必考点有理数运算涉及的18个必考点全梳理

1、专题L2有理数的运算章末重难点题型考点1有理数加减法法则辨析解决此类问题理解有理数加减法法则是关键，有理数的加法：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加：（2）异号两数相加，取绝对值较大 的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3） 一个数与0相加，仍得这个数.有理数的减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+ （-b）例题1 若。、6为有理数，。与b的差为正数，且。与6两数均不为0,那么（）A.被减数。为正数,减数b为负数B.。与b均为正数，且被减数。大于减数bC.。与6两数均为负数，且减数6的绝对值大D.以上答案都可能【分析】利用有理数的减法法则判断即可.【解析

2、】若。、b为有理数，。与b的差为正数，且。与6两数均不为0,那么被减数。为正数，减数b为 负数或。与5均为正数，且被减数。大于减数6或。与b两数均为负数，且减数b的绝对值大， 故选：D.【小结】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键.变式1 若两个有理数的和为负数，那么这两个数（）一定都是负数一个为零，另一个为负数一正负D.至少有一个为负数【分析】利用有理数的加法法则判定即可.【解析】由有理数的加法可得，两个有理数的和为负数，那么这两个数都是负数，负数的绝对值大，所以至少有一个为负数.故选：D.【小结】本题主要考查了有理数的加法，解题的关键是灵活利用有理数的加法法则.变式2 下

3、列说法中正确的个数有（）减去一个数等于加上这个数：零减去一个数，仍得这个数：两个相反数相减得零：有理数减法中， 被减数不一定比减数（或差）大：减去一个负数，差一定大于被减数：减去一个正数，差不一定小于 被减数.A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【分析】根据有理数的减法运算法则对各小题分析判断即可得解.【解析】减去一个数等于加上这个数的相反数，故错误；0减去一个数，得到的是这个数的相反数，故错误；由于两个数的相反数相加得0,故错误：在有理数减法中，被减数有可能比减数和差小，例如-3 - （ - 1） = -2,故正确；由于减去一个数等于加上这个数的相反数，所以减去一个负数等于加上了一个正数

4、，故差一定大于被减 数，故正确：减去一个正数，差一定小于被减数，故错误.综上正确的是正确.故选：，4.【小结】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记运算法则是解题的关犍.变式3 下列说法中，正确的个数为（）两个有理数的和为正数时，这两个数都是正数：两个有理数的和为负数时，这两个数都是负数；两个有理数的和可能等于其中一个加数：两个有理数的和可能等于0.A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】利用有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加：绝对值不相等的异号两 数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值:互为相反数的两个数相加为0： 一个数同零相加，仍得这个

5、数.逐一分析判定即可.【解析】两个有理数的和为正数时，这两个数都是正数是错误的，例如-3+5=2：两个有理数的和为负数时，这两个数都是负数是错误的，例如-3+2= - 1：两个有理数的和可能等于其中一个加数是正确的，一个数同零相加，仍得这个数；两个有理数的和可能等于0是正确的，互为相反数的两个数相加为0.所以正确的有.故选：B.【小结】此题考查有理数的加法法则，注意灵活运用法则计算.考点2有理数加减混合运算熟记有理数加减混合运算先后顺序是解题的关犍.例题2 计算：( - 13) + ( - 7) - (+20) - ( - 40) + (+16)；5211( + Q + (一?) + (+1-

6、) + (一如(+1.9) +3.6 - ( - 10.1) +1.4；1-+2-3-+-4.25. 3243【分析】(1)根据有理数的加减法可以解答本题：(2)根据有理数的加减法可以解答本题：(3)根据有理数的加减法可以解答本题：(4)根据有理数的加减法可以解答本题.【解析】 (-13) + ( - 7) - (+20) - (- 40) + (+16)=(-13) + ( - 7) + ( - 20) +40+16= 16： TOC o 1-5 h z ( + p + (一) + (+1-) + (一 6363211=升(一分 +1-+ (-4)363=1：(+1.9) +3.6 - (

7、- 10.1) +1.4= 1.9+3.6+10.1+1.4= 17： TOC o 1-5 h z 21311- +2- -3- + - -4.251,311、=1一+2-+ ( - 3-) +4+ ( -4-)2434【小结】本题考查有理数的加减混合运算，解答本题的关键是明确有理数加减混合运算的计算方法.变式4 计算：| - 3.2|+|0.5| - 1+2|(2) 0- (+2) - ( - 1) + (+4) - ( -5)57121712(3)( -4-)- (-3-)- (+2-)+ (-6)(4) ( - 3.125) + (+4.75) + ( - 9-) + (+5) + (

