数值分析-第5章-线性代数方程组的直接解法

1、2022/8/10线性方程组的直接解法1第5章 解线性方程组的直接方法引言与预备知识高斯消去法矩阵三角分解法 向量和矩阵的范数误差分析/* Direct Methods for Solving Linear Systems */2022/8/10线性方程组的直接解法2其中5.1 引言与预备知识 5.1.1 引言 本章讨论n元线性方程组的解法。 Ax=b方程组的矩阵形式为 2022/8/10线性方程组的直接解法3 所谓直接解法是指若不考虑计算过程中的舍入误差，经过有限次算术运算就能求出线性方程组的精确解的方法。线性方程组Ax=b的一般数值解法：1.直接法：适用于低阶稠密方程组消元法、主元素法2.

2、迭代法：通过构造迭代方程组进行迭代。适用于大型稀疏方程组非零元素较多，零元素较少上万阶，零元素很多，非零元素很少简单迭代法赛德尔迭代法2022/8/10线性方程组的直接解法4表示全部 实矩阵的向量空间，实数排成的矩形表，称为 行 列矩阵. 称为 维列向量. 5.1.2 向量和矩阵 表示全部 复矩阵的向量空间。其中 为 的第 列. 其中 为 的第 行. 矩阵的按行分块矩阵的按列分块表示 2022/8/10线性方程组的直接解法5 (5) 单位矩阵矩阵的基本运算 (1) 矩阵加法 (2) 矩阵与标量的乘法 (3) 矩阵与矩阵乘法 (4) 转置矩阵 (6) 非奇异矩阵 称 为非奇异矩阵. 如果 均为非

3、奇异矩阵， 设 如果 则称 是 的逆矩阵，记为 且则2022/8/10线性方程组的直接解法6(7) 矩阵的行列式 设则 的行列式可按任一行(或列)展开，其中 为 的代数余子式，即 的余子式. 为元素行列式性质2022/8/10线性方程组的直接解法75.1.3 矩阵的特征值与谱半径设 ，若存在数 （实数或复数）和非零向量 ，使（1.1）则称 为 的特征值， 为 对应 的特征向量，称为矩阵 的谱半径.（1.2）有非零解， 由(1.1) 知 可使齐次线性方程组 的全体特征值记为 的谱，记作 ，即故系数行列式 ，记2022/8/10线性方程组的直接解法8 称为矩阵 的特征多项式，方程(1.3)称为矩阵

4、 的特征方程.（1.3）记行列式展开 因为 次代数方程 在复数域中有 个根 故故矩阵 的 个特征值 是它的特征方程(1.3)的 个根.且（1.4）2022/8/10线性方程组的直接解法9记（1.5）称 为 的迹. 的特征值 和特征向量 的其他性质： (1) 与 有相同的特征值及特征向量 . (2)若 非奇异，则 的特征值为 ，特征向量为 . (3)相似矩阵 有相同的特征多项式.矩阵 的特征方程为 故 特征值为 例1 求 的特征值及谱半径 的谱半径为 解2022/8/10线性方程组的直接解法10 设 (1) 对角矩阵 (2) 三对角矩阵 (3) 上三角矩阵 (4) 上海森伯格（Hessenber

5、g）阵 (5) 对称矩阵 (6) 埃尔米特矩阵 (7) 对称正定矩阵 5.1.4 特殊矩阵2022/8/10线性方程组的直接解法11 (8) 正交矩阵 (9) 酉矩阵 (10) 初等置换阵单位矩阵 交换第 行与第 行(或交换第 列与第 列) (11) 置换阵 （为交换 第 行与第 行得到的矩阵）；（为交换 第 列与第 列得到的矩阵）；由初等置换阵的乘积得到的矩阵. 定理1 设 则下述命题等价：(1) 对任何 方程组 有唯一解. (2) 齐次方程组 只有唯一解 . (4) 存在. (5) 的秩(3)2022/8/10线性方程组的直接解法12定理2 设 为对称正定阵，则 (1) 为非奇异矩阵，且

6、亦是对称正定阵. (2) 记 为 的顺序主子阵，则 亦是对称正定矩阵，其中 (3) 的特征值 (4) 的顺序主子式都大于零，即 或 的特征值定理3 设 为对称矩阵.如果则 为对称正定阵.2022/8/10线性方程组的直接解法13 定理4(若尔当（Jordan）标准型) 设 为 阶矩阵，则存在一个非奇异矩阵 使得 其中 为若尔当块. (1) 当 的若当标准型中所有若尔当块 均为一阶时，此标准型变成对角矩阵. (2) 如果 的特征值各不相同，则其若尔当标准型必为对角阵2022/8/10线性方程组的直接解法14 设有线性方程组 （2.1）矩阵形式 记为 5.2 高斯消去法5.2.1 高斯消去法 高斯

7、消元法是一个古老的直接法,由它改进得到的选主元法,是目前计算机上常用于求低阶稠密矩阵方程组的有效方法,其特点就是通过消元将一般线性方程组的求解问题转化为三角方程组的求解问题。2022/8/10线性方程组的直接解法15 例2 用消去法解方程组 第2步. 解 第1步. 得等价的三角形方程组 解为 上述过程相当于 引例 其中 表示矩阵的第 行. 2022/8/10线性方程组的直接解法16用逐次消去未知数的方法把原方程组 化为与其等价的三角形方程组，用回代的方法求解三角形方程组. 用行的初等变换将原方程组系数矩阵化为简单形式(上三角矩阵)，从而将求解原方程组(2.1)的问题转化为求解简单方程组的问题.

8、 约化高斯消去法的基本思想2022/8/10线性方程组的直接解法17高斯消去法的步骤记为 (1) 第1步 设 首先计算乘数 用 乘(2.1)的第一个方程，加到第 个方程上，消去(2.1)的从第二个方程到第 个方程中其中的未知数 得到与(2.1)等价的方程组 (2.7)2022/8/10线性方程组的直接解法18简记为 其中 的元素计算公式为 (2) 第 次消元 设上述第1步，第 步消元过程计算已经完成，即已计算好与(2.1)等价的方程组(2.8)简记为 设 计算乘数 加到第 个方程用 乘(2.8)的第 个方程，消去从第 个方程到第 个方程中的未知数 得到与2022/8/10线性方程组的直接解法1

9、9(2.1)等价的方程组 元素的计算公式为 中从第1行到第 行与 相同. (2.9) (3) 继续上述过程，且设直到完成第 步消元计算. 最后得到与原方程组等价的简单方程组 (2.10)消元过程:把原方程组化为上三角形方程组的过程. (2.1)约化为(2.10)2022/8/10线性方程组的直接解法20 如果 是非奇异矩阵，且求解三角形方程组(2.10)的公式 (2.11) 如果 由于 为非奇异矩阵，所以 的第一列一定有元素不等于零. 例如 于是交换两行元素(即 ），将 调到(1,1)位置，然后进行消元计算，这时 右下角矩阵为 阶非奇异矩阵. 继续过程，进行高斯消去.回代过程注用逆次序逐一求出

10、上三角方程组(原方程组的等价方程组)的解2022/8/10线性方程组的直接解法21 定理5 设 其中 (1) 如果将 约化为等价的三角形方程组则可通过高斯消去法(a) 消元计算计算公式： (b) 回代计算 结论2022/8/10线性方程组的直接解法22 (2)如果 为非奇异矩阵，则可通过高斯消去法(及交换两行的初等变换)将方程组 约化为？矩阵 在什么条件下才能保证 定理6 约化的主元素 的充要条件是矩阵 的顺序主子式 即(2.12)2022/8/10线性方程组的直接解法23归纳法当 时，成立.设 时结论成立，证明:充分性. 证充分性对 亦成立. 且有 设可用高斯消去法将 约化到 ，于是由归纳法

11、假设有即 (2.13)2022/8/10线性方程组的直接解法24 由设定理6充分性对 亦成立. 显然，由假设利用(2.13)式，则有利用(2.13)式亦可推出 推论 如果 的顺序主子式 则必要性. 2022/8/10线性方程组的直接解法25计算量 /* Amount of Computation */由于计算机中乘除 /* multiplications / divisions */ 运算的时间远远超过加减 /* additions / subtractions */ 运算的时间，故估计某种算法的运算量时，往往只估计乘除的次数，而且通常以乘除次数的最高次幂为运算量的数量级。 Gaussian

