北师大版高中数学必修2 专题 3 正弦定理、余弦定理的应用

1、北师大版高中数学必修2 专题 3 正弦定理、余弦定理的应用在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c若 c2+2ab=a2+b2+6，C=23，则 ABC 的面积是 A 3 B 332 C 32 D 33 在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 A=60，b=1，SABC=3，则 a+2b+csinA+2sinB+sinC= A 2393 B 2633 C 833 D 23 在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，S 表示 ABC 的面积若 ccosB+bcosC=asinA，S=34b2+a2c2，则 B= A 90 B 6

2、0 C 45 D 30 在 ABC 中，cos2B2=a+c2c（a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边），则 ABC 的形状为 A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则下列结论正确的有 A若 AB，则 sinAsinB B若 sin2A=sin2B，则 ABC 一定为等腰三角形C若 acosBbcosA=c，则 ABC 一定为直角三角形D若 B=3，AB=2，且该三角形有两解，则边 AC 的范围是 3,+ 在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c若 ac=8，a+c=7，B=3，则

3、b= 在 ABC 中，已知 a=8，b=5，面积为 12，则 cos2C= 在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c若 c2=ab2+4，C=3，则 ABC 的面积是 A 3 B 3 C 33 D 332 已知 ABC 是等腰直角三角形，点 D 在线段 BC 的延长线上若 BC=AD=22，则 CD= A 1 B 2 C 63 D 62 如图，为了测量某湿地 A，B 两点间的距离，观察者找到在同一条直线上的三点 C，D，E从 D 点测得 ADC=67.5，从 C 点测得 ACD=45，BCE=75，从 E 点测得 BEC=60若测得 DC=23，CE=2（单位：百米），则

4、A，B 两点间的距离为 A 6 B 22 C 3 D 23 已知 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，点 M 在边 AB 上，且 AM=13AB，b=2，CM=273，2sinAsinBsin2B=cb，则 SABC= A 334 B 3 C 23 D 833 如图，在 ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC，sinBAC=223，AB=32，AD=3，则 BD= 在 ABC 中，D 是 BC 边上一点，BAD=DAC=60，BC=7，且 ABD 与 ADC 面积之比为 53，则 AD= 已知 ABC 同时满足下列四个条件中的三个： A=3； cosB=23； a

5、=7； b=3(1) 请指出这三个条件，并说明理由；(2) 求 ABC 的面积在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ccosB+bcosC=3acosB(1) 求 cosB 的值；(2) 若 c=2，ABC 的面积为 22，求 b 的值一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75 距塔 68 海里的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为 A1762 海里/小时B346 海里/小时C1722 海里/小时D342 海里/小时如图所示，为了测量 A，B 处岛屿的距离，小明在 D 处观测，A，B 分别在 D 处的

6、北偏西 15，北偏东 45 方向，再往正东方向行驶 40 海里至 C 处，观测 B 在 C 处的正北方向，A 在 C 处的北偏西 60 方向，则 A，B 两处岛屿间的距离为 A 206 海里B 406 海里C 201+3 海里D 40 海里中华人民共和国国歌有 84 个字，37 小节，奏唱需要 46 秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度 15 的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60 和 30，第一排和最后一排的距离为 102 米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为 A 3323（米

7、/秒）B 5323（米/秒）C 7323（米/秒）D 8323（米/秒）如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径一种是从 A 沿直线步行到 C另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B然后从 B 沿直线步行到 C现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50m/min在甲出发 2min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1min 后，再从 B 匀速步行到 C假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/min，山路 AC 长为 1260m，经测量，cosA=1213，cosC=35当乙出发 min 时，乙在缆车上与甲的距离最短已知 ABC 的内角 A，B

8、，C 满足 cos2A+cos2B=1+cos2C，且 2sinAsinB=sinC，则下列结论正确的是 A A=B，C2 B AB，C=2 C AB，C2 D A=B，C=2 在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 b2+c2a2=bc，a=3，则 b+c 的取值范围是 A 1,3 B 3,23 C 3,33 D 3,333 在 ABC 中，B=60，AC=3，则 AB+2BC 的最大值为 如图，在 ABC 中，AC=BC，C=2，点 O 是 ABC 外一点，OA=2，OB=1，则平面四边形 OACB 面积的最大值是 在平面四边形 ABCD 中，已知 AB=26

9、，AD=3，ADB=2ABD，BCD=3(1) 求 BD；(2) 求 BCD 周长的最大值在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 c=1，A=23，且 ABC 的面积为 32 .(1) 求 a 的值；(2) 若 D 为 BC 上一点，且 ，求 sinADB 的值从 AD=1， CAD=6 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答答案1. 【答案】C【解析】由 c2+2ab=a2+b2+6，可得 c2=a2+b22ab+6由 C=23 及余弦定理可知 c2=a2+b22abcosC=a2+b2+ab，所以 a2+b22ab+6=a2+b2+ab，所以 ab=2多以

