§4 电势及其梯度

1、4 电势及其梯度p74 1-24、25、26、 36、37、39、411静电场力做功与路径无关电荷间的作用力是有心力 环路定理 讨论静电场的环流静电场：电力线不闭合可以猜到静电场的环流为零 2证明 单个点电荷产生的场 把试探电荷q0从P移到Q 静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关3点电荷组产生的场在电场中把试探电荷从P移至Q电场力所做的功 P到 q1的距离Q到q1的距离每项均与路径无关，只与位置有关 4任意有限大的带电体产生的电场 可以将带电体无限分割成微元，每一个微元均为一点电荷 点电荷组结论：在任何电场中移动试探电荷时，电场力所做的功除了与电场本身有关外，只与试探电荷的大小及其起点、终

2、点有关，与移动电荷所走过的路径无关。 5静电场的环路定理静电场力做功与路径无关 等价于静电场力沿任意闭合回路做功恒等于零 在任意电场中取一闭合回路，将试探电荷沿路径L从 pQP，电场力所做的功为6说明：（1）环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验一个电场是不是静电场。 (2)环路定理要求电力线不能闭合。静电场是有源、无旋场。静电场的环路定理 在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分等于零。7讨论在证明Gauss定理中，说电力必须与r2成反比，那么在环路定理的证明中是否也必须要求与r2成反比？答：不一定 哪些力具有做功与路径无关这种性质？ 引力 引入引力势能重力 引入重力势能 势函数

3、 弹性力 引入弹性势能 （位）静电力 引入静电势能 8电势能、电势差、电势 可以与重力做功类比电场力做正功，电势能将减少电场力做负功，电势能将增加电势能的改变量q0在 P点的电势能q0在 Q点的电势能电势增量定义静电场与 q0有能量交换电场力的功9电势的定义从中扣除q0,即引入电势P、Q两点之间的电势差定义为从P点到Q点移动单位正电荷时电场力所作的功单位正电荷的电势能差10（三）电势(electric Potential)电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点“标准点”过程中电场力作的功。（令“标准点”的电势为零） 电势零点的选择：（1）若带电体系局限在有限大小的空间里，通常选择无穷远处为电势

4、零点。（2）若带电体系电荷分布在无限大的区域内，通常取有限位置处为电势零点。（3）实际工作中常以大地或电器外壳为电势零点。11空间某点的电势值例：选择无穷远为势能零点, P点电势值为两点之间电势差可表为两点电势值之差单位：1V(伏特）1J/C12讨论 电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量，与试探电荷无关，是标量。电势UP：P与无穷处电势差 电势零点 选取可以任意选取选择零点原则：场弱、变化不太剧烈 问题无限大平面板的势能零点能否选在无穷远？例:13 2.电势的计算(1) 用定义法求U例1. 真空中一半径为R的球面，均匀带电Q，求带电 球所在空间任意一点P的电位U=？解：由高斯定理已求得电

5、场分布：设 r，U=0P点处在球外 rR：P点处在球内 rRE=0=00R4114带电球面的电位分布：Rr1 球内电位处处相等，均为：2 球面处U是连续。与电场分布比较：球内E=0，是球面上各点电荷在球内 的场强迭加为 0。球内U0，是将单位正电荷从球内移 到无穷远电场力作功 A 0。 RrEoR注：结论：4215例2. 半径为 R的无限长带电圆柱，电荷体密度为， 求离轴为 r处的 U=？R.pr解：由高斯定理求得各处的电场设r, U= 0设 r= R处，U= 0 0r= 0处，U= Umax=4316例题3、一示波器中阳极A和阴极K之间的电压是3000 V，试求阴极发射的电子到达阳极时的速度

