数值计算方法(第3章)3new

1、3.4 向量和矩阵的范数为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn(n维向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量，向量和矩阵的范数。向量和矩阵的范数在一维数轴上，实轴上任意一点x到原点的距离用|x|表示。而任意两点x1，x2之间距离用| x1-x2 |表示。向量和矩阵的范数而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到原点的距离用 表示。而平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离用 表示。 推广到n维空间，则称为向量范数。向量范数常见的向量范数记住公式向量范数性质向量范数性质等价性质：向量的收敛性3.4.2 矩阵范数相容范数算子范数算子范

2、数一般了解一般了解算子范数一般了解常见的矩阵范数矩阵的最大特征值记住公式常见的矩阵范数记住公式对称矩阵范数一般了解例题对于一般的方阵，解起来并不容易。课程后期将讨论特征值的数值解法。3.4.3 矩阵的谱半径和矩阵序列收敛性例题谱半径和矩阵序列的收敛性一般了解一般了解矩阵序列的收敛性3.5 病态方程组与矩阵的条件数3.5.1 病态方程组与扰动方程组的误差分析病态方程组与扰动方程组的误差分析病态方程组与扰动方程组的误差分析病态方程组与扰动方程组的误差分析病态方程组与扰动方程组的误差分析病态方程组扰动方程 由于计算机字长限制，在解AX=b时，舍入误差是不可避免的。因此我们只能得出方程的近似解 。 是

3、方程组（A+A）x=b+ b (1) 在没有舍入误差的解。称方程（1）为方程Ax=b的扰动方程。其中A， b为由舍入误差所产生的扰动矩阵和扰动向量。当A， b的微小扰动，解得（1）的解与Ax=b的解x的相对误差不大称为良态方程，否则为病态方程。模糊概念？3.5.2 矩阵的条件数仍是模糊概念？矩阵的条件数的性质相对误差的事后估计定理3.6.3 例题3.6 解线性方程组的迭代法3.6.1 解线性方程组迭代法概述解线性方程组迭代法概述解线性方程组迭代法概述解线性方程组迭代法概述3.6.2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法Jacobi迭代法Jacobi迭代法例题例题Jacobi迭代法

4、的矩阵形式Jacobi迭代法的算法2007.10.23Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法例题Gauss-Seidel迭代法的算法3.6.3 线性方程组迭代法收敛条件迭代法的收敛条件迭代法的收敛条件收敛的判别条件收敛的判别条件收敛的判别条件收敛的判别条件例题例题例题例题3.6.4 松弛迭代SOR法记则可以看作在前一步上加一个修正量。若在修正量前乘以一个因子，有对GaussSeidel迭代格式写成分量形式，有松弛迭代算法1、输入系数矩阵A、向量b和松弛因子omega，和误差控制eps2、x2=1,1,.,1 /赋初值3、while( |A*x2-b|eps) for(i=

5、0;in;i+) temp-0 for(j=0;ji;j+) temp += Aij*x2j for(j=i+1;jn;j+) temp += Aij*x2j temp = -(x2i-bi)/Aii x2i = (1-omega)*x2i+omega*temp 4、输出解x2 迭代矩阵定理：松弛迭代收敛定理：A对称正定，则松弛迭代收敛是否是原来的方程的解？ SOR方法收敛的快慢与松弛因子的选择有密切关系.但是如何选取最佳松弛因子,即选取=*,使()达到最小,是一个尚未很好解决的问题.实际上可采用试算的方法来确定较好的松弛因子. 经验上可取1.41.6. 定理 若SOR方法收敛, 则02. 证

6、 设SOR方法收敛, 则()1,所以 |det()| =|12 n|1 而 det() =det(D-L)-1 (1-)D+U) =det(E-D-1L)-1 det(1-)E+D-1U) =(1-)n 于是 |1-|1, 或 02 定理 设A是对称正定矩阵, 则解方程组Ax=b的 SOR方法,当00 (Uy,y)=(y,Ly)=(Ly,y)=-i 0(Ay,y)=(Dy,y)-(Ly,y)-(Uy,y) =-2 所以 当02时,有 (-+)2-(-)2= (2-)(2-) = (2-)(2-)0 所以|21, 因此()1,即S0R方法收敛. 可得 =2/ 设是B的任一特征值, y是对应的特征向量, 则 (L+U)y=Dy 于是 (Ly,y)+(