三角函数专题总复习 知识点总结与经典例题讲解-高三数学

1、三角函数专题复习讲义任意角的概念弧长与扇形面积公式角度制与弧度制同角三函数的基本关系任意角的三角函数诱导公式三角函数的图象和性质计算与化简证明恒等式已知三角函数值求角和角公式倍角公式差角公式应用应用应用应用应用应用应用1、弧度制：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度； 三角函数线：如右图，有向线段AT与MP、 OM 分别叫做的 正切线、正弦线、余弦线。 角度制与弧度制的互化： 1rad57.30=5718 10.01745（rad）36918273602、特殊角的三角函数值：sin= 0cos= 1tan= 0sin3=cos3=tan3=sin=cos=tan=1sin6=cos6=ta

2、n6=sin9=1cos9=0tan9无意义3、弧长及扇形面积公式弧长公式： 扇形面积公式:S=-是圆心角且为弧度制。 r-是扇形半径4、任意角的三角函数设是一个任意角，它的终边上一点p（x,y）, r=(1)正弦sin= 余弦cos= 正切tan=(2)各象限的符号： + -xy+O +xyO + +yOsin cos tan5.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：sin2+ cos2=1。（2）商数关系：=tan（）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。，7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 y=sinx y=cosx y=tanx 定义域: R R 值域: -1,1 -1,1 R

3、周期: 2 2 奇偶性: 奇函数 偶函数 奇函数 单调区间:增区间; ; 减区间; 无减区间对称轴: 无对称轴对称中心: （以上k均为整数）考点一: 求三角函数的定义域、值域和最值、三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性）这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多，主要是考查三角的恒等变换及三角函数的基础知识。例1、已知函数f(x)=求它的定义域和值域；求它的单调区间；判断它的奇偶性；判断它的周期性。解：（1）x必须满足sinx-cosx0，利用单位圆中的三角函数线及，kZ 函数定义域为，kZ 当x时， 函数值域为 （3） f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 f(x)不具备奇偶性

4、 （4） f(x+2)=f(x) 函数f(x)最小正周期为2注；利用单位圆中的三角函数线可区分sinx-cosx的符号。例2、化简并求函数的值域和最小正周期.解： 所以函数f(x)的值域为，最小正周期8、三角函数公式：倍角公式sin2=2sincoscos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2两角和与差的三角函数关系sin()=sincoscossincos()=coscossinsin降幂公式： 升幂公式 ： 1+cos= cos21-cos= sin2合一变形公式asinbcossin（）cos（）14、三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有：常数代换法：如：配角方

5、法： （其中）的应用，注意的符号与象限。常见三角不等式：（1）、若 （2）、若（3）、例3、（1）已知cos(2+)+5cos=0，求tan(+)tan的值； （2）已知，求的值。解：从变换角的差异着手。 2+=(+)+，=(+)- 8cos(+)+5cos(+)-=0展开得： 13cos(+)cos-3sin(+)sin=0同除以cos(+)cos得：tan(+)tan=以三角函数结构特点出发 tan=2 例4 求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2的最大值解：2sinxcosx=sin2x,sin2x+cos2x=1,cos2x=y=sin2x+2sinxcosx+3cos2

6、x=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+2 =sin2x+cos2x+2=(sin2xcos+cos2xsin)+2= sin(2x+)+2当2x+=+2k时,ymax=2+ 即x=+K(KZ)，y的最大值为2+注；齐次式是三角函数式中的基本式，其处理方法是化切或降幂。正弦定理：. 变形公式有：（1）；（2）；（3）等余弦定理：;.三角形面积定理：.10、利用正弦定理、余弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下四类解斜三角形问题：（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角从而进一步求其它的边和角， （3）已知

7、三边求三内角；（4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角。11、解斜三角形的应用题的解题步骤：（1）分析属于哪种类型的问题（如：测量距离、高度、角度等）；（2）依题意画出示意图，并把已知量标在示意图中；（3）最后确定用哪个定理转化、哪个定理求解，并进行求解；（4）检验并作答.12、函数的图像和性质：作图时常用两种方法：00A0-A0五点法：图象变换法：13、结合函数的简图可知： 该函数的最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是； 例4、设函数f(x)=2在处取最小值.求的值;在ABC中,分别是角A,B,C的对边,已知,求角C.解: （1） 因为函数f(x)在处取最小值，所以,