8、- 4)9696843【分析】(1)根据绝对值的定义以及有理数的加减法法则计算即可：(3) (4)根据有理数的加减法法则计算即可.【解析】原式= 32+0.5 - 1-2.2=(3.2-2.2) - 1+0.5=1 - 1+0.5=05：(2)原式=0-2+1+4+5=8：(3)原式=_(4,+ 2各+ (31_6&=-7 - 3= - 10；(4)原式=一(3.125 + 93 + (4.75 + 5；) 4|2=-13+10-41= -72/ 3,【小结】本题主要考查了有理数的加减法混合运算，熟记运算法则是解答本题的关键.变式5 计算-32 + |-0-5-11|3-4|+ ( -5-8)

9、 - | - 1 - 5| - (5-20)(3 ) 1-3+5-7+9-11+97-99【分析】(1)根据有理数的加减运算法则计算即可：(2)根据绝对值的定义化简后，再根据有理数的加减运算法则计算即可：(3)把原式写成(1-3) + (5-7) + (9-11) + (97 - 99), 一个有25个-2,据此计算即可.111?9解析)原式=(-3 - 彳)+ (豆-1石)=-4 1 9=-5(2)原式=4-3-13-6+15=-3：(3)原式=(1-3) + (5-7) + (9-11) + + (97 - 99) = ( - 2)义25=- 50.【小结】本题主要考查了有理数的加减混合运

10、算，熟记运算法则是解答本题的关键.变式6 阅读下而的计算过程，体会“拆项法”一 5231计算：-5g + (-9&)+171+(-3)解：原式=(-5) + (-9)+17 + (-3) + (-1)+(-1) + |+(-i) =0+(-1 i) = (-l启发应用用上而的方法完成下列计算：(一3知+ (岐)+ 21 (23【分析】将原式利用“拆项法”得出原式=(-3-1+2-2) + (-卷一/ +5一,再根据有理数的加减运 算法则计算可得.【解析】原式=(-3-1+2-2) + 0确定出对应关系，再代入即可.【解析】/=4,网=3,3=2, b=3,9：b-a0.，b=3 时，。=2,当

11、。=2 时，b=3,。+5=2+3 = 5,当。=-2 时，b=3, a+b= -2+3 = 1.故答案为：1或5.【小结】本题考查了实数的平方，绝对值的性质，能够正确判断出a、b的对应关系是解题的关键.变式7 已知团=4,网=6,若|+M=-(a+b),求的值.【分析】根据同=4,回=6, |6|=- (a+6),可以得到0、6的值，从而可以求得。-6的值.【解析】V|4, b6,求心-4|+|6-6|-5的值.【分析】先根据绝对值的定义化简，再根据有理数的加减法法则计算即可.【解析】-6=5且 44, b6,a - 4|+步-6| - 5=q - 4+6 - 6 - 5=q - b - 3

12、=5-3=2.【小结】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.变式9若。、b、c是有理数，同=3, |5| = 10, |c| = 8,且, %同号，b, c异号，求a-b- ( - c)的值.【分析】根据绝对值的意义，可得到。、b、c取值的可能情况，再根据a, b同号，b, c异号，确定出b, c的值，代入原式计算即可得出结果.【解析】|。| = 3,固=10,同=8，k3, 6=10, c=8,;。，b同号，b, c异号，。=3, 6=10,。=-8或=-3, 6= - 10, c=8,当。=3, 3=10,。=-8时，。-6- (-c) =a - b+c= - 1

13、5：当。=-3, b= - 10, c=8 时，a-6- (-c) =a - b+c= 151综上，a-b- ( - c)的值是15或-15.【小结】此题考查绝对值、有理数减法的意义及计算法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键.考点4有理数加减的应用解决此类问题需要掌握绝对值的性质及有理数加减法的运用，注意分类讨论思想的运用.例题4 某检修小组乘汽车自A地出发，检修南北走向的供电线路.南记为正，北记为负.一天所走路程 (单位：千米)为：+10, -3, +4, -2, -8, +16, -2, +12, +8, -5；问：(1)最后他们是否回到出发点,4?若没有，则在H地的什么方向？距离,4地多

14、远？(2)若每千米耗油0.08升，则今天共耗油多少升？【分析】(1)把一天走的路程相加，再根据有理数加减混合运算的法则计算，若计算结果是正数，则是离 开乂地向南：若是负数，则是离开.4地向北：等于0,则是回到H地：(2)求出这一组数据的绝对值的和，再乘每千米耗油量即可.【解析】(I)(+10) + ( - 3) + (+4) + ( - 2) + ( - 8) + (+16) + ( - 2) + (+12) + (+8) + ( -5)=10 - 3+4 - 2 - 8+16 - 2+12+8 - 5= 10+4+16+12+8 - 3 - 2 - 8 - 2 - 5= 50-20=30.所

15、以没有回到出发点4在,4地南方30千米处：(2) |+10|+| - 3|+|+4|+| - 2|+| - 8|+|+16|+| - 2|+|+12|+|+8|+| - 5|=10+3+4+2+8+16+2+12+8+5=70千米.70X0.08=5.6 升.所以今天共耗油5.6升.【小结】本题主要考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，需要注意第二问中的总 路程是所有路程的绝对值的和.变式10 一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下 （单位：米）：+5, - 3 +10, - 8 -6, +12, - 10.（1）守门员是否回到了

16、原来的位置？（2）守门员离开球门的位置最远是多少？（3）守门员一共走了多少路程？【分析】理解向前记作正数，返回记作负数，根据题目意思列出式子计算即可.【解析】根据题意得5 - 3+10 - 8 - 6+12 - 10=0,故回到了原来的位置；（2）离开球门的位置分别是5米，2米，12米，4米，2米，10米，。米，离开球门的位置最远是12米；（3）总路程=|5|+| - 3|+|+10|+| - 8|+|- 6|+|+12|+|- 10| = 54 米.【小结】本题考查的是有理数的加减混合运算，注意相反意义的量的理解.变式11小李靠勤工俭学的收入支付上大学的费用，下而是小李某周的收支情况表，记收

17、入为正，支出为 负（单位：元）.星期四五六.七收入+65+68+5066+50+75+74支出-60-64-63-58-60-64-65（1）到这个周末，小李有多少节余？（2）按以上的支出水平，估计小李一个月（按30天计算）至少有多少收入才能维持正常开支？【分析】（1）把周一至周日的收入和支出加在一起计算即可：（2）求出平均每天的结余，再乘30,就是一个月的结余.【解析】（1） （+65+68+50+66+50+75+74） + （ - 60 - 64 - 63 - 58 - 60 - 64 - 65） =14 （元）答：到这个周末，小李有14元的节余.1 （|-60|+| - 64|+| -

18、 63|+| - 58+| - 60|+| - 64|+| - 65|） =62 （元）62X30=1860 （元）答：小李一个月（按30天计算）至少要有1860元的收入才能维持正常开支.【小结】本题主要考查正数和负数，有理数的加减混合运算，比较简单，读懂表格数据并列出算式是解题 的关键.变式12张华记录了今年雨季钱塘江一周内水位变化的情况如下表（正号表示比前一天高，负号表示比前 一天低）：星期一 二 三 四 五 六 日水位变化（力+0.25+0.80- 0.40+0.03+0.28- 036-0.04（1）本周星期 水位最高，星期 水位最低.（2）与上周末相比，本周日的水位是上升了还是下降了

19、？（写出计算过程）【分析】（1）设上周日的水位是。，分别求出星期一、二、三、四、五、六、日的水位，比较即可；（2）这周星期日和上周星期日的水位相减即可.【解析】（1）设上周日的水位是星期一：7+0,25；星期二：+0.80+0.25=+1,05；星期三:a+1,05+ （ - 0,40） =4+0.65；星期四:O+0,65+ （+0,03） =。+0.68；星期五:0,即本周日的水位是上升了.【小结】本题考查了有理数的混合运算、正数和负数等知识点的应用，解此题的关键是关键题意列出算式，题型较好，难度适中，用的数学思想是转化思想，即把实际问题转化成数学问题.考点5有理数乘法法法则辨析解决此类问

20、题理解有理数乘法法则是关键，有理数的乘法：（D两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个数为零，积为零；各个数都不为零，积的符号由负数的个数决定.例题5 下列说法正确的是（）A.几个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负B.几个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负C.几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负D.几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个【分析】根据有理数的乘法运算法则解答即可.【解析】几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个.故选：D.【小结】本题考查了有理数的乘法运算法则，几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的

21、个数决定：当 负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正；要注意C选项若相乘的因数有0,则积 与负因数的个数无关.变式13下列说法正确的是（）A. 5个有理数相乘，当负因数为3个时，积为负B.绝对值大于1的两个数相乘，积比这两个数都大C. 3个有理数的积为负数，则这3个有理数都为负数D.任何有理数乘以（-1）都等于这个数的相反数【分析】根据有理数的乘法法则逐一判断即可.【解析】45个有理数相乘，当负因数为3个时，积为负数或0,故本选项不合题意；B.绝对值大于1的两个数相乘，积不一定比这两个数都大，如-3X2=-6, -6-32,故本选项不合 题意；C.3个有理数的积为负数，则这

22、3个有理数都为负数或其中有两个是正数，一个是负数，故本选项不合题意： 。.任何有理数乘以（-1）都等于这个数的相反数.正确，故本选项符合题意.故选：D.【小结】本题主要考查了有理数的乘法法则，熟记法则是解答本题的关键.变式14如果a6V0,且a+b0,那么（）A.。为正数，6为负数b为正数，。为负数0, b异号，且正数的绝对值较大a, b异号，且负数的绝对值较大【分析】根据有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，得出外6为异号，再 根据什60时，原式=1+1=2；当 a0, 60 时，原式=1-1=0：当 a0 时，原式=-1+1 = 0；当 40, 6-z0,则+?+一

