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文档简介

1、2 11 427高等代数专题研究辅导第9篇三次次方程求根公式中央电大教育学院冯泰2004年12月1. 一元三次方程求根公式一个一元三次方程，显然三次项的系数不为0,用三次项的系数除方程的两边，总可以将一般三次方程化为以下形式32y ay by c 0称为标准形式，就式（1）进行讨论.令y x a ,代入式(I),得到33-x px q 0(2)其中p3b a23,q32a 9ab 27c27利用恒等式将其与式（2）比较.得到xp333q即得3P27q由此可以解出233 q q P4273p27(4)(或33p27qq2243p27只需取一组求解)且满足(3)式的有三个根，它们的模相同,它们的幅

2、角相差2 r ,即三个根均匀地分布在以3它们的模为半径，原点为圆心的圆周上.1是(3)式的一个解(根)，则的另外两个解为1 ,(即根逆时针转动,正是下一个根2 一 .1(即根34逆时针转动，正是下下一个根3其中-i 是1的三次单位立方根.22注释:在复数域内，方程求根公式为a ib |zei , z . a2 b2,arctanb,aa|z cos ,b zsin , ( z称为复数z的模， 称为复数z的幅角)，则2kn z njze-k0,1,2,n 1)这n个根均匀地分布在原点为圆心，半径为z 的圆周上.设 是其中一个根,n zeiL 则 e ni 2kn2k0 n.2i 一n2(kon1

3、),正是下一个根.由(5)式得到23以三，满足142723q p于是，得到4274274 TOC o 1-5 h z 2323xi 1 1匕广*杵AX222X333q qL23_2 3： q _q2巨22V 427 i 2 42723-2323q-qp_3 q qpi21 427 2 427这就是实系数一元三次方程的求根公式.23这里，D S- 上一被称为实系数一元三次方程 4273x px q 0的判别式，可由它的符号看出根的某些性质:2判别式D 43P 0,则27都是实数,30 ,此时方程（2）有一个实根和两个共轲复根;2(2)判别式D 43P = =0,则273都是实数,330 ,此时方程（2）有三个实根，其中两个相等(根为21,1，1)3是共轲复数,判别式D3 0Xi9 7227=22yiXiy2 X2 i1 25 3- i22 TOC o 1-5 h z .23., 233，q q p _ 3.qq p,2.427.24279：92633?9632

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