5量子测量及相关问题

1、 第5讲量子测量及相关问题（III）广义测量与POVM目录一，广义测量二，局域测量POVM（正W算符W度）1）直和子空间解释2）直积子空间解释三，POVM举例四，Neumark定理1）Neumark定理2）举例说明 一，广义测量1）开放系统以前研究的量子力学都是针对封闭系统的。现在开始研究开放系统的量子力学。这时的量子力学出现三个新特点：a）量子态可能是混的；b）量子演化可能是非幺正的、不可逆的;C）量子测量造成的投影分解可能是非正交的分解POVM2)广义测量广义测量是指，在一个由若干子系统组成的大系统上进行正交测量时，在局部的子系统上所实现的局限性测量，称为广义测量，又称为局域测量。从大系统

2、的角度来看，现在的子系统是个开放系统，对 #其进行的观测是片面的观测、局部的观测。广义测量也可以说成是对开放系统的量子测量。通过把与所考虑系统有相互作用的外部系统都计算进来，构成足够大系统的办法，总能以足够好的近似将这个大复合系统看作是孤立体系。我们知道，对孤立体系所作的测量是正交投影测量。因此可以说，对如此构成的大系统中某一组相互对易力学量完备组进行的量子测量，必定是正交投影测量。就是说，测量所得的必定是这个完备组共同本征态的量子数，测量所实现的也必定是向这个完备组相互正交共同本征态的投影。但是，大系统这组相互正交的本征态族在子系统所属子空间中的对应态未必仍然相互正交。于是可以设想，不知道（

3、根本就不知道，或是不想知道，或是难以知道）大系统、只知道子系统的观察者会认为：通常情况下的量子测量将投影出一组非正交态，而不是一组正交态。这就是通常所说的“广义测量不一定是正交投影”的原故3。 # #二，局域测量POVM1）直和子空间解释 # #假设所关心的态空间H是一个更大的直和空间A #的一部分（设交基u。设aH，H丹丄|AIAJH的基是liH丄的基是（，i，0,Vi,）。H有正AIM是H中的一个可观察量，于是有以下正交分解关AA MAA(1)(2)这里，丄H丄；甲、H;甘丄H丄。注意，A1A丨A不同值的此正交，但它们在子空间H中投影部分AV:却不一定彼此正交，也不一定归一。也即，从子空间

4、H中看，这些态A并不一定彼此正交归一。但由于U、1，记九1-iVf丄丄aaa/，注意九均不会为负值。于是可令(3)由此，这里的态,:已归一。现在假设，在大空间H中对子空间H中的一个态Ap执行向基矢Au正交投影测量丿。这些测量从“生活”在H中的A观察者来看，只得到以概率（注意P不属于AProb(a)=(upu、=萌p=k:,p,)4a)获得测量结果和态。特别是，在测出值以后，塌缩投影过去的这些测量末态,不见得彼此正交设EI是子空间AAH的单位算符，它也是大空间AH向子空间的投影算符。于是利用它可将H中的正交投影算符系列向H投影。即定义H中的一组算符AF三EEE=V”V=X,AA八(5)利用定义（

5、5）式，可以把（4a）式，即从H中观察所得结果为A的概率重新写为Prob(a).p)Xp,=tr(Fp)(4b)这些F显然是厄密的、非负的，但迹却不一定为川1TrF(6) 而且也不一定彼此正交，所以不能算是正交投影算符系列。然而，们总和等于子空间H中的单位算符A工FE工EEEI,A,AAAa因此，这些F在子空间aH中执行着类似于AE在H空间中的投影分解任务，但它们却不是正交投影2、3、4。于是推广开来看，可以引入如下定义：定义：系统A的一种POVMpositiveoperatorvaluedmesure对（子空间）单位算符的一组正值算符分解是一组能分解单位算符的非负厄密算符系列：F,1,2,n

6、;F+F;AF0,工FI-,a，A=1（7）这里态是系统A的任意态。根据这里的广义测量理论，IAp态作广义测量时，相应每个测量结果A特别是，有F的概率由Proba)=tr(Fp)=九p,A,、,A，当对（4a、4b）式表示。为保证概率正定和总概率为1，F的正定性和1都是必需的。由于任何投影算符P的平方等与它自己P2P，所以开根也是它自己pp。而这里正属于投影算符，于是在广义测量前后，态的改变是即p1,、,A1，I,$、,壬町Pa迈Ci(8)（8）式是正交投影情况（p”p“二工EPE向POVM情况的推AA,A,广2，3，4。注意，由于“F等于大空间的E向子空间H的投影”A所以有H的维数F数目E数

