苏教版高中数学选择性必修一第4章4.1第2课时《数列的递推公式》教案

1、本资料分享自千人教师QQ群483122854 期待你的加入与分享 300G资源等你来本资料分享自千人教师QQ群483122854 期待你的加入与分享 300G资源等你来第2课时数列的递推公式学习目标1.能根据数列的通项公式解决简单的问题.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求数列的前几项.3.进一步理解数列与函数的关系导语同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本学案上的例1.一、数列的通项公式的简单应用例1已知数列an的通项公式

2、是an2n2n，nN*.(1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为数列an中的项，3是否为数列an中的项解(1)在通项公式中依次取n1,2,3，可得an的前3项分别为1,6,15.(2)令2n2n45，得2n2n450，解得n5或neq f(9,2)(舍去)，故45是数列an中的第5项令2n2n3，得2n2n30，解得n1或neq f(3,2)，故3不是数列an中的项反思感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n

3、的方程若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项跟踪训练1已知数列an的通项公式为anqn，nN*，且a4a272.(1)求实数q的值；(2)判断81是否为此数列中的项解(1)由题意知q4q272，则q29或q28(舍去)，q3.(2)当q3时，an3n.显然81不是此数列中的项；当q3时，an(3)n.令(3)n81，无解，81不是此数列中的项二、数列的递推公式问题1如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上(1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上

4、面将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为an，你能发现an与an1之间的关系吗？提示其实把n1个金属片从1号针移到3号针，只需3步即可完成，第一步：把最大金属片上面的n个金属片移到2号位，需要an步；第二步：把最大的金属片移到3号位，需要1步；第三步：把2号位上的n个金属片移到3号位，需要an步，故an12an1.知识梳理一般地，如果已知一个数列eq blcrc(avs4alco1(an)的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式注意点：(1)通项公式反映的是an与n之间的关系；(2)递推关系

5、是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，需要知道首项，即可求数列中的每一项例2若数列an满足a12，an1eq f(1an,1an)，nN*，求a2 021.解a2eq f(1a1,1a1)eq f(12,12)3，a3eq f(1a2,1a2)eq f(13,13)eq f(1,2)，a4eq f(1a3,1a3)eq f(1f(1,2),1f(1,2)eq f(1,3)，a5eq f(1a4,1a4)eq f(1f(1,3),1f(1,3)2a1，an是周期为4的数列，a2 021a45051a12.反思感悟递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系对于通项公式，已知n的值即可得到相应

6、的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性跟踪训练2已知数列an的首项a11，且满足an1eq f(1,2)aneq f(1,2n)，则此数列的第3项是()A1 B.eq f(1,2) C.eq f(3,4) D.eq f(5,8)答案C解析a11，a2eq f(1,2)a1eq f(1,2)1，a3eq f(1,2)a2eq f(1,22)eq f(3,4).三、由递推公式求通项公式例3(1)在数列an中，a11，an1aneq f(1,n)eq f(1,n1)，则an等于()A.eq f(1,n) B.eq f(2n1,n) C.e

7、q f(n1,n) D.eq f(1,2n)答案B解析方法一(归纳法)数列的前5项分别为a11，a211eq f(1,2)2eq f(1,2)eq f(3,2)，a3eq f(3,2)eq f(1,2)eq f(1,3)2eq f(1,3)eq f(5,3)，a4eq f(5,3)eq f(1,3)eq f(1,4)2eq f(1,4)eq f(7,4)，a5eq f(7,4)eq f(1,4)eq f(1,5)2eq f(1,5)eq f(9,5)，又a11，由此可得数列的一个通项公式为aneq f(2n1,n).方法二(迭代法)a2a11eq f(1,2)，a3a2eq f(1,2)eq

8、f(1,3)，anan1eq f(1,n1)eq f(1,n)(n2)，则ana11eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(1,n1)eq f(1,n)2eq f(1,n)eq f(2n1,n)(n2)又a11也适合上式，所以aneq f(2n1,n)(nN*)方法三(累加法)an1aneq f(1,n)eq f(1,n1)，a11，a2a11eq f(1,2)，a3a2eq f(1,2)eq f(1,3)，a4a3eq f(1,3)eq f(1,4)，anan1eq f(1,n1)eq f(1,n)(n2)，以上各项相加得an11e