23、的值为.abab【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义，以及有理数的乘法法则计算即可.【解析】(1)当。0时，同=，则原式=1：当。0时，团=-4,则原式=-1：20, *0, 且叫与=。， a 闻与b异号，即60,与 b 同号,当 40, 60 时,原式=1+1+1 = 3；当 a0, 60 时，原式=-1-1+1=-L故答案为：(2) - 1： (3) 3或-1【小结】此题考查了有理数的乘法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.考点8有理数的除法（巧用倒数）例题8 观察下列解题过程. TOC o 1-5 h z z 7377计算：（一言）-解：原式=（1口;（4）嵋_（4）+与_（

24、 7）478（ 7）12一 -8； X7 - 8）X 厂（-8）XT13=-1+ 1(-36) (6+! =112,=(1-)X ( - 30) = - 20+3 - 5+12 1065=(-20-5) + (3+12) = - 10故原式=-Jq-再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算:你认为以上解题是否正确，若不正确，请写出正确的解题过程.【分析】解题过程是错误的，因为除法不满足分配律，应该先算括号里面的减法，再算括号外面的除法.【解析】解题过程是错误的，正确的解法是：原式=（-8） 4-24 = -8XT =-3,【小结】考查了有理数的除法，本题容易出现除法运用分配律的错误.变式

25、22请你先认真阅读材料： 计算（一扣弓一 解法（一冷：（:卷+: TOC o 1-5 h z 12112151=J/ -? (+-) - (一+：)=(-):(一一 一)30l 36105J 3062= (-A-) +!=_x3=-30，33010解法2：原式的倒数为：(一一1-)小(熹)3 106530S 271-) 1239【分析】利用解法2求出原式的值即可. TOC o 1-5 h z 【解析】原式的倒数为6-三+：-9 -（一袅 61239D。1527X ( - 36) = - 6+15 - 24+286 12 39= 13.则原式=，【小结】此题考查了有理数的除法，弄清题中的解法是解

26、本题的关键.变式23阅读下题解答：、I 的 /1、，237计算：(一加+ (厂/。分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值.解：(A( + 金+(_*)=(泻+ 3+(-4)= - 16+18-21= - 19.所以原式=一占.根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：(一否+ 日升(|)2x(6).【分析】原式根据阅读材料中的计算方法变形，计算即可即可得到结果.【解析】根据题意得：6-(T)2义(3户(-2) 1154= - - - +- + -X ( - 6) X ( - 42)=- 21+14- 30+112=75,则原式=有.【小结】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是

27、解本题的关键.171、1171、I变式24 +(- H)+(- H)+ 立.364121836412183636【分析】原式第一项先计算括号中运算，再计算除法运算，第二项利用除法法则变形，再利用乘法分配律 计算即可得到结果.【解析】原式=嘉+ (-吉)+彳+看一看一9 乂36=-/9+3-14-1=-3a【小结】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.考点9乘方的意义例题9 把(一 X (-i) X (-1) X (-1) X (-1)写成事的形式(不用计算)为【分析】求个相同因数积的运算，叫做乘方，据此把(一5X (-b X (-b X (-b X(-1)写 乙乙乙乙乙成案的

28、形式即可.【解析】把(一力X (-1) X (-1) X (-1) X (-1)写成新的形式(不用计算)为(一力5. 乙乙I乙乙乙乙故答案为：(一畀5.【小结】此题主要考查了有理数的乘方的运算方法，以及有理数的乘法的运算方法，要熟练掌握.变式25计算(-3) 2018-( - 1 ) 2019的结果为.【分析】原式变形后，逆用积的乘方运算法则计算即可求出值.【解析】原式=(-3)2018*+47-,，(4+b) 2=0, b, 44代入 8a-llb+l=0,得-8b-UHl=0,. 796=7,=白，.,.=一占，.而=_磊乂白=一击.故答案为：一备.【小结】本题考查的是有理数的乘方和绝对值

29、，以及非负数的性质，解题的关键是明确任意一个数的绝对 值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.考点12有理数的混合运算解决此类问题需熟练掌握有理数混合运算的先后顺序，先算乘方，再并乘除，最后算加减，有括号的先算 括号里，值得注意有些题可能会运用运算律进行简便运算.例题12计算：-5 - ( -4) + ( - 3)( -2) (2) 2X ( -5) +23 - 3-1(i-i + ) 4- (-.)(4) - P-2X ( -3) 2 - ( -2) 2+3+ (-1) X I44931236l 335【分析】(1)根据有理数的加减法可以解答本题：(2)根

30、据有理数的乘方、有理数的乘除法和加法可以解答本题；(3)先把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律即可解答本题：(4)根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题.【解析】(1)-5- (-4) + (-3)( -2)=-5+4+ ( -3) + ( - 2) = -6；2X ( -5) +23-3+：=(-10) +8-3X2=(-10) +8-6 =-8： (3)(1肯鼻否+ (一亲)7+ 一）义（-36） 12=（-9） +20+12+ （ -21）171-12-2X （一3尸-（一 2尸 + 3# （一令 X 拼1031 A=-1 - 2X9-4+ （ x - X -） 4 =-1