8、由诱导公式知,因为,所以.所以 （2）因为,所以,因为角A为ABC的内角,所以.又因为所以由正弦定理,得,因为,所以或.所以当时,;当时,.考点三: 关于三角函数的图象, 立足于正弦余弦的图象，重点是函数 的图象与y=sinx的图象关系。根据图象求函数的表达式，以及三角函数图象的对称性例7（05年福建）函数的部分图象如图，则（ C ）ABCD例8、（05年全国卷17）设函数图像的一条对称轴是直线。（）求；（）求函数的单调增区间；（）画出函数在区间上的图像。（本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分.）解：（）的图像的对称轴， （）由（）知由题意得 所以函数（）

9、由x0y1010故函数 (略)考点四，三角函数与其它知识交汇设计试题，是突出能力、试题出新的标志，近年来多出现于三角函数与向量等知识交汇。例9（05年江西）已知向量.求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在0，上的单调区间.解： =.所以，最小正周期为上单调增加，上单调减少.例10、（05年山东卷）已知向量，求的值.解： 由已知，得 又 所以 热点预测 1、下列函数中，既是（0，）上的增函数，又是以为周期的偶函数是A、y=lgx2 B、y=|sinx| C、y=cosx D、y=2、如果函数y=sin2x+acos2x图象关于直线x=-对称，则a值为- B、-1 C、1 D、 3、

10、函数y=Asin(x+)（A0，0），在一个周期内，当x=时，ymax=2；当x=时，ymin=-2，则此函数解析式为A、 B、C、 D、4、已知tan，tan是方程两根，且，则+等于A、 B、或 C、或 D、5、函数f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700)的最大值是A、5.5 B、6.5 C、7 D、86.方程sinx=lgx的实根个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)以上都错(考查三角函数与对数函数的图像)7.在ABC中，(1)已知tanA= sinB=，则C有且只有一解，(2)已知tanA=,sinB=,则C有且只有一解，其中正确的是( )(A)只有(1) (B

11、)只有(2)(C)(1)与(2)都正确 (D)(1)与(2)均不正确(考查综合有关公式，灵活处理三角形中的计算)8、（20XX年辽宁卷）的三内角所对边的长分别为设向量,若,则角的大小为 (A) (B) (C) (D) 9、（20XX年辽宁卷）设,点是线段上的一个动点,若,则实数的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 10、( 20XX年湖南卷）已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( )A.0, B. C. D.11、函数f(x)=sin(x+)+cos(x-)的图象关于y轴对称，则=_。12、数y=2sinxcosx-(cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积为_。13

12、、知(x-1)2+(y-1)2=1，则x+y的最大值为_。解答题 14、是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+在闭区间0，上的最大值是1？若存在，求出对应的a值。15、已知f(x)=5sinxcosx-cos2x+（xR）求f(x)的最小正周期；求f(x)单调区间；求f(x)图象的对称轴，对称中心。16、函数y=cosx-1(0 x2)的图像与x轴所围成图形的面积是_。(考查三角函数图形的对称变换)17、设三角函数f(x)=sin(+)，其中k0(1)写出f(x)的极大值M，极小值m，最小正周期T。(2)试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函

13、数f(x)至少有一个值是M与一个值m，(考查三角函数的最值、周期，以及分析问题、解决问题的能力)18、是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+在闭区间0，上的最大值是1？若存在，求出对应的a值。19. （本小题满分13分）已知A、B、C是三内角，向量且，（1）求角A； 若20、已知，将的图象按向量平移后，图象关于直线对称。（1）、求实数的值，并求取得最大值时的x的集合。（2）、求的单调递增区间。答案与提示 1、B 2、B 3、B 4、A 5、C 6.C 7 B 8、B9 【解析】解得: ,因点是线段上的一个动点,所以,即满足条件的实数的取值范围是,故选择答案B.10、 B 11、 ，kZ 12、-4 13、