12、Elimination:Step k：设 ，计算因子且计算共进行n 1步(n k) 次(n k)2 次(n k) 次(n k) (n k + 2) 次消元乘除次数：1 次(n i +1) 次回代乘除次数：Gaussian Elimination 的总乘除次数为 ，运算量为 级。 n=20时,顺序Gauss消去法只需3060次乘除法运算.2022/8/10线性方程组的直接解法26Gauss消去法算法消元计算 for for for 回代求解 for 2022/8/10线性方程组的直接解法27求解 高斯消去法 高斯消去法：思路首先将A 化为上三角阵，再回代求解 。=2022/8/10线性方程组的直

13、接解法28消元记Step 1：设 ，计算因子将增广矩阵第 i 行 mi1 第1行，得到其中Step k：设 ，计算因子且计算共进行 ？ 步n 1主元2022/8/10线性方程组的直接解法29回代定理 若A的所有顺序主子式 均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解。注：事实上，只要 A 非奇异，即 A1 存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。2022/8/10线性方程组的直接解法30高斯消去法的矩阵表示第n-1步结束后得到矩阵2022/8/10线性方程组的直接解法31 下面介绍高斯消去法的矩阵分析. 设(2.1)的系数矩阵 的各顺序主子式均不为零. （

14、2.1）5.2.2 矩阵的三角分解施行行的初等变换相当于用初等矩阵左乘第1步消元2022/8/10线性方程组的直接解法32其中 第2步消元2022/8/10线性方程组的直接解法33 一般第 步消元， 化为 , 化为 ， 相当于 其中 重复这过程，最后（2.14） 记上三角矩阵 为 ，由(2.14)得到 2022/8/10线性方程组的直接解法34单位下三角矩阵其中 定理7（矩阵的LU分解） 设 为 阶矩阵，如果 的顺序主子式 则 可分解为一个单位下三角矩阵 和一个上三角矩阵 的乘积，且这种分解是唯一的.证明为非奇异矩阵存在性已证。下证明唯一性 设 其中 为单位下三角矩阵， 为上三角矩阵. 由于

15、存在，故 唯一性得证. 故2022/8/10线性方程组的直接解法35 例3 对于例2，系数矩阵 由高斯消去法，故 解： 由高斯消去法知道，在消元过程中可能出现 即使主元素 但很小时，用其作除数，会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算解不可靠. 这时消去法将无法进行；?2022/8/10线性方程组的直接解法36求矩阵 的LU分解。取变换矩阵则有再取变换矩阵其中例4解：2022/8/10线性方程组的直接解法37 例5 求解方程组 用4位浮点数进行计算. 精确解舍入到4位有效数字为 解法1 用高斯消去法 计算解5.2.3 高斯列主元素消去法2022/8/10线性方程组的直接解

16、法38显然计算解是一个很坏的结果，不能作为方程组的近似解. 原因：解法2计算解为 在消元计算时用了小主元 0.001，使得约化后的方程组元素数量级大大增长，经再舍入使得在计算(3,3)元素时发生了严重的相消情况，因此经消元后得到的三角形方程组就不准确了. 交换行，避免绝对值小的主元作除数. 2022/8/10线性方程组的直接解法39采用高斯消去法解方程组时，小主元可能产生麻烦，应避免采用绝对值小的主元素 每一步选取系数矩阵(或消元后的低阶矩阵)中绝对值最大的元素作为主元素，以使高斯消去法具有较好的数值稳定性. 选主元时要花费较多机器时间印象：全主元素消去法列主元消去法假定(2.1)的 为非奇异

17、的. 设方程组(2.1)的增广矩阵为 首先在 的第一列中选取绝对值最大的元素作为主元素，例如2022/8/10线性方程组的直接解法40然后交换 的第1行与第 行，经第1次消元计算得 重复上述过程，约化为设已完成第 步的选主元素，交换两行及消元计算，其中 的元素仍记为 , 的元素仍记为 . 第 步选主元素(在 右下角方阵的第1列内选)，即确定 ，使 2022/8/10线性方程组的直接解法41交换 第 行与 行的元素，再进行消元计算，最后将原方程组化为 回代求解列主元素消去法的矩阵描述（2.15）其中 的元素是初等置换阵. 由(2.15)则有 若记 2022/8/10线性方程组的直接解法42 考虑