31、 - 18-4+14 =-1 - 18-4+1 =-22.【小结】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法.变式34计算(-6.5) - (-4) + 81 - (+3 劣)+ 5,、162- 3- X - (-10) 4-(-)- 1_48x 毫一2+ 3_22_(_3)x(-i)-(-2)3【分析】(1)原式利用减法法则变形，结合后相加减即可求出值；(2)原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可求出值；(3)原式利用乘法分配律计算即可求出值；(4)原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值.【解析】1)原式=-6.5-3+4乙一3乙+5= -

32、10+5+=-4： 24244(2)原式=，x,T0 x,=3 - 15= - 12：小1192 , c c 192(3)原式=-1一芯+9 - 8= 一芯；(4)原式=-4 - 4 - 8= - 16.【小结】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关犍.变式35计算题：-34-21x(-4)4-(14-16)-l6-(0.S-jX -2-(-3)3-|-0.52|【分析】(1)原式下计算括号中的运算，再计算除法运算即可求出值：(2)原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值.【解析】1)原式=(-81+|x4) + ( -2)=(-81+9) ： (

33、 - 2) = ( - 72) ： ( - 2) =36； TOC o 1-5 h z 一.121 1(2)原式=7 - (-) X3X ( -2+27) -|一一一| 2 3I 4=-1- (-1) X3X25-i + |= -=【小结】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关犍.变式36计算：6- ( - 14) + ( - 16) +18(2)(一分 X ( - 8) + (-1)34133 7g- 357+17 O.7x6.6x：-3.20+O.7xM3 S-&9_(_3)3 _6 | - 59?一丸+ (-2)【分析】(1)根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以

34、解答本题：(2)根据有理数的乘除法可以解答本题：(3)根据乘法分配律可以解答本题：(4)先把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律可以解答本题：(5)根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题.【解析】 6 - ( - 14) + ( - 16) +18=6+14+ ( - 16) +18=22： TOC o 1-5 h z (-1) X ( -8)(-1)c 3,= -2X8X2 =-6：/ 、34- 357-4-17 35=(357+急 x 台22=-21 一次=-21：353513379(4 ) 0.7X r-：6.6X 亍-3.2+ q +0.7X r-j-X X/OX X139

35、33=0.7X (+ ) -6.6x4-3.2Xy11 1177=0.7x 笠- (66+3.2) Xy3= 1.4-9.8x 锵=1.4-4.2= -2.8：(5) -12O19_(_3)3_6_51(-2)X 9-11 X 112 r6.X 9 _2一 r6.1 -2=-1 - 27) - (6+8x1)=-1+27+ (6+4) = - 1+27+10 = 36.【小结】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法.考点13科学记数法科学记数法的表示形式为aX10n的形式，其中1W|a|V10, n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，

36、n的绝对值与小数点移动的位数相同.例题13随着环境污染整治的逐步推进，某经济开发区的40家化工企业已关停、整改38家，每年排放的 污水减少了 167000吨.将167000用科学记数法表示为（）A. 167X103B. 16.7X104 C. 1.67X105 D. 0.167X106【分析】科学记数法的表示形式为。X 10的形式，其中lW|a|V10, 为整数.确定的值时，要看把原数 变成。时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值10时，是正数: 当原数的绝对值VI时，是负数.【解析】167000=1.67X1（）5,故选：C.【小结】此题考查科学记数法的表示方法

37、.科学记数法的表示形式为aX 10的形式，其中lW|a|10, 为 整数，表示时关键要正确确定。的值以及“的值.变式37从河南省工商联获悉，自新型冠状病毒引发的肺炎疫情出现以来，截止2月13日下午6点，全省 民营企业、商会及企业家个人累计7412家（人），共向武汉等疫情严重地区及我省定点防治新冠肺炎的医 院、政府部门、执勤卡点等捐赠物款约10.1亿元.101亿用科学记数法表示应为（）A. 101X107B. 10.1 X108 C. 1.01 X109 D. 1.01 X1O10【分析】科学记数法的表示形式为。X 10的形式，其中lW|a|V10, 为整数.确定的值是易错点，由于10.1亿=1

38、010000000有10位,所以可以确定=101=9.【解析】10.11010000000=1.01 X109.故选：C.【小结】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定。与值是关键.变式38今年9月世界计算机大会在湖南省长沙市开幕，大会的主题是“计算万物，湘约未来”.从心算、 珠算的古老智慧到银河”“天河”“神威”创造的中国速度，中国计算”为世界瞩目.超级计算机“天河 一号”的性能是4700万亿次，换算成人工做四则运算，相当于60亿人算一年，它1秒就可以完成.数4700 万亿用科学记数法表示为（）2019世界计菖机大会2019 world Computer CongressA. 4.7