9、q f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,n1)eq f(1,n).所以aneq f(2n1,n)(n2)因为a11也适合上式，所以aneq f(2n1,n)(nN*)(2)已知数列eq blcrc(avs4alco1(an)满足a11，an1eq f(n,n1)aneq blc(rc)(avs4alco1(nN*)，则an等于()An1 BnC.eq f(1,n1) D.eq f(1,n)答案D解析由题意，因为数列eq blcrc(avs4alco1(an)满足an1eq f(n,n1)aneq blc(rc)(avs4alco1(nN*)，所以eq f(an1,an

10、)eq f(n,n1)，所以aneq f(an,an1)eq f(an1,an2)eq f(a3,a2)eq f(a2,a1)a1eq f(n1,n)eq f(n2,n1)eq f(2,3)eq f(1,2)1eq f(1,n).反思感悟由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：an1an常数，或an1anf(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；an1pan(p为非零常数)，或an1f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；an1panq(p，q为非

11、零常数)，适当变形后转化为第类解决跟踪训练3(1)已知数列an满足a11，anan1eq r(n1)eq r(n)(n2)，求an.解因为anan1eq r(n1)eq r(n)(n2)，所以anan1eq r(n1)eq r(n).所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(eq r(n1)eq r(n)(eq r(n)eq r(n1)(eq r(3)eq r(2)1eq r(n1)eq r(2)1.又a11也符合上式，所以aneq r(n1)eq r(2)1，nN*.(2)已知数列an满足a11，ln anln an11(n2)，求an.解因为ln anln an11，所以ln

12、eq f(an,an1)1，即eq f(an,an1)e(n2)所以aneq f(an,an1)eq f(an1,an2)eq f(a2,a1)a11en1(n2)，又a11也符合上式，所以anen1，nN*.四、数列的函数特征问题2在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？提示函数知识梳理通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数注意点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数解析式(2)数列还可以用列表法、图象法表示例4已知数列

13、an的通项公式是an(n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(10,11)n，nN*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由解方法一an1an(n2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(10,11)n1(n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(10,11)neq f(9nblc(rc)(avs4alco1(f(10,11)n,11)，当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an.则a1a2a3a11a12，故数列an有最大项，为第9项和第10项，且a9a1010eq blc

14、(rc)(avs4alco1(f(10,11)9.方法二根据题意，令eq blcrc (avs4alco1(an1an，,anan1，)即eq blcrc (avs4alco1(nblc(rc)(avs4alco1(f(10,11)n1n1blc(rc)(avs4alco1(f(10,11)n，,n1blc(rc)(avs4alco1(f(10,11)nn2blc(rc)(avs4alco1(f(10,11)n1，)解得9n10.又nN*，则n9或n10.故数列an有最大项，为第9项和第10项，且a9a1010eq blc(rc)(avs4alco1(f(10,11)9.反思感悟求数列最值的方

15、法(1)函数的单调性法：令anf(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项(2)不等式组法：先假设有最大(小)项不妨设an最大，则满足eq blcrc (avs4alco1(anan1，,anan1)(n2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组eq blcrc (avs4alco1(anan1，,anan1)(n2)求得n的取值范围，从而确定n的值跟踪训练4已知数列ann26n5，则该数列中最小项的序号是()A3 B4 C5 D6答案A解析因为aneq blc(rc)(avs4alco1(n26n9)4eq blc(rc)(avs4alco1(n3)24

16、，所以当n3时，an取得最小值1知识清单：(1)数列的递推公式(2)由递推公式求数列的通项公式(3)数列的函数特征2方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法3常见误区：累加法、累乘法中不注意检验首项是否符合通项公式1已知在数列an中，a12，an1ann(nN*)，则a4的值为()A5 B6 C7 D8答案D解析因为a12，an1ann，所以a2a11213，a3a22325，a4a33538.2在数列eq blcrc(avs4alco1(an)中，aneq f(n2,n1)，则eq blcrc(avs4alco1(an)()A是常数列 B不是单调数列C是递增数列 D是递减数列答案D解析在数列

17、eq blcrc(avs4alco1(an)中，aneq f(n2,n1)1eq f(1,n1)，由反比例函数的性质得eq blcrc(avs4alco1(an)是递减数列3已知数列an中，a11，a22，且anan2an1(nN*)，则a2 021的值为()A2 B1 C.eq f(1,2) D.eq f(1,4)答案C解析anan2an1(nN*)，由a11，a22，得a32，由a22，a32，得a41，由a32，a41，得a5eq f(1,2)，由a41，a5eq f(1,2)，得a6eq f(1,2)，由a5eq f(1,2)，a6eq f(1,2)，得a71，由a6eq f(1,2)

