三圆的切线的性质及判定定理 (3)

1、圆的切线的性质与判定江苏省滨海中学 孙亚高中数学 选修4-1（1）当直线与圆有2个公共点时，直线与圆相交；（2）当直线与圆恰有1个公共点时，直线与圆相切；（3）当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离. 从直线与圆的公共点个数出发，如何定义直线与圆的位置关系？问题1：（1）当dr时，直线与圆相离. 如图，设圆O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.你能根据d与r的大小关系，判断直线与圆的位置关系吗？问题2：（1）过圆O内一点A任意作一条直线l,那么直线l与圆O是什么位置关系？（2）过圆O上一点A任意作一条直线l,那么直线l与圆O是什么位置关系？问题3：l（3）过圆O上一点A如何作一条直线l,使得直

2、线l与圆O相切呢？相交相交或相切l已知: 是 的一条半径，直线 过点 ，且求证：是 的切线.证明：在直线l上任取一点P，若点P不同于点A，则OPOA，从而点P在圆O外.故直线l与圆O只有一个公共点A.即l是圆O的切线.1.切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.l例1：如图，已知 为 外一点，以 为直径作 , 交 于点 ， ，求证： ， 是 的切线.证明：连接OA.由于A是以PO为直径的圆M上一点.故根据切线的判定定理知，PA是圆O的切线.同理，PB是圆O的切线.练习1：已知点A是圆O上一点，点P是圆O外一点，且OA=3，AP=4，OP=5，那么直线PA与圆O的位置关系是_.

3、相切以算代证 练习2：如图，AB是O的直径，O过BC的中点 D，DEAC,E为垂足. 求证：DE是O的切线.ABDCEO问题4：切线的判定定理告诉我们如何判断直线与圆相切，反过来，如果我们已知直线与圆相切，那会有怎样的性质呢？已知：直线 是 切线， 为切点.求证：已知：直线 是 切线， 为切点.求证：P 如图，假设 与OA不垂直.作 ，垂足为P，证明：则OAOP,即圆心O到直线 的距离d小于圆的半径r.于是直线 与 相交，矛盾.所以反证法！反证法一般步骤是什么？1.反设2.归谬3.存真2.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 对于某条直线，从下列三个条件中任取两个，可以推出第三个的有

4、_.问题5：依据是切线的性质定理为什么？经过圆心且与切线垂直的直线必经过切点.经过切点且与切线垂直的直线必经过圆心.推论1:为什么？推论2:例2: 如图，AB为O的直径，C为O上一点.AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分DAB.ABCDO练习1：如图，OA和OB是O的半径，并且OAOB，P是OA上任意一点，BP的延长线交O于Q.过Q作O的切线交OA的延长线于R.求证：RP=RQ.ABOQRP例3：从圆外一点P引圆O的两条切线PA，PB，点A，B 为切点，求证：(2)PO垂直平分线段AB.(1)PO平分证明：（1）连接OA，OB，则即PO平分例3：从圆外一点P引圆O的两条切线PA

5、，PB，点A，B 为切点，求证：(2)PO垂直平分线段AB.(1)PO平分证明：（2）由得：又 平分 ，由等腰三角形三线合一定理知，所以 垂直平分线段 从圆外一点向圆作切线，该点到切点间线段的长称为切线长.3.切线长的概念.4.切线长定理.从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等.例3：如图， 与 外切于点 ，一条外公切线分别切两圆于点 ， ，求证： .Q证明：因为两圆外切于点P，所以点P在两圆的连心线 上.所以，以AB为直径的圆经过点P.故过点P作 ，交AB于点Q，则PQ是两圆的内公切线.由切线长定理知：同理，练习：如图，已知直角三角形的三条边长分别是3,4,5，求其内切圆半径r的值.推广：已知

6、直角三角形的三条边长分别是a,b,c，(c为斜边长)求其内切圆半径r的值（结果用a,b,c)表示.从特殊到一般1.如图，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，O与腰AB相切于 点D.求证：AC与O相切.ABCDO巩固训练 2.如图，AB是O的直径，直线BC是O的切线，切点为B，且OCAD,AD是弦.求证：DC是O的切线.ABOCD3.把两圆的外公切线夹在两切点间的线段的长称为两圆外公切线的长，求证：外切圆的外公切线的长等于内公切线夹在外公切线间的线段长.T4.如图，P是半圆O的直径BC的延长线上一点，PA切半圆于点A， 于点H.若PA=1，PB+PC=a（a2)，求PH的长.5.求证：相离两圆的内公切线夹在外公切线间的线段长等于两圆外公切线的长.6.如图，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，过点C的切线与过A，B两点的切线分别交于点E,F，连接AF与BE交于点P，求证：本节课小结1.切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.2.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.经过圆心且与切线垂直的直线必经过切点.经过切点且与切线垂直的直线必经过圆心.推