北师大版高中数学必修2 专题强化练 13 空间角的有关计算

1、北师大版高中数学必修2 专题强化练 13 空间角的有关计算如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1 的各条棱长都相等，且 CC1底面ABC，M 是侧棱 CC1 的中点，则异面直线 AB1 和 BM 所成的角为 A 90 B 45 C 30 D 60 在空间四边形 ABCD 中，AB=CD，且异面直线 AB 与 CD 所成的角为 30，E，F 分别是边 BC 和 AD 的中点，则异面直线 EF 和 AB 所成的角等于 A 15 B 30 C 75 D 15 或 75 在四棱锥 ABCDE 中，底面四边形 BCDE 为梯形，BCDE设 CD，BE，AE，AD 的中点分别为 M，N，P，Q(1) 求证：

2、M，N，P，Q 四点共面；(2) 若 ACDE，且 AC=3BC，求异面直线 DE 与 PN 所成的角的大小如图，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，BAC=90，AB=AC=AA1(1) 求证：AB1平面A1BC1；(2) 若 D 为 B1C1 的中点，求 AD 与平面 A1B1C1 所成的角的正弦值如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的所有棱长都相等，ACBD=O，A1C1B1D1=O1，四边形 ACC1A1 和四边形 BDD1B1 均为矩形(1) 证明：O1O底面ABCD；(2) 若 CBA=60，求二面角 C1OB1D 的余弦值答案1. 【答案】A【解析】设棱长为 a，将三棱柱 A

3、BCA1B1C1 补成正三棱柱 A1B1C1A2B2C2（如图），使 AA1=AA2平移 AB1 至 A2B，连接 A2M，MBA2（或其补角）即为 AB1 与 BM 所成的角，在 A2BM 中， A2B=2a，BM=a2+a22=52a，A2M=a2+3a22=132a，所以 A2B2+BM2=A2M2，所以 MBA2=90【知识点】异面直线所成的角2. 【答案】D【解析】如图，设 G 是 AC 的中点，分别连接 EG，GF因为 E，F 分别是 BC，AD 的中点，所以 EGAB，FGCD，所以 EGF（或其补角）是 AB 和 CD 所成的角因为 AB=CD，所以 EG=GF当 EGF=30

4、 时， AB 和 EF 所成的角为 GEF=75；当 EGF=150 时， AB 和 EF 所成的角为 GEF=15【知识点】异面直线所成的角3. 【答案】(1) 因为 CD，BE，AE，AD 的中点分别为 M，N，P，Q，所以 PQ 为 ADE 的中位线，MN 为梯形 BCDE 的中位线所以 PQDE，MNDE，所以 PQMN，所以 M，N，P，Q 四点共面(2) 易知 PN 为 ABE 的中位线，所以 PNAB，又 BCDE，所以 ABC（或其补角）为异面直线 DE 与 PN 所成的角又 ACDE，所以 ACBC，在 RtACB 中，tanABC=ACBC=3BCBC=3，所以 ABC=6

5、0，所以异面直线 DE 与 PN 所成的角的大小为 60【知识点】异面直线所成的角、平面的概念与基本性质4. 【答案】(1) 由题意知四边形 AA1B1B 是正方形，所以 AB1BA1由 AA1平面A1B1C1，得 AA1A1C1，又易知 A1C1A1B1，AA1A1B1=A1，所以 A1C1平面AA1B1B，又因为 AB1平面AA1B1B，所以 A1C1AB1又因为 BA1A1C1=A1，所以 AB1平面A1BC1(2) 如图，连接 A1D设 AB=AC=AA1=1，因为 AA1平面A1B1C1，所以 A1DA 是 AD 与平面 A1B1C1 所成的角在等腰直角三角形 A1B1C1 中，D

6、为斜边 B1C1 的中点，所以 A1D=12B1C1=22在 RtA1DA 中，AD=A1D2+A1A2=62所以 sinA1DA=A1AAD=63故 AD 与平面 A1B1C1 所成的角的正弦值为 63【知识点】线面角、直线与平面垂直关系的判定5. 【答案】(1) 因为四边形 ACC1A1 为矩形，所以 CC1AC，同理 DD1BD因为 CC1DD1，所以 CC1BD，又 ACBD=O，所以 CC1底面ABCD由题意知，O1OC1C，故 O1O底面ABCD(2) 如图，过 O1 作 O1HOB1 于点 H，连接 HC1由（1）知，O1O底面ABCD，所以 O1O底面A1B1C1D1，于是 O1OA1C1又因为四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的所有棱长都相等，所以四边形 A1B1C1D1 是菱形，因此 A1C1B1D1，从而 A1C1平面BDD1B1，所以 A1C1OB1，于是 OB1平面O1HC1，所以 OB1C1H故 C1HO1 是二面角 C1OB1D 的平面角不妨设 AB=2，因为 CBA=60，所以 OB=3，OC=1，OB1=7在 RtOO1B1 中，易知 O1H=OO1O1B1OB1=2217，又 O1C1=1，