若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元）各体积元产生不同程度的弹性形变，具有弹性势能Ep上下形变最小振速 v 最小t 时刻波形未起振的体积元抖动形变最大振速 v 最大各体积元以变化的振动速率v 上下振动，具有振动动能二、弹性体中波的能量和能量密度质量为dm dV在 x 处取一体积元dV体积元内媒质质元动能为dE 1 A2 2 sin2 (t x ) dVk2u体积元内媒质质点的弹性势能为dE 1 A2 2 sin2 (t x ) dVp2u体积元内媒质质点的总能量为： A2 2 sin2 (t x ) dVdE dEdEkpu能量密度：体积介质中所具有的波的能量。 2 A2 sin

13、2 (t x ) w dEdVu平均能量密度：一个周期内能量密度的平均值。 1T1 1 A2 2t Txw wdt wdx2tx有人在能量方面做过计算：大量观众欢呼足球射入球门时的吼声，差不多相当于烧一杯咖啡的热量。三、波的能流和能流密度uS能流:时间内通过介质中某一垂直截面的能量。P w u S平均能流：在一个周期内能流的平均值。 wuSP wuS：瓦特平均能流密度（波强）：时间，通过垂直于波方向的均能量。面积的平P wu 1 A2 2uI ：瓦特/平方米S2例题1 ：证明：在一个周期对平面波T 内通过S1和S2面的能量应该相等u I1S1T I2S2T,SS12S1 S2 S1212u A S T u A