18、 时的 .（2.16） 为单位下三角阵，其元素的绝对值不超过1. 其中 记 由(2.16)得到 其中 为排列矩阵， 为单位下三角阵， 为上三角阵. 实际计算中在计算过程中做行的交换. 定理8 (列主元素的三角分解定理)如果 为非奇异矩阵,则存在排列矩阵 使其中 为单位下三角阵， 为上三角阵. 2022/8/10线性方程组的直接解法43 存储 ： 元素存放在数组 的下三角部分， 元素存放在 上三角部分，由记录主行的整型数组 反映 。列主元素消去法算法 设 . 本算法用具有行交换的列主元素消去法，消元结果冲掉 ，乘数 冲掉 ，计算解 冲掉常数项行列式存放在 中.1. 2. 对于 (1) 按列选主元

19、 (2) 如果 ，则计算停止 (3) 如果 则转(4) 交换行： 2022/8/10线性方程组的直接解法44 (a) (b) 对于 (c) (5) 3. 如果 ，则计算停止 4. 回代求解 (4) 消元计算 对于 5. 2022/8/10线性方程组的直接解法45 例6 用列主元三角分解法解 ，其中解2022/8/10线性方程组的直接解法462022/8/10线性方程组的直接解法47P是排列阵，在计算机中用向量存储解解 2022/8/10线性方程组的直接解法48 5.3.1 直接三角分解法 将 代入 得到 求 求 高斯消去的改写 1. 不选主元的三角分解法 设 为非奇异矩阵，且有分解式 其中 为

20、单位下三角阵， 为上三角阵，即 (3.1) 5.3 矩阵三角分解法两个三角形方程组2022/8/10线性方程组的直接解法49L、U 的元素的确定得U 的第1行元素得L 的第1列元素类似地，得U 的第2行元素得L 的第2列元素2022/8/10线性方程组的直接解法50 设已经定出 的第1行到第 行元素与 的第1列到第 列元素, 得U 的第r 行元素得L 的第r 列元素2022/8/10线性方程组的直接解法51直接三角分解法解 的计算公式 计算 的第 行和 的第 列元素 (3.2) (3.3) 求解 的计算公式； (3.4) (3.5)( 的所有顺序主子式都不为零)2022/8/10线性方程组的直

21、接解法52三角分解的计算过程Step1Step2Step3Step4Step5Step6Step2n-1Step2(n-1)依次交替进行再计算 的列先计算 的行对方程组求解,只要得到了系数矩阵的三角分解形式,再利用前代算法和回代算法解两个三角方程组即得.存储计算量杜利特尔分解/* Doolittle Factorization */：乘除法大约 次，和高斯消去法计算量基本相同. 每解一个方程组 仅需要增加 次乘除法运算. 2022/8/10线性方程组的直接解法53 例7 用直接三角分解法解 解从而求例中矩阵A的逆矩阵.可分别取常向量 b1=(1,0,0)T, b2=(0,1,0)T, b3=(

22、0,0,1)T 求解 得求解得2022/8/10线性方程组的直接解法54例8 用直接三角分解法求解下列方程组解：系数矩阵2022/8/10线性方程组的直接解法552. (部分)选主元的三角分解法 直接三角分解当 时计算将中断，当 绝对值很小时，计算可能引起舍入误差的累积. 如果 非奇异，可通过交换 的行实现矩阵 的 分解.直接三角分解法 设第 步分解已完成，这时有 2022/8/10线性方程组的直接解法56于是为了避免用小的数 作除数，引进量 取 交换 的 行与 行元素，将 调到位置(将 位置的新元素仍记为 及 )，于是有 由此再进行第 步分解计算. （3.2） （3.3）2022/8/10线

23、性方程组的直接解法57 1. 对于 设 ，其中 为非奇异矩阵.(1) 计算 (2) 选主元 (4) 计算 的第 行元素， 的第 列元素 (3) 交换 的 行与 行元素(部分)选主元的三角分解法算法 求解 2022/8/10线性方程组的直接解法58 2. 对于 (1) (2) 如果 则转(3) (3) (继续循环) 3. 4. 利用算法2的结果 可以计算 的逆矩阵 步骤： (1) 计算上三角矩阵的逆阵(2) 计算 上述方法求 大约需要 次乘法运算. (3) 交换 列(利用 最后记录). 2022/8/10线性方程组的直接解法59 例6 用列主元三角分解法解 ，其中解2022/8/10线性方程组的

