2022年【典型例题】第三章一阶微分方程的解的存在定理

1、学习必备 欢迎下载 第三章 一阶微分方程的解的存在定理 例 3-1 求方程 中意初始条件 y 0 dy 2 x 2 y h 的 dx 0 的解的逐次靠近 y1 x, y2 x, y3 x ,并求出 h 的最大值,其中 意义同解的存在唯独性定理中的 h； 2 2 解 函数 f x, y x y 在整个平面上有意义, 就在以原点为中心的任一闭矩形区域 dy D : x a, y b 上均中意解的存在唯独性定理的条件,初值问题 dx x 2 y 2 的解在 y0 0 h, h 上存在唯独,其中 h min a, M b , M x, y D max x 2 y ； 2由于逐次靠近函数序列为 y n

2、x y 0 x f x, y n 1 x dx , a 2 bb 2 取得最大值 x 0此时, x 00, y 00, f x, y x 2 y 2 ,所以 y0 x 0, y1 x x 20 x 2 y0 x dx 3 x , 3y2 x x 20 x 2 y1 x dx 3 x 7 x , 363 y3 x x 20 x 2 y2 x dx x 2 x x 6 92 x 10 189 x 14 dx 3969 0 x 3 3x 7 63 2 x 11 2079 x 15 ； 59535 现在求 h 的最大值； 由于 h mina, ba 2 b对任给的正数 a, b , a 22 , 2a

3、b,上式中,当 ab时, b 2 b 2ab 1； 2a 第 1 页,共 9 页此时, h min a, b 2ab 学习必备 欢迎下载 1,即 a 2a b2时, h 取得 min a, 1 2a ,当且仅当 a2最大值为 2； 2评注： 此题主要考查对初值问题的解的存在唯独定理及其证明过程的基本思想 （逐次逼 近方法）的懂得；特别地,对其中的 h mina, b , M max f x, y, D : x a, y bM x, y D x 等常数意义的懂得和对逐次靠近函数列 yn x y0 x0 f x, yn 1 xdx 的构造过程的理 解； 例 3-2 证明以下初值问题的解在指定区间上

4、存在且唯独； M1） y y2 cosx 2, y0 0,0 x 1； 22） y x 2 y ,y0 0,0 x 1 2 3 ； 2证 1） 以原点为中心作闭矩形区域 D : x 1 , 2y 1； 易验证 f x, y 2 y 2 cos x 在区域 D 上中意解的存在唯独性定理的条件,求得 max x, y D y 2 cos x22 ,就 hmin 1 , 1 2 2 1； 2因此初值问题 2 2y y cosx y0 0的解在 1 , 1 上存在唯独,从而在区间 2 2 0, 1 上方程 2 y y 2 cos x 2, 中意条件 y0 0 的解存在唯独； 2） 以原点为中心作闭矩形

5、区域 D : x a, y b； 易验证 f x, y y2 x 在 D 上中意解的存在唯独性定理的条件,并求得 Mx , y D max y 2 x a b 2 , 就 h mina, b2 ； a b第 2 页,共 9 页由于 a b 2 2 ab ,所以当 a学习必备 欢迎下载 2取到最小值 2 ab ,从而 abb2 可 b2时,当 a b取到最大值 b 1,故 h min a, 1 ； 2 ab 2a 2a当且仅当 a 1,即 a 1 23 , b 1 13时, h 取到最大值为 h ； 1 22 a 2 2 22 2 2即证明白初值问题 y y x 的解在区间 1 3 , 3 上存

6、在唯独； 1y0 0 2 2从而在区间 0, 1 23 上解存在唯独； 2评注： 此例是应用解的存在唯独性定理, 求出初值问题解存在唯独的区间； 一般解法是 先作出适当的闭矩形区域； 然后验证在此区域中中意解的存在唯独性定理的条件； 最终求出 定理 3.1 中的 h ； 例 3-3 证明假如在闭矩形域 D 上 f 存在且连续 , 就 f x, y 在 D 上关于 y 中意利普 y 希兹条件,反之不成立； 证 由于在闭矩形域 D 上 f 存在且连续 , 所以 f y 在区域 D 上有界,即 M0 , y x, y D 有 y 2M y y , f x, y y M成立,利用中值定理, x, y1

7、 , x, y2 Df x, y f x, y 2 f x, y 1y 其中 是介于 y1, y2 之间的点,命题得证； 反之不成立； 但 由于对于方程 dy y ,取以原点为中心的矩形域 D , f x, y y 在 y 0 无导数, dx f x, y1 f x, y2 y1 y2 y1 y2 , 第 3 页,共 9 页学习必备 欢迎下载 故 f x, y 在 D 上关于 y 中意利普希兹条件； 评注： 通过本例的证明明显可以得到下面结论：如 f 在某矩形区域 D内某一点 y x0 , y0 处不存在, 且在 x0 , y0 的邻域内无界, 就 f x, y 条件； 在 D 上关于 y 不

8、中意利普希兹 例 3-4 举例说明定理 3.1 中的两个条件是保证初值问题的解存在唯独的充分条件, 而非 必要条件； