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文档简介

1、常微分方程方法与应用基本知识数学与统计学院 张齐鹏电话箱：微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.第一节 微分方程的基本概念一、问题的提出一、问题的提出解一、问题的提出微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的定义分类1: 常微分方程, 偏微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程.例如:(2x+y)dx + xdy = 0;都是常微分方程.本章只讨论常微分方程. 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.偏微分方程一阶微

2、分方程高阶(n)微分方程分类2:例1 中的方程 是一阶微分方程；例2 中的方程 是二阶微分方程.微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. 三、主要问题-求方程的解例如: 对于微分方程考虑函数 y = sinx因为 (sinx) + sinx = sinx + sinx = 0所以 y = sinx 是方程 的解.(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.微分方程的解的分类：(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.求微分方程满足初始条件的特解的问题称为初值问题.如例1 是一个初值问题.例2 也是一个初值问题.微分方程解的图形称为微分方程的

3、积分曲线. 通解的图形是积分曲线族,特解的图形是积分曲线族中的一条积分曲线.例: 已知一条曲线通过(1, 2). 且在该曲线上任意点M(x,y)处的切线斜率为2x, 求这条曲线.x0 xy(1, 2)解: 设所求的曲线为 y =y (x), 则y=x2 + C,y = 2x其中C是任意常数.又曲线过定点(1, 2). 即,2=1+C , 得 C = 1故所求曲线方程为y=x2 +1注: 微分方程解的图形称为微分方程的积分曲线.补充:微分方程的初等解法: 初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)微分方程在实际工作中有着广泛的应用.我们研究微分方程的主要问题是：1.根据实际问题的要求和条件，建立反映变量间内在联系的微分方程，并列出初始条件；2.求出微分方程通解及满足初始条件的特解；3.研究解的性质或物理意义.在这里我们主要讨论上述第二个问题.从微分方程作为解决实际问题的重要工具这一要求来说，微分方程；微分方程的阶；微分方程的解；通解;初始条件；特解；初值

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