6、，设电子从阴极出发时初速为零。解电子带负电，它沿电势升高的方向加速运动，即从阴极 K出发到达阳极 A. 静电场力是保守力，按能量守恒电子到达阳极时获得的动能为17电子伏特电子伏特：能量单位带有电量+e或-e的粒子飞跃一个电势差为1V的区间，电场力对它作的功(从而粒子本身获得这么多能量（动能）1eV18电势叠加原理点电荷组有 连续带电体有19电场中某点的电势等于各电荷单独在该点产生的电势的叠加(代数和)。电势叠加原理注意：1、电势零点必须是同一个标准点。 2、空间某点的电势是空间所有电荷共同产生的。 3、电势是标量，积分是标量迭加。所以电势叠加 比电场叠加要简便。例:20例16. 点电荷q1=q

7、2=q3=q4=410-9C,放置在一正方形的 的四个顶角上，各顶角距中心5cm. 求：(1)中心o点的电势, (2)将qo=1 10-9C从无穷远移到o点,电场力作的功。o解：(1)各点电荷在o点处的电位(2)由定义可知：将单位正电荷从无穷远移到o点,电场力作的功为 A= Uo。将电荷qo从无穷远移到o点,电场力作的功为： A= qoUo= 28.810-11 J4621例17. 计算均匀带电Q的圆环轴线上任意一点P的 电势U=？RX解：取环上电荷元 ， 其在P点产生的电势相当于点电荷dq=2rdr.P当x= 0，1当x R，2若是一带电圆盘？347讨论：22求电势用电势定义求： 用电势叠加

8、原理求 P35例题1112自己看补充题两个均匀带电的同心球面，半径分别为Ra和Rb，带电总量分别为Qa和Qb,求图中、区内的电势分布方法一：已知场强求电势23方法二：电势叠加各区域的电势分布是内外球壳单独存在时的 电势的叠加 ： 24小结： 求一点电势要已知这点到无穷远的场强分布； 电势叠加要先求各带电体单独存在时的电势，然后再叠加； 电势是标量，叠加是标量叠加，比场强叠加容易. 25电场强度和电势已知场强 可求电势已知电势 可否求场强？等势面 等势面与电力线处处正交 证明：设一试探电荷q0沿任意一个等势面作一任意元位移dl电场力所做的元功 26等势面密集处场强大，稀疏处场强小 证明：设：电场

9、中任意两个相邻等势面之间的电势差为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图），以点电荷为例，其电势为因为相邻等势面电势差为一定值，所以有半径之差r2定值27电势梯度 场有分布，沿各方向存在不同的方向微商梯度：物理量对空间坐标的微商,最大的方向微商如 速度梯度 温度梯度等沿l的方向微商可以表示为 若取垂直方向，即场强方向n，则沿该方向的方向微商为28结论：两等势面间U沿n 方向的变化率比沿其他任何方向的变化率都大 电势梯度 方向： 沿电势变化最快的方向 大小： 在三微空间 电势梯度与场强的关系 n 很小，场强E变化不大 29E总是沿着指向电势减少的方向E与n相反在数学场论中把 矢量微分算符 直角坐

10、标系表示 30例18. 一个均匀带电圆环, 半径为R ，电量为Q。 求其轴线上任意一点的场强。X.Po解：根据点电荷电位叠加，P点的电位P点的电场：方向沿X轴正向5131即：E 取决于U 在该点的空间变化率而与该点U 值的大小无关。2 E的又一单位：V/m= N/C3 求E的三种方法点电荷电场叠加 ：用高斯定理求对称场：电位梯度法：注：15232小结：一、静电场性质的表现1、静电场对于置于场内带电体有力的作用2、带电体在电场力的作用下移动时，电场力对它作功。二、表征电场性质的物理量1、E点电荷： 点电荷组： ：33分布电荷： 连续电荷体分布： 面分布： 线分布：34点电荷组： ；分布电荷：3、E与U的关系：；三、静电场基本定理1、高斯定理：2、环路定理：2、电势U空间任意点：点电荷：35解题方法：一、求解电场分布的方法