24、直接解法602022/8/10线性方程组的直接解法61P是排列阵，在计算机中用向量存储解解 2022/8/10线性方程组的直接解法62求解对称正定方程组的方法 设 为对称矩阵，且 的所有顺序主子式均不为零， 可惟一分解为 可写为 5.3.2 平方根法 对称正定矩阵的三角分解其中 为对角阵， 为单位上三角阵. 于是 (3.6)2022/8/10线性方程组的直接解法63又 由分解的惟一性, 得 代入(3.6)得 定理9 (对称阵的三角分解定理) 设 为 阶对称阵，且 的所有顺序主子式均不为零，则 可唯一分解为 其中 为对角阵， 为单位下三角阵. 若 为对称正定矩阵，则在分解式 中， 的对角元素 均

25、为正数. 事实上，由 的对称正定性，有 2022/8/10线性方程组的直接解法64于是 此时 其中 为下三角矩阵. 定理10 (对称正定矩阵的三角分解或Cholesky分解)如果 为 阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异下三角阵使当限定 的对角元素为正时，这种分解是唯一的. 2022/8/10线性方程组的直接解法65计算 元素的递推公式. 其中又 由矩阵乘法解对称正定方程组 的平方根法计算公式： 对于 l. （3.7） 2. 2022/8/10线性方程组的直接解法66求解 即求解两个三角形方程组： 4. 3. （3.8）2022/8/10线性方程组的直接解法67因对称性无需存储Step1Ste

26、p2Step3Stepn的计算过程:逐 列 计 算元素仍然存放在矩阵 的相应位置上2022/8/10线性方程组的直接解法68解 例9 解线性方程组2022/8/10线性方程组的直接解法69于是 这个结果说明，分解过程中元素 的数量级不会增长且对角元素 恒为正数. 当求出 的第 列元素时， 的第 行元素亦算出. 所以平方根法约需 次乘除法。数值稳定不选主元素的平方根法 所以 为对称阵，在计算机实现时只需存储 的下三角部分.由计算量不选主元素的平方根法 存储2022/8/10线性方程组的直接解法70 下三角部分共需存储 个元素，可按行主序用一维数组存放，即矩阵元素 在一维数组中表示为 的元素存放在

27、 的相应位置. 平方根法的改进避免开方运算即 2022/8/10线性方程组的直接解法71 l. （3.9） 对于 2. 引进 按行计算 元素的公式： 1. 2. 3. （3.10） 对于 2022/8/10线性方程组的直接解法72Step1Step2Step3Stepn元素的储存比消去法节省一半，但比平方根法多用一个单元内存，因此透明度很差。2022/8/10线性方程组的直接解法73 5. 4. （3.11）改进的平方根法 求解 计算公式 1. 2. 3. （3.10）2022/8/10线性方程组的直接解法74例10 用LDLT解方程组解2022/8/10线性方程组的直接解法75例10 用LD

28、LT解方程组解2022/8/10线性方程组的直接解法76系数矩阵为对角占优的三对角线方程组（3.12）简记为 其中，当 5.3.3 追赶法三对角线方程组LU分解会是什么样子？2022/8/10线性方程组的直接解法77其中 为下三角矩阵， 为单位上三角矩阵. 由系数阵 的特点，可以将 分解为两个三角阵的乘积，即 设 （3.13）其中 为待定系数. 由矩阵乘法（3.14）2022/8/10线性方程组的直接解法78（3.15）即由得 时由对角占优的条件，(3.15)是成立的. 现设(3.15)对 成立，求证对 亦成立. 由归纳法假设 又由(3.15)及 的对角占优条件，有 U的特点2022/8/10

29、线性方程组的直接解法79计算公式i = 2, 3, , n-1求解 等价于求解两个三角形方程组： 2022/8/10线性方程组的直接解法80三对角线方程组的追赶法公式： 1. 计算 的递推公式 2. 解 3. 解 赶：追：2022/8/10线性方程组的直接解法81 定理11设有三对角线方程组 , 其中 满足条件(a)，(b)，(c)，则 为非奇异矩阵且追赶法计算公式中2 满足： 1追赶法是把高斯消去法用到求解三对角线方程组. 由于 特别简单，因此求解的计算公式也非常简单，计算量也很小. 2022/8/10线性方程组的直接解法82 解例11 解线性方程组2022/8/10线性方程组的直接解法83