7、目A,+H丄卞数和A9） F个数可能少于E个数的原因是：可以有这样的E，它只向正交子空间H丄投影，于是与这种E相应的A这个POVM名词最初来源于文献念来分辩一些非正交的态。POVM是针对封闭系统的正交投影理论向开放系统的推广，是完全测量向非完全测量的推广。2)直积子空间解释F便是零。1。该文首次引入广义测量概vonNeumann假设考虑一个N维系统A，处在态系统B(常称为“,上。并假设另有一个辅助A附属系统”，其维数这里并不重要，予以略去)处在已知态,上。设这两个系统组成一个“未关联”的张量积的大系B统，初态为测量血;工,。现在对这个张量积系统进行某种正交投影ABAB、。在单次测量中得到测量结

8、果为个，相应概率EI卩AB丿ProbQ)为)迟工()(,)6)m,n0r,s三迓()(,)Tr(A)Q,)卩mnAnm卩Am,n0Prob(p)TrCab)(E,g,pAB卩mr,nsAnmsr简单直接地说，即有Propgp)三7Xa)(Fp)卩AB卩A10a)这里()=工()(,)Or(b)“EG0p)卩mn卩mr,nsBsr卩ABmnr.s(10b)这一组算符F就被称作为一种POVM正值算符测度2、3、4。10a)表明,Prob(p)既E的概率，由于(也是在子系统A中执行相应的h得到结果POVM并得到f的概率。10a)中的ProbQ)n0，以及都是非负的，有时就简单称它们为正的。按,是任意

9、和非负的，可知全体A(10b)式，它们也是厄 米的、总和为1。比如总和为1,（10b）式对求和即得，分量形式为Z（F）月工“丿mnmn这正是（6）式。但对于直积情况，1E丿r,smr,nsG)工G)Tr(b)pG)BmnrsBrsBsrmnBmnAmn（9）式不同。这时有POVM中F个数的上限与直和的dimHNumberF)Numbe()dim(HH)数当对大系统AB测量之后，塌缩结果为E时，大系统的态相应a塌缩到下面状态，E(pp)Ep(a)aAf-Ba中ABTr(ab)lE(3p丿但与此同时，对于只知道子系统A的观察者而言，当测量塌缩到密度矩阵从p变为A,(,Tr(b,E(pgp)Epva

10、aab_i-aTr(ab,EvpgpHaAB注意，这里（13）式和前面（8）式求和中对应项是相同的。因为，注意到这里所用的向A投影算符E对A而言是单位算符A（11）（12）F时，（13）I，于是由A于（13）式分子已经Tr（B），所以可以左右全乘以E，并收入求迹号内，A同时对求迹号内p两侧也如此做。至于分母可直接利用概率公式A（10期。总之可以有p(a)ATr(b)eE(EpEp)EEA_aA_-AATr(ab)IEVp(Tr(b)(F(pgp)FaABTr(A,(Fp1aAFG)F这里最后结果F上的根号是等式对全部测量概率归一化的要求。以上通过直和与直积两种方式说明了，在更大态空间中进行某个

11、正交投影测量过程，反映到它某个子空间中（相当于只从这个子空间作局部性观察），就实现为一个非正交的投影系列实现一种 POVM。三，POVM举例举一个单qubit两维态空间中量n和N个正实数九，使它们满足:POVM例子。选择NO3维单位矢0X1,九1，九n0。由此便可构造一种有N个元素的POVM如下： # #(14a)回忆起1自旋态的投影算符为2态的极化矢量，就有n-(1+n.b)3,这里,2, # #(14b)F2XE它们共计NO,显然都是非负的、厄密的，并且有FXIXnI所以，这NOF就在此qubit二维态空间中定义了一个POVM注意，在两维态空间中作单位算符的POVM分解时，若是两个分解口N

12、=2,即(f,F)，虽有无穷多种分解，但必定都是正交分解：12Innn一n三F3的分解，才必定是非正交的分解。比如对N=3情况，若取任意三角形的三个边作为(首尾相接TOC o 1-5 h z的)三个矢量n(,1,2,3)，则有nnn0，再选比如XXX，,1231233于是便得到一种共计三个的如下POVM, HYPERLINK l bookmark92F1(1+n)=2E(n);,1,2,3(15)，3，3，由它们乘积即知，它们已不再是正交投影，各自的迹也不是1了。四，Neumark定理（18） 1，Neumark定理2，3H空间ANeumark定理：上面通过考察比H更大空间中的正交测量，得到了

13、在A中的POVM的概念。现在反过来考虑，这就是总能够采用将所考虑的态空间拓展到一个较大空间，并在这个较大空间执行适当正交测量的办法，实现所考虑空间中任何事先给定的POVM。”证明：考虑一个N维状态空间H和n(nN个If,=1,2,n如一种FOVM。每个一维正算符（意即只有1个非零本征值）F可写为注意这里F=|v;和|T=G,1（F）=*i,j,i,加一定归一。于是，已设的全,2,N；i,j=1,2,，N16)体F之和为H中单位矩阵的结果，现在就表示为工(F)=区=8,i,ji,j17)=1i,j=1可以换一种角度看待上面这n个N维矢量的并矢之和为单位矩阵的关系式（17）：按下式定义N个n维矢量