18、，a71，得a82，由此推理可得数列an是一个周期为6的周期数列，所以a2 021a33665a5eq f(1,2).4323是数列n(n2)的第_项答案17解析由ann22n323，解得n17(负值舍去)323是数列n(n2)的第17项课时对点练1已知数列an满足an4an13(n2，nN*)，且a10，则此数列的第5项是()A15 B255 C16 D63答案B解析由递推公式，得a23，a315，a463，a5255.2数列eq f(1,2)，eq f(1,4)，eq f(1,8)，eq f(1,16)，的第n项an与第n1项an1的关系是()Aan12an Ban12anCan1eq f

19、(1,2)an Dan1eq f(1,2)an答案D3在数列eq blcrc(avs4alco1(an)中，a1eq f(1,2)，an11eq f(1,an)，则a2 021等于()A.eq f(1,2) B1 C2 D3答案B解析当n1时，a21eq f(1,a1)1；当n2时，a31eq f(1,a2)2；当n3时，a41eq f(1,a3)eq f(1,2)a1；a51eq f(1,a4)1a2；a62；所以数列an是一个周期为3的周期数列，故a2 021a36732a21.4已知数列an满足a12，an1an10(nN*)，则此数列的通项公式an等于()An21 Bn1C1n D3n

20、答案D解析an1an1.当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)22(1)(n1)3n.当n1时，a12也符合上式故数列的通项公式an3n(nN*)5下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是()Aan1ann，nN*Banan1n，nN*，n2Can1aneq blc(rc)(avs4alco1(n1)，nN*，n2Danan1eq blc(rc)(avs4alco1(n1)，nN*，n2答案B解析结合图象易知，a11，a23a12，a36a23，a410a34，anan1n，nN*，n2.6已知在数列an中，an2n225n30(nN*)，则数列

21、中最大项的值是()A107 B108 C108eq f(1,8) D109答案B解析由已知得an2n225n302eq blc(rc)(avs4alco1(nf(25,4)2108eq f(1,8)，由于nN*，故当n取距离eq f(25,4)最近的正整数6时，an取得最大值108.数列an中最大项的值为a6108.7已知在数列an中，a1a2ann2(nN*)，则a9_.答案eq f(81,64)解析a1a2a882，a1a2a992，得，a9eq f(92,82)eq f(81,64).8数列eq blcrc(avs4alco1(an)的通项公式是ann27n50，则数列中的最小项是_答案

22、38解析数列eq blcrc(avs4alco1(an)的通项公式ann27n50eq blc(rc)(avs4alco1(nf(7,2)2eq f(151,4)，因为nN*，所以当n3或n4时，an最小，此时a3a438，则数列中的最小项是38.9在数列eq blcrc(avs4alco1(an)中，a11，an1eq f(2an,2an)(nN*)(1)求a2，a3，a4；(2)猜想an(不用证明)解(1)a11，an1eq f(2an,2an)，a2eq f(2a1,2a1)eq f(2,3)，a3eq f(2a2,2a2)eq f(1,2)，a4eq f(2a3,2a3)eq f(2,

23、5).(2)猜想：aneq f(2,n1).10在数列an中，a12，a1766，通项公式是关于n的一次函数(1)求数列an的通项公式；(2)求a2 021.解(1)设anknb(k0)，则有eq blcrc (avs4alco1(kb2，,17kb66，)解得eq blcrc (avs4alco1(k4，,b2.)an4n2，nN*.(2)a2 02142 02128 082.11已知数列an满足a10，且an1eq f(n,n1)an，则数列an的最大项是()Aa1 Ba9Ca10 D不存在答案A解析因为a10，且an1eq f(n,n1)an，所以an0，所以eq f(an1,an)eq f(n,n1)1，所以an10，an1an0，(n1)an1nan0，eq f(an1,an)eq f(n,n1)，eq f(a2,a1)eq f(a3,a2)eq f(a4,a3)eq f(an,an1)eq f(1,2)eq f(2,3)eq f(3,4)eq f(n1,n)eq f(1,n)(n2)，eq f(an,a1)eq f(1,n).又a11，aneq f(1,n)a1eq f(1,n).又a11也适合上式，aneq f(1,n)，nN*.