30、2022/8/10线性方程组的直接解法84赋范线性空间算子数空间泛函函数微积分抽象函数 泛函分析研究空间、算子的普遍规律。以各种学科为具体背景，把客观世界中的研究对象抽象为元素和空间，对象间的关系抽象为算子。从而把表面不相关的学科统一在它的普遍规律和共同框架之下。具有高度的抽象性和广泛的应用性，是数值分析的基础。2022/8/10线性方程组的直接解法85三维欧氏空间中向量长度概念的推广将实数 定义2（或 ）.设（或复数 ）称为向量 的数量积. 5.4.1 向量范数5.4 向量和矩阵的范数 将非负实数 或称为向量 的欧氏范数 . 向量的数量积、欧氏范数及其性质2022/8/10线性方程组的直接解

31、法86 定理12设则 5. (Cauchy-Schwarz不等式) 等号当且仅当 与 线性相关时成立； 6. 三角不等式 2022/8/10线性方程组的直接解法87（4.1）则称 是 (或 )上的一个向量范数(或模). 由条件3 定义3如果向量 (或 )的某个实值函数 ，满足条件：(向量的范数)（4.2）从而有2022/8/10线性方程组的直接解法88常用的向量范数 1. 向量的 -范数(最大范数)： 2. 向量的1-范数： 3. 向量的2-范数： 也称为向量 的欧氏范数. 4. 向量的 -范数： 其中 . 例12计算向量 的各种范数. 解 2022/8/10线性方程组的直接解法89向量序列的

32、收敛如果 定义4设 为 中一向量序列， 则称 收敛于向量 ，记记为 向量范数的连续性 定理13（ 的连续性）设非负函数 为 上任一向量范数，则 是 的分量 的连续函数.证明设其中 即 2022/8/10线性方程组的直接解法90证明只要就 证明上式成立即可，即证明存在常数 使 考虑泛函 定理14 (向量范数的等价性) 设 为 上向量的任意两种范数，则存在常数 使得对一切有记 则 是一个有界闭集. 由于 为 上的连续函数，所以 于 上达到最大最小值，向量范数的等价2022/8/10线性方程组的直接解法91即存在 使得设 且则从而有 （4.3）显然 上式为 即 有限维空间如果在一种范数意义下向量序列

33、收敛时，则在任何一种范数意义下该向量序列均收敛. 结论Rn 上一切范数都等价。2022/8/10线性方程组的直接解法92定理15显然，于是 其中为向量的任一种范数. 使 而对于 上任一种范数，由定理14，存在常数证明2022/8/10线性方程组的直接解法93 视 中的矩阵为 中的向量，则得 上的2范数 5.4.2 矩阵范数 定义5 (矩阵的范数) 如果矩阵 的某个非负的实值函数 ,满足条件 （4.4）则称 是 上的一个矩阵范数(或模). Frobenius 范数相容2022/8/10线性方程组的直接解法94（4.5）对任何向量 及 都成立称矩阵范数和向量范数相容 定义6设 , ，给出一种向量范

34、数 (如 或)，相应地定义一个矩阵的非负函数(矩阵的算子范数)（4.6）可以验证 满足定义5，所以 是 上矩阵的一个范数，称为 的算子范数，也称从属范数. 2022/8/10线性方程组的直接解法95（4.7）证明由(4.7)，有 定理16 设 是 上一个向量范数，则 是 上矩阵的范数，且满足相容条件 由现只验证条件4. 当 时，有 相容性条件显然.故 2022/8/10线性方程组的直接解法96 显然这种矩阵范数 依赖于具体的向量范数 . 定理17 设 , ，则其中 表示 的最大特征值. 证明 1. 设 , 不妨设 . 记 （4.6）2022/8/10线性方程组的直接解法97则 对任何非零 ，（

35、4.8）有 设 ，取向量 , 其中 显然 ,且 的第 个分量为 这说明 2022/8/10线性方程组的直接解法98 3. 由于对一切 从而 的特征值为非负实数，（4.9）设为 为对称矩阵，设 为 的相应于(4.9)的特征向量且 ，又设 为任一非零向量，于是有 其中 为组合系数，则 另一方面，取 ，则上式等号成立，故 2022/8/10线性方程组的直接解法99 例7设 ，计算 的各种范数. 解 对于复矩阵(即 )定理17中的第1,2项显然也成立，3应改为2022/8/10线性方程组的直接解法100 证明 设 是 的任一特征值， 为相应的特征向量，则 ，由相容性条件得 注意到 , 即得 定理18 对任何 为任一种算子范数,则 （对 也成立）反之，对任意实数 ,至少存在一种算子范数 ，使（4.11）（4.10） 定理19 如果 为对称矩阵，则2022/8/10线性方程