14、（18） #（18） #)i,i这里是说，在ni个矢量的第分量为。于i,i=v是在这n维空间中就已经有了N个正交归一的矢量。现在只需要在这个高维一些的n维空间中再增加（n-n个正交归一矢量，补充这个正交归一矢量集合，使它们共同成为一组正交归一完备基矢就可以（18） #（18） #了。显然，这种补充不但是可行的，并且办法不是唯一的。设补充的（nN口个正交归一矢量为|(T=(p,)；k=N+1,nk1,k,kn,k（18） #（18） 将两部分合并排成正交归一的n行之后，各列便同时组成n维空间的一组n个正交归一基u-00000u是如此构造的：第个矢量的（19） 前N个分量为Va,ii,1,2,N，

15、后anN）个分量为新补充的。现在可以在这个n维空间中执行一个由下面定义的正交测量：显然，将基矢u:明写出来便是（20）这里|eH;|（peH丄。这里H丄是由|（jT所撑开的、维数为的、与H正交的另一个子空间。通过正交投影，可将u投影到H，a于是就得到H中原先已设定为POVM的f。证毕。总而言之，由正交测量的局部投影之后所得的POVM以及此处的Neumark定理，可以得到一个总体的认识：在一个系统上执行任选的POVM类型的测量是人们能够执行的最一般的测量3，4。2，举例说明2例1可以采用直和拓展方法来应用此定理。再次考虑单个qubitaoa15）式的POVMf：aF，23nnaa；（a，1,2,

16、3；n+n+n23现在用直和方式增加一维，在三维态空间中构造如此正交投影操作，使得在二维态空间中观察，此测量就是事先给定的“三进制”量子位一个三维态空间的单量子系统n，（001）；132这三个矢量在球坐标中分别为（“申），（0X-Z面上的等角三叶螺旋桨，夹角120,。因此，考虑到32F。为此取一个qutrit,并取定0-、0,它们是和21) O2n(e，必二2(9cos2.9smI2丿21) #这里|ng）均是归一化的2自旋态。由此得到1612丿，|V3=-1612丿丿21) #21) #根据定理证明中的叙述，可以将这三个两维矢量看作是个2x3的矩阵（由于所取POVM的完备性，（21）式中两行

17、是正交的）。再补上正交的第三行（注意保持归一化），就成为2316-16u=0u=12u=12123V13丿-1313VV丿V丿V丿丿22)21) #Vua位只生活在二维子空间中的观察者将会认为在他子空间中执行了一如定理所说的，各列（现即为代.）也彼此正交。这时我们执行向基的正交投影测量（即，测量以（u1为本征矢量的物理量组）。一种POVMrfF。也就是说，如果我们的qubit暗中是某个qutrit123的两个分量，对这个qutrit态空间中进行上面这样的正交测量，就实现了在我们这个qubit上所预定的POVM（f。a例2也可以采用直积拓展的方法来应用此定理。为便于比较，仍考虑单个qubit情况

18、，并且还是取（15）式的POVM（f：anaa;(a二1,2,3;n+n+n=0)12321) 三个态为（下面|中添一负号是为了n2a1n.：=-,“a”=1,2,3)O2nJ:吧=230丿现在采用引入第二个qubitB作直积来拓展，去实现这个POVM.在，|V2=-16、-12丿，!V3=-1612 两个qubit的直积态空间中，设计一组完备力学量组的测量实验，使状态向下述正交归一基作正交投影： # #如果初态是J0pp0ABAIpABa2n3aA11AB00，有B3naPa1301;a1,2,3B=Tra）（Fp）aA（23）（24） #POVMDDOODOOOOOO3维。所以这里投影就实

19、现了H上的这个A4维态空间中执行正交测量，而上面直和方案中仅仅需要aaaa # 5.1对于单qubitA如下一个POVM：F2na3a,a1,2,3,n+n+n0312也可以用张量积的方式来实现。办法是再添一个H0H空间中选择态矢A+naA1B,设初态为pAB0，验证:BBqubita1,2,3B,并且在 #i,这四个态是正交归一的，可以看作是相应某组力学量的一 #个表象；现了给定的H上就实ii,在H0H中执行向它们投影的正交测量，在POVMA。B # #5.2上的正交测量中实现。证明：上题的POVM也能以直和的办法，在一个三能级系统 23,厂16、-16、（提示：u=0,u=12,u=12,）12313-1313丿丿53给定如下一组正算符1111p=+e+e,p-e-e,p=+e+e,p二一e-e,12zz22zz32xx42xx证明：i,它们组成一个POVM；ii,在引入另一个qubit之后，它怎样可以作为双qubit的态空间中一个正交测量来实现。54如果将一般的超算符$:pip，用参数化来表示，须用多少个实参数？这里p是N维Hilbert空间中的一个密度矩阵。（提示：利用$的映射性