2011年自考线性代数(经管类)模拟试卷

1、门卿看麵2011年自考线性代数（经管类）模拟试卷（一）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只.错选、多选或未选均无分0111.3阶行列式a=101中元素a的代数余子式ij21110有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内A21=（）A-2B-1C1D2答案：C(P7)2+1；10=(-1)0(O-l)=l.2.设A为2阶矩阵，若I3a=3,则卩a=（）ABCD2答案：C(P45)叮3AD=32|A|=3,D1A1=1，42AO=4DAD=-3厂ab2阶矩阵A=T的行列式A二-1,则(A*)1=()cd丿A-a、c-b-d/Bd-b、一c

2、a丿Cdb100,CD020001丿100,DD110101丿答案：D(P63)9.若3阶实对称矩阵A=（a）是正定矩阵,则A的正惯性指数为ijAD0BD1CD2DD3答案：D(P171,P173)3110.二次型f(x1,x2,x3,x)=x2+x2+x2+4123x24+2x3x4的秩为()31A1B2C3D4答案：C(P165)由二次型写出对应的矩阵A,且100010A=0010010131r(A)=3,即二次型的秩为3.二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的横线上填上正确答案313112.设矩阵A=132,，4丿P=101,丿丿，则1丿APT=答案：32,(P

3、39)101,丿13.设矩阵A=020，矩阵001丿1答案：2(P70)B=A-E=0014.已知矩阵方程M二B，其中3-1,答案：1c(P40)DD10丿DX=-1,丿0丿B=A-E,则矩阵B的秩r(B)01丿,100,丿0020-010丿=0101丿I。01丿0010,1A=,B21丿1AD=1,DA可逆且A-1=1,丿0丿，故r(B)=2.0丿-1,0丿，则X=.0丿10,，口XA=B,即X=BA-i,-21丿错填、不填均无分a+ba-bab11.已知行列式1111=-4，则11a+ba一bab222222答案：2(P14)16.已知向量组a(1,2,3)t,a(2,2,2)t,a(3,

4、2,q)t线性相关，则数a,123答案1(P88)向量组a,a,a线性相关,即使构造矩阵A=(a,a,a)的秩小于3,123123(123(123r123A=222T0-2-4T012,由r(A)3,则a-1=0,故a=1.32a丿0-4a一9丿00a一17已知向量a=2,1,0,3)T,卩=D1,-2,1,k)T,a与卩的内积为2,则数k=.15.已知3元齐次线性方程组x+x一x0123，2x+3x+ax0有非零解，则123x+2x+3x0123a=答案：2(P112)齐次线性方程组有非零解，即11一1ad=0=23a=2-a,故a=2.1232答案：(P146)3a=(1,1)T,1a=(

5、1,k)T,则数2k=答案：-1(P154)因为A是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交，所以1D18.D2阶实对称矩阵A的特征值为1,2,它们对应的特征向量分别为31TOC o 1-5 h z1+1Dk=0,故k=1.124、f=19.矩阵A=22一1对应的二次型4-13丿答案：x2+2x2+3x2+4xx+8xx-2xx(P163)123121323(-20、20.设矩阵A=,则二次型xtAx的规范形是01丿答案：Z2Z2(P170)由规范型的定义，系数为1,-1和0的标准二次型为规范型，所以12A的规范型为z2z2.123131三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)j

6、dexamxnjdexamxn1x321.已知3阶行列式a.=x20中元素ij5-14式A的值.21x0答案：(P7)解：A12=(-1)1+2544x=8，故x=-2.x3_23A=(1)2+l5.21_14_1410130122.已知矩阵A=110,B=110；(012；j14J(1)求A0逆矩阵A-1；(2)解矩阵方程AX=B.，仏的代数余子式Ai2=8,求元素a2100000jdexamxnjdexamxnjdexamxnjdexamxn答案：(P48P40)解：(1)由于|A|=1D0,所以(21-1A1=2_2_1J111Jr5_2_2J(2)X=A1B=4_3_2J223丿A可逆

7、，且23.a、b为何值时，向量P=(3,10,b,4)可由向量组a=(1,4,0,2),1a=(2,7,1,3),a=(0,1,-1,a)线性表出231203J1203J答案：(P83)解：(aT,aT,aT,pT)=47110JD0-11-2JJD12301-1bJJ00a-10JJ23a4丿000b-2丿22102-1，01-1200a-10000b-2丿当b=2,aD1时，P可由a，a，a线性表出，且表示法惟一，123=-a+2a+0a123当b=2,a=1时，p可由a，a，a线性表出，且表示法不惟一123p=(2k+1)a+(k+2)a+ka123ax+x+x=0123222224设3

8、元齐次线性方程组X1+ax2+x3=0，2222x+x+ax=0123（1）确定当a为何值时，方程组有非零解；（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解a11|A|=1a1=11a(a+2)(a1)2=0,答案：（P112）解：（1）由方程组的系数行列式得a=2或a=1,此时r（A）=2或r（A）=1,均小于3,方程组有非零解-211,10J)(2)当a=-2时，A=1-21D01-1,11-2,000,得到基础解系f=(1,1,1)T,此时全部解为kf（k为任意常数）；111,111,当a=1时,A=111,D000,11000丿2222得到基础解系f=(1,1,0)T,1=(1,0

9、,1)T,22此时全部解为kf+kf（k,k为任意常数）1122123232Qexamxn3232111,25.已知2是三阶方阵A=242的二重特征值，求A的另一个特征值，并求可逆335阵p使得P-iAP为对角阵.答案：(P132P136)解：设A的另一个特征值为A,则2+2+A=tr(A)，即2+2+A=1+4+5,所以A=6.对应于A=A=2的特征向量为121,1,a=1，a=0120,1丿32323232对应于A=6的特征向量为3-21112,所以P=102，P1AP=2013/6丿111,26.已知矩阵A=111，求正交矩阵P和对角矩阵111丿A，使P-iAP=A.答案：(P154)解：由|AEA|=A的特征值A=A1对于=0，A=3.23A=A=0，对应的线性无关的特征向量为12九-1-1-1-1-1九-1-1=A2(A3)=0-1九-1=(1，1，0)T，a=(1，20，1)T，对于A=3，对应的特征向量为a=(1，31，1)T，a正交化2，得Pi=a，1,T，再将P，P单位化，有12Y1=1，12，02丿,T，Y1，61，a单