微积分上第四章02

1、一、函数的单调性判别法 证 仅证（i），定理1 设函数f (x)在闭区间a, b上连续， （i）如果在(a, b)内f (x) 0，（ii）如果在(a, b)内f (x) 0，则f (x)在a, b上单调则f (x)在a, b上单调（ii）的证明类似。4.3 函数的性态4.3.1函数的单调性增加；减少.由拉格朗日定理, 得即f (x1) 0，因此f (x)在a, b上单调增加。于是f (x2) f (x1)0，不妨设x1 f (x0)），(或极小值）,如果恒有f (x) f (x0)， 定义 1.函数的极值则称f (x0)为f (x)的极大值函数的极值是一个局部概念，因此，一个定义在a，b上函

2、数的在a，b上可以有许多极值，且极大值有可能小于极小值。但驻点和导数不存在的点不一定是极值点。但f (x)在点x = 0不取得极值。Oxy通常称为函数f (x)的驻点因此，极值点只可能是驻点或导数不存在的点。 例如，对函数y = x 3, y = 3x 2,x = 0是驻点使导数f (x)等于零的点x0从图中可以看出，极值点一定是单增区间和单减区间的分界点，不存在的点。可以证明：若函数f(x)在x 0 处可导，且在x 0 处取得极值，则这个函数在x 0 处的导数为零。即因此极值点只能是 和不存在的点。 (iii) 若在x0的两侧，f (x)不变号， 定理4.3.2（极值第一充分条件）设f (x

3、)在x0的某邻域内连续，在该邻域（x0可除外）x0为f (x)的驻点或使f (x) (i) 若当x 0；则 f (x0) 是f (x)的极大值； (ii) 若当x x0 时，f (x) x0 时，f (x) 0，当x x0 时，f (x) 0时，f (x0)是f (x)的极小值。补例2 的极值. 定理4.3.3（极值第二充分条件）设函数f (x)在点x0处具有二阶导数， （1）当f (x0) 0，则函数y=f (x)在a, b上是凹函数， 此时称区间a, b为曲线的凹区间； 此时称区间a, b为曲线的凸区间。例1 讨论曲线的凹凸性。解当x 0时，y 0时，y 0, 所以曲线在0, +)上是凹弧

4、。（ii）如果在(a, b)内f (x) 0，例4.3.13整理即可得要证的不等式。例4.3.14 讨论曲线的凹凸性。解x0+0-0+y凹凸凹于是，曲线的凹区间为 (, 0，凸区间为0, + ) 。 定义4.3.2注意：拐点是曲线上的点当x 0, 所以曲线在(, 0上是凹弧；当x 0时，y 0, 所以曲线在0, + )上是凸弧。解例2 求曲线的凹凸区间。连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。符号相同，则点(x0 , f (x0)不是拐点。 例1中，点（0，0）是曲线y = x3上凹弧与凸弧的分界点，因此是曲线的拐点，在该点处，y=0；例2中，（0，0）点是曲线的拐点，在该点处y不存在。

5、因此，曲线y = f (x)的拐点的横坐标只能是使f (x) = 0的点或f (x)不存在的点。求连续曲线的拐点的方法如下：（i）求出所有使函数f (x) 的二阶导数f (x) = 0的点和f (x)不存 在的点；（ii）对于（i）中所求出x0，若f (x)在x0两侧符号相反，则点(x0 , f (x0)是曲线的拐点；若f (x)在x0的两侧例3 讨论曲线的凹凸性及拐点。解 函数的定义域为（ ）。令y = 0，得当x = 0时，y 不存在。列表讨论如下：xy0 0+不有拐点无拐点于是，曲线在上是凸弧，在是凹弧；拐点为二、渐近线为曲线的渐近线。渐近线有以下三种：如果或（A为常数），则称直线 y

6、=A为曲线水平的渐近线。（ii）垂直渐近线则称直线x = x0为曲线（iii）斜渐近线：斜渐近线若曲线上一动点M无限远离原点时，某一固定直线L的距离趋近于零，（i）水平渐近线：或如果称该渐近线为曲线y = f (x)的斜渐近线。a 0 时，设直线Y = ax +b是曲线y = f (x)的渐近线。y = f (x)的垂直渐近线。则称该直线L定义3动点M到例4 求曲线的渐近线。解 由于所以x=0, x =2是曲线的两条垂直渐近线。于是，y = x 1是曲线的斜渐近线又(2) 确定函数的连续区间及间断点；4.3.4 函数图形的描绘函数作图的一般步骤：(1) 确定函数f (x)的性质：定义域、奇偶性

7、、周期性等；必要时，可根据函数表达式补充一些点。(3) 求出f (x)，讨论曲线的增减性与极值；(4)求出f (x)，讨论曲线的凹凸性与拐点；(5) 考察曲线的渐近线；(6) 确定曲线的某些特殊点（如，曲线与坐标轴的交点）. (7) 绘出函数图形。例4.3.6 作出函数的图形。在此区间上函数连续且为偶函数，图形关于y轴对称。(3) 列表讨论（由对称性，仅讨论x0, +）的情形）：解 （1）函数的定义域为（ ），（2）拐点00极大值1x0+（4） 因为，所以y=0是水平渐近线。正态分布曲 线或高斯曲线。（5）作图 由以上讨论可作出曲 线在0，+）内的图形，再由对称性可得全图. 该曲线在概率论中也称为是拐点Oyx例6 绘 的图形解： 定义域令令垂直渐近线水平渐近线f(-2)=-2/9,f(-1)=-1/4例 作函数 的图形解：定义域令当不存在极大极小渐近线垂直渐近线无水平渐近线斜渐近线 f(-2)=-4,f(0)=03.曲率的计算公式证 所以若函数以参数方程给出：则有例4.4.1 解 例4.4.2 解 4.4.3 曲率圆CM0 xy例4.4.2 0 xy解 飞行员在O点处受到 重力P和坐椅对飞行员的反作用力Q的作用，合力Q-P即为飞行员随飞机俯冲到O点时所需的向心力F，即 F=Q-P 考虑曲率圆，则可视飞行员在O点处做匀速圆周运动， 故有 其中，R为O点处抛物线轨道的曲率半径