39、X107B. 4.7X1011C. 4.7X1014 D. 4.7X1015【分析】科学记数法的表示形式为aXIO的形式，其中lW|a|V10, 为整数.确定的值时，要看把原数 变成。时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值10时，是正数: 当原数的绝对值VI时，是负数.【解析】4700 万亿=4700 0000 0000 0000=4,7X 1015,故选：D.【小结】此题主要考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为。X 10”的形式，其中1W|0|V 10, 为整数，表示时关键要正确确定。的值以及的值.变式39光速约为3X IO米/秒，太阳光射到地球上

40、的时间约为5X102秒，地球与太阳的距离约是（）米.A. 15X1O10B. 1.5X1011C. 15X1016 D. 1.5X1017【分析】先计算地球与太阳的距离，再根据科学记数法的形式选择即可.【解析】3X108X5X102=1.5X10n,故选：B.【小结】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的形式aX 10是解题的关键.考点14近似数近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是o的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效 数字.近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示.一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说 法.例题14下列说法正确的是（）0.750精确到百分位3979X

41、1（）4精确到千分位38万精确到个位2.80X105精确到千位【分析】根据近似数的精确度分别进行判断，即可得出答案.【解析】.4、0.750精确到千分位，故本选项错误：B、3.079X1（）4精确到十位，故本选项错误；C、38万精确到万位，故本选项错误：D、2.80X105精确到千位,故本选项正确:故选：D.【小结】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数：从一个近似数左边第一个不为0 的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字.变式40台风“杜鹃”给某省造成的经济损失达16.9亿元，近似数16.9亿精确到（）A.十分位B.千万位C.亿位D.十亿位【分析】根据近似数的

42、精确度可判断近似数16.9亿精确到0.1亿位.【解析】近似数16.9亿精确到千万位.故选：B.【小结】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示.一般有，精确 到哪一位，保留几个有效数字等说法.变式41近似数3.20X 105的精确度说法正确的是（）A.精确到百分位B.精确到十分位C.精确到千位D.精确到万位【分析】近似数320X105中的3表示三十万，应是万位，3.20的最后一位应是千位，因而这个数精确到千 位数.【解析】近似数3.20X105精确到千位，故选:C.【小结】本题主要考查近似数和有效数字，对于用科学记表示的数，有效数字的计算方法，与精确到哪一 位是需

43、要识记的内容，经常会出错.变式42已知。=3.50是由四舍五入得到的近似数，则的可能取值范围是（）A. 3.45WaV3.55B. 3.495WV3.505C. 3495WaW3505D. 3.4953.505【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断.【解析】a的可能取值范围为34950 4+3-cVO 01,A B C,-3 a -2 5-1 0 c 1A.1个B. 2个C.3个D.4个【分析】先由数轴得出a - 2b -l0cl,再根据有理数的加法法则、有理数的乘除法法则等分别 分析，可得答案.【解析】由数轴可得：0V - 2b -10c0,故正确：9：a0. b0*.a+b - c0,

44、故正确：:a -2b0：60： 同-也|0中正确的有()AB I )a -10 b 1A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】根据数轴可知。V-l，0bi,从而可以判断题目中的结论哪些是正确的，哪些是错误的，从而解答本题.【解析】由数轴可知，。-1, Qbl,：.abQ, a - bVO, a+b0,故错误，正确.故选：，4.【小结】本题考查数轴，解题的关键是根据数轴可以明确。、b的符号和与原点的距离. TOC o 1-5 h z 变式44在数轴上表示有理数“，b, c, d如图所示，则正确的结论是()abc dI11tlI .i.ia4 -3 -2012A. a+bc+dB.ab0D

45、.(a-d) (c-6)0【分析】由数值上的各个点所表示的数，可以得出。、b、c、d的符号和取值范围，进而逐个分析判断各个选项的正确与否.【解析】由数轴上表示有理数a，b, c, d可得，-4VaV-3, -2V6V-1, 0cb ld2,a+b0,因此M选项不正确,ab cd因此选项B不正确，(a+3) VO, (b+1) VO,，(a+3)(计1) 0,因此C选项正确,/VO, (c-b) 0,/ (a - d) (c - b) VO,因此D选项不正确,故选：c.【小结】考查数轴表示数的意义，理解数的符号和绝对值是正确判断的前提，掌握有理数的加减法的法则 是关键.变式45观察图中的数釉，用

46、字母a, b, c依次表示点4B,。对应的数，则b-a, c的大小关系是 ( )-1 2 0 i _-33A. abb - ac B. b - acab C. b - aabc D, abcb - a【分析】根据各点在数轴上的位置判断出。、和c的符号及大小，再对各选项进行逐一判断即可.71【解析】由数轴上、从c的位置可知-la6V0lVc,且。=一15= V，所以 ab=弓，b - a= ( ) - ( |-)所以 abb - a故答案为：一会 【小结】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法.变式46在有理数的原有运算法则中，我们定义一个新运算如下：X0，时，y