10、 SABC=12absinC=32【知识点】余弦定理2. 【答案】A【解析】由题知 SABC=12bcsinA=34c=3，所以 c=4，由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA=1+164=13，所以 a=13由正弦定理 asinA=bsinB=csinC，得 a+2b+csinA+2sinB+sinC=asinA=1332=2393故选A【知识点】余弦定理、正弦定理3. 【答案】D【解析】由 ccosB+bcosC=asinA 及正弦定理得 sinCcosB+sinBcosC=sin2A，则 sinC+B=sin2A，即 sinA=sin2A又 sinA0，所以 sinA=1又因为 0

11、A180，所以 A=90由余弦定理、三角形面积公式及 S=34b2+a2c2，得 12absinC=34b2+a2c2，即 12absinC=342abcosC，整理得 tanC=3又 0C90，所以 C=60，故 B=30【知识点】余弦定理、正弦定理4. 【答案】B【解析】因为 cos2B2=1+cosB2，cos2B2=a+c2c，所以 1+cosBc=a+c，所以 a=cosBc=a2+c2b22a，所以 2a2=a2+c2b2，所以 a2+b2=c2，所以 ABC 为直角三角形【知识点】判断三角形的形状5. 【答案】A；C【解析】由正弦定理及大边对大角可知A正确；由 sin2A=sin

12、2B 可得 A=B 或 A+B=2，则 ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B错误；由正弦定理可得 sinAcosBsinBcosA=sinC，又 sinC=sinA+B=sinAcosB+sinBcosA，则 cosAsinB=0因为 0B，所以 sinB0，所以 cosA=0，因为 0A，所以 A=2，故C正确；D结合 ABsinB=3 及画圆弧法可知，只有 3AC2 时满足条件，故D错误【知识点】正弦定理6. 【答案】 5 【解析】由题知 ac=8，a+c=7，B=3，由余弦定理 b2=a2+c22accosB，得 b2=a2+c2ac=a+c23ac=7238=25，则 b=5【知识点

13、】余弦定理7. 【答案】 725 【解析】由题知在 ABC 中，a=8，b=5，面积为 12，则 12absinC=20sinC=12，解得 sinC=35，所以 cos2C=12sin2C=12925=725【知识点】正弦定理8. 【答案】B【解析】由 c2=ab2+4 可得 c2=a2+b22ab+4，又由余弦定理得 c2=a2+b22abcos3=a2+b2ab，所以 2ab+4=ab，解得 ab=4则 SABC=12absinC=12432=3【知识点】余弦定理9. 【答案】D【解析】由 ABC 是等腰直角三角形及 BC=AD=22 可知 ABC 是以 BAC 为直角的等腰直角三角形，

14、如图所以 AC=2又因为 ACD=135，所以 cos135=CD2+484CD=22，化简得 CD2+22CD4=0，解得 CD=62 或 CD=62（舍去）【知识点】余弦定理10. 【答案】C【解析】在 ADC 中，ACD=45，ADC=67.5，则 DAC=1804567.5=67.5，所以 AC=DC=23在 BCE 中，BCE=75，BEC=60，则 EBC=1807560=45，由正弦定理 CEsinEBC=BCsinBEC，得 BC=CEsinBECsinEBC=23222=3则在 ABC 中，AC=23，BC=3，ACB=180ACDBCE=60，由余弦定理得 AB2=AC2+

15、BC22ACBCcosACB=9，则 AB=3【知识点】解三角形的实际应用问题11. 【答案】B【解析】由题知在 ABC 中，2sinAsinBsin2B=cb，所以 2sinAsinBsin2B=sinCsinB，所以 2sinCcosB=2sinAsinB，所以 2sinCcosB=2sinBcosC+cosBsinCsinB，解得 cosC=12又 0C0由余弦定理 AB2+AC22ABACcos120=BC2，得 25k2+9k2+15k2=49，解得 k=1所以 AB=5，AC=3，故 cosB=AB2+BC2AC22ABBC=1314因为 BDDC=53，且 BD+DC=7，故 B

16、D=358，DC=218又 AD2=AB2+BD22ABBDcosB=25+122564253581314=22564, 所以 AD=158【知识点】余弦定理14. 【答案】(1) ABC 同时满足，理由如下：若 ABC 同时满足，因为 cosB=2323，所以 A+B，矛盾，所以 ABC 只能同时满足，所以 ab，所以 AB，故 ABC 不满足，故 ABC 满足，(2) 因为 a2=b2+c22bccosA，所以 72=32+c223c12，解得 c=8 或 c=5（舍），所以 ABC 的面积 S=12bcsinA=63【知识点】余弦定理、正弦定理15. 【答案】(1) 在 ABC 中，由正

