实变函数第五章积分理论53Lesbesgue积分的极限定理课件

1、第三节 Lesbesgue积分的极限定理第五章 积分理论1.Levi逐项积分定理只要证明大于等于，但一般而言fn(x)不会跑到f(x)上方,所以我们有必要先把f(x)下移一点。 f(x)cf(x) fn(x)注意：当fn(x)一致收敛f(x)时， fn(x)才会整体跑到f(x)上方。若fn(x)为E上非负可测函数列，说明：小于等于显然成立，因为fn(x)总在f(x)的下方,Levi逐项积分定理的证明引理1：设En是递增集列， 是Rn上的非负可测简单函数，则引理2：设f(x)是E上的非负可测函数，A是E中可测子集，则证明：由条件知fn(x)为E上非负可测函数递增列，有定义，且从函数列的渐升性知道

2、下证大于等于号Levi逐项积分定理的证明证明：令c满足0c1， 是Rn上的非负可测简单函数，且则En是递增集列，由引理1知 c(x) f(x) fn(x)(x)Levi逐项积分定理的证明再由的积分定义知于是从（应用引理2） f(x)(x)c(x) fn(x)对Levi逐项积分定理的说明 f(x)fn(x) fn+1(x)积分的几何意义（函数非负）：若fn(x)为E上非负可测函数列，单调增集列测度的性质2.Lebesgue逐项积分定理（级数形式）然后利用Levi逐项积分定理即可对应于测度的可数可加性若fn(x)为E上非负可测函数列， 则对比:积分的线性(有限个函数作和)例 试求 为非负连续函数，

3、当然为非负可测函数，定理：若f(x)在a,b上Riemann可积，则f(x)在a,b上Lebesgue可积，且例 从而结论成立则 为非负连续函数，当然为可测函数，从而由Lebesgue逐项积分定理知：3.积分的可数可加性然后利用Lebesgue逐项积分定理即可对应于测度的可数可加性Lebesgue逐项积分定理是关于被积函数积分的可数可加性是关于积分区域 若f(x)在 （En可测且两两不交）上非负可测或可积，则注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性推论：在一零测度集上改变函数的取值，不影响其可积性且积分值不变证明：令E 1= Efg， E 2= Ef=g，则m E1=0从而即： 设f

4、(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可积，则g(x)在E上也可积且 例 设0,1上的函数f(x)在Cantor集P上定义为0，在Cantor集余集中长度为1/3n的构成区间上定义为n(n=1,2,3，) ，求f(x)在0,1上的Lebesgue积分值 解：令Gn为Cantor集P的余集中长度为1/3n的构成区间的并，由条件知f(x)是0,1上的非负可测函数，根据积分的可数可加性知 4.Fatou引理然后利用Levi逐项积分定理即可 若fn(x)为E上非负可测函数列，Levi逐项积分定理：若fn(x)为E上非负可测函数列，则注：严格不等号可能成立注：fn(x)为E上非负可测函数列且一致收敛到0.1/nn5.Lebesgue控制收敛定理证明：显然f(x)为E上可测函数（可测函数列的极限函数是可测函数）设fn(x)为E上可测函数列， a.e.于E，且存在非负可积函数F(x)，使得|fn(x)| F(x) a.e.于E，且由|fn(x)| F(x) a.e.于E，知|f(x)| F(x) a.e.于E，所以fn(x)， f(x)都为E上可积函数则f(x)在E上可积且由|fn(x)| F(x) a.e.于E，知F(x)fn(x) 0 a.