47、=S： Qy时，x*y =y.则(-2* - 4) *1 的值为.【分析】根据xWy时，xy=r； xj，时，Mj，=y,可以求得所求式子的值，本题得以解决.【解析】时，x*y=J： 时，xy=y,. ( -2* -4) 1= -4*1= ( -4) 2 = 16,故答案为：16.【小结】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法.变式47定义新运算：若 ab=n (77 是常数)，则(。+1) 6=+1, a (6+1) =n-2.若 11=2,则 12=, 22=, 20202020=.【分析】根据题目中的新定义，可以分别计算出题目中所求式子的值.【解析

48、】若。(是常数)，则(a+l) b=n+l, a 31) =w - 2, 11=2, .12=1 (1+1) =2-2=0,22= (1+1) 2=0+1 = 1,23= - 1, 33=0, 34= - 2, 44= - 1,.20202020= - 2017,故答案为：0, 1, - 2017.【小结】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法.变式48规定：团表示不大于x的最大整数，G)表示不小于x的最小整数，、)表示最接近x的整数G 工+05 为整数)，例如：2.3=2, (23) =3, 2.3) =2.当-IVxWO 时，化简x+ (x) +卜)的结果

49、是.【分析】分三种情况讨论x的范围：-lx-0.5, - 0,5x0,x=0即可得到答案.【解析】-1X1,且胆VO, S=|2a-3b -2也-刈-也+如 求2a-S的值.m+2z(3)若试讨论：X为有理数时卜+训-|x -训是否存在最大值？若存在求出这个最大值：若不存在, 请说明理由.【分析】(1)先根据a、b互为相反数,b、c互为倒数,得出a+b=O, bc=l,再代入所求代数式计算即可;(2)根据。1及，的立方等于它本身确定从加，再化简S,最后求出2a-S的值；(3)根据机W0,确定机，把机的值代入|%+利-卜-小再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，求出代数式 的值即可.2a+2b m+

50、2【解析】(1):a、1互为相反数,b、c互为倒数，.a+b=O,儿=1, *=-11= - 1：2(a+b) i A +ac= ,-1=0m+2 (2) Vt7l, ：.b0, 6+y 0的立方等于它本身，且jmVO,r=-1, b-m=b+ll 时|x- l|=x+l -x+l = 2.当X为有理数时，存在最大值为2：若加=-1同理可得：当x为有理数时，存在最大值为2.综上所述，当加=1, x为有理数时，|升利-卜-训存在最大值为2.【小结】本题考查了绝对值的性质、相反数及倒数的定义、代数式求值，熟练掌握有理数的相关知识是解决本题的关键.考点18 有关数轴的探究题例题18如图，一个点从数轴

51、上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，从图 中可以看出，终点表示的数是-2,已知上，8是数轴上的点.请参照图并思考，完成下列填空：(1)如果点工表示数3,将点,4向右移动7个单位长度，那么终点8表示的数是, .4, 8两点间的距离是.(2)如果点8表示数2,将点8向左移动9个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点，表示的数是, 4 8两点间的距离是.I I I I I I I .-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5(3)如果点工表示的数是-4,将点乂向右移动168个单位长度；再向左移动2个单位长度，那么终点8 表示的数是,4 8两点间的距离是.一般地，如果

52、,4点表示的数为胆，将工点向右移动个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么请 你猜想终点8表示的数是, A, 8两点间的距离是.【分析r根据题中点的移动特点，在数轴上求出相应点表示的数，再由数轴上两点间的距离求法求解即可.【解析】(1)由题意可知，8点表示：3+7=10,18间距离为10-3=7：故答案为10, 7；(2)由题意可知，4点表示：2-9+5=-2, .4、8间距离为2 - (-2) =4；故答案为-2, 4；(3)由题意可知，3点表示：-4+168 - 2=162, A. 8间距离为162 - ( -4) =166：故答案为162, 166：(4)由题意可知，8点表示：-p, .

53、4、8间距离为帆+-r -训=|刀-p：故答案为 wrl-p，|m -p.【小结】本题考查数轴的性质：能够理解题意，根据移动情况求出相应的点表示的数，并能结合绝对值的 性质求数轴上两点之间的距离是解题的关键.变式52结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）探究:数轴上表示4和1的两点之间的距离是：数轴上表示-1和-7的两点之间的距离是；数轴上表示-2和5的两点之间的距离是.（2）归纳：一般的，数轴上表示数和数n的两点之间的距离等于.（3）应用：如果表示数。和3的两点之间的距离是9,则可记为：|a-3|=9,那么。=.若数轴上表示数a的点位于-4与5之间，求|a+4|+|a - 5|的值.II