17、弦定理及 ccosB+bcosC=3acosB，得 sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB，所以 sinC+B=3sinAcosB，又因为 sinC+B=sinA，所以 sinA=3sinAcosB，因为 A0,，所以 sinA0，所以 cosB=13(2) 因为角 B 是 ABC 的内角，所以 sinB0，sinB=1cos2B=223，又 SABC=12acsinB，所以 12a2223=22，解得 a=3，在 ABC 中，由余弦定理得 2accosB=a2+c2b2，所以 23213=32+22b2，解得 b=3【知识点】余弦定理、正弦定理16. 【答案】A【解析】如图所

18、示，在 PMN 中，PMsin45=MNsin120，所以 MN=6832=346，所以 v=MN4=1726（海里/小时）【知识点】解三角形的实际应用问题17. 【答案】A【解析】在 ACD 中，ADC=15+90=105，ACD=9060=30，所以 CAD=45由正弦定理可得 CDsinCAD=ADsinACD，解得 AD=CDsinACDsinCAD=401222=202在 RtDCB 中，BDC=45，所以 BD=2CD=402在 ABD 中，由余弦定理可得 AB2=AD2+BD22ADBDcosADB=800+3200220240212=2400, 解得 AB=206（海里）所以

19、A，B 两处岛屿间的距离为 206 海里【知识点】解三角形的实际应用问题18. 【答案】B【解析】如图，由题得 HAB=45，HBA=105，所以 AHB=30在 HAB 中，由正弦定理得 HBsinHAB=ABsinAHB，即 HBsin45=102sin30，解得 HB=20，则在 BHD 中，OH=HBsinHBO=20sin60=103，所以升旗的速度应为 10346=5323（米/秒）【知识点】解三角形的实际应用问题19. 【答案】 3537 【解析】在 ABC 中，因为 cosA=1213，cosC=35，所以 sinA=513，sinC=45，从而 sinB=sinA+C=sin

20、A+C=sinAcosC+cosAsinC=51335+121345=6365. 由正弦定理得 ABsinC=ACsinB，得 AB=ACsinCsinB=1260456365=1040，所以乙在 AB 段的时间 0t1040130，即 0t8假设乙出发 1 分钟时，甲，乙两游客的距离为 d，此时，甲行走了 100+50t，乙距离 A 处的距离为 130t，由余弦定理得 d2=100+50t2+130t22130t100+50t1213=20037t270t+50=20037t35372+62537. 因为 0t8，所以当 t=3537 时，乙在缆车上与甲的距离最短【知识点】解三角形的实际应用

21、问题20. 【答案】D【解析】因为 cos2A+cos2B=1+cos2C，所以 12sin2A+12sin2B=1+12sin2C，可得 sin2A+sin2B=sin2C，所以由正弦定理得 a2+b2=c2，所以 C=2又因为 sinC=2sinAsinB，A+B=2，所以 2sinAsinB=2sinBcosB=2sinAcosA=1，可得 sin2A=sin2B=1，由于 A，B 为锐角，可得 A=B=4【知识点】正弦定理21. 【答案】B【解析】因为 b2+c2a2=bc，所以 cosA=b2+c2a22bc=bc2bc=12，由 A0,，可得 A=3因为由正弦定理得 bsinB=c

22、sinC=3sin3=2，所以 b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin23B=2sinB+232cosB+12sinB=3sinB+3cosB=23sinB+6. 因为 B+C=23，所以 B0,23，可得 B+66,56，所以 sinB+612,1，所以 b+c=23sinB+63,23【知识点】Asin(x+)形式函数的性质、正弦定理、余弦定理22. 【答案】 27 【解析】在 ABC 中，由 ABsinC=ACsinB=BCsinA，得 AB=ACsinBsinC=332sinC=2sinC，同理 BC=2sinA 所以 AB+2BC=2sinC+4sinA=2sinC+4

23、sin120C=4sinC+23cosC=27sinC+tan=32,且是第一象限角, 又因为 0C120，所以 AB+2BC 的最大值为 27【知识点】Asin(x+)形式函数的性质、正弦定理23. 【答案】 2+54 【解析】由题意可知 ABC 为等腰直角三角形，设 AC=BC=m，则 AB=2m设 AOB=，则 AOB 中，由 OA=2，OB=1 及余弦定理可知 12+222m2=4cos，所以 m2=54cos2，所以 SOAB=1221sin=sin，SABC=m22=54cos记平面四边形 OACB 的面积为 S，则 S=54cos+sin=54+2sin4因为 0，所以 4434，所以当 4=2，即 =34 时，平面四边