54、IIIIi-5 -4 -3 -2-1 012 345【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式，可得两点间的距离；（2）根据数轴上两点间的距离公式，可得两点间的距离：（3）解方程可得答案；根据数轴上表示数。的点位于-4与5之间，可化简绝对值，根据有理数的加减法，可得答案.【解析】（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是4- 1 = 3：数轴上表示-1和-7的两点之间的距离是-1- （ -7） =6；数轴上表示-2和5的两点之间的距离是5- （ -2） =7.（2） 一般的,数轴上表示数朋和数的两点之间的距离等于河-川.（3）|a-3|=9,解得a= - 6或12：.数轴上表示数a的点位于-4和5

55、之间，|什4|+| - 5|=+4 - a+5=9.故答案为：3, 6, 7；忸-1： -6或9.【小结】本题考查了数轴，绝对值，利用了两点间的距离公式，注意线段上的点与线段两端点的距离的和 最小.变式53根据给出的数轴及已知条件，解答下而的问题:（1）已知点X, B，。表示的数分别为1，趣，-3.观察数轴，与点的距离为3的点表示的数是,A, 8两点之间的距离为.（2）数轴上，点B与点,4的对称中心表示的数是.（3）若将数轴折叠，使得M点与。点重合，则与8点重合的点表示的数是:若此数轴上N两 点之间的距离为2019 （M在N的左侧），且当X点与C点重合时，河点与N点也恰好重合，则点河表示的 数

56、是，点N表示的数是：（4）若数轴上尸，。两点间的距离为。（尸在。左侧），表示数6的点到尸，。两点的距离相等，将数轴折 登，当尸点与。点重合时，点尸表示的数是，点。表示的数是 （用含。，6的式子表示这 两个数）.； i4 ； -6-5-4-3-2-101 2 3 4 5 6【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离即可求解：（2）根据出这求两点的对称点；2（3）根据X与C重合表示对称点，可得与8点重合的点表示的数：同理根据折叠后点工与点C重合，点 河与点N也重合，即可求解：（4）根据数轴上的点左减，右加，即可求表示数b的点到尸、。两点的距离相等的算式.【解析】（1）观察数轴可知：与点乂的距离为3的点

57、表示的数是1+3=4或1 - 3= - 2,.4、8两点之间的距离为1- （-2.5） =3.5,故答案为：4或-2, 3.5.（2）点3与点,4的对称中心表示的数是：二-三，故答案为：一机（3 ） 将数轴折叠，使得工点与C点重合，对称点表示的数为：-1,与点3重合的点表示的数是:-1与7- （ -2.5） = 0.5：河表示的数是：-1 一驾3 =-1010.5, N表示的数是：-1+驾2=10085：故答案为:0.5, - 1010.5, 1008.5.（4）根据题意，得尸表示的数为：6表。表示的数为：计*故答案为：b小计表【小结】本题考查了数轴、列代数式，解决本题的关键是数轴上两点之间的

58、距离公式.变式54阅读下而材料，回答问题 距离能够产生美.唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无.当代印度著名诗人泰戈尔在世界上最遥远的距离中写道：“世界上最遥远的距离 不是瞬间便无处寻觅而是尚未相遇 便注定无法相聚 距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度.已知点 8在数轴上分别表示有理数，b, A, 8两点之间的距离表示为（1）当$ 3两点中有一点在原点时，不妨设点K在原点，如图1,且3=。8=冏-同=6-4 = |4-4（2）当工，5两点都不在原点时,如图2,点/, 3都在原点的右边，8 =。8-。4 =向-问=6-。=|4

59、-外如图3,点,4, 8都在原点的左边，。=。3-。4 = |切-同=-b - （-）=。-6=口-冰如图4,点上，8在原点的两边，乂3=。=+。3=同+向=4+ （-b） =a-b=a-b.综上,数轴上4 3两点的距离劣=|八外利用上述结论，回答以下三个问题： TOC o 1-5 h z A (O)B0 AB,i.i IiabQab图1图2BA 0BO Al l 口 I IIba 0b 0 a图3图4（1）若数轴上表示x和-2的两点之间的距离是4,则工=：（2）若代数式/1|+卜-2|取最小值时，则x的取值范围是：（3）若未知数、,丁满足（卜-1|+卜-3|）（卜-2|+伊1|）=6,则代数

60、式x+2y的最大值是,最小值是【分析】（1）根据题意得绝对值方程，求解即可：（2）若代数式附1|+k-2|取最小值时，表示在数轴上找一点x,到-1和2的距离之和最小，据此可解：（3）分别得出卜-1|+卜-3|的最小值为2和b-2|+/1|的最小值为3,从而得出x和y的范围，则问题得解.【解析】（1）若数轴上表示x和-2的两点之间的距离是4,则附2|=4解得x= - 6或x=2故答案为：-6或2：（2）若代数式|x+l|+|x-2|取最小值时,表示在数轴上找一点x,到-1和2的距离之和最小，显然这个点x在-1和2之间故答案为：-1WxW2；（3） V （|x- l|+|x-3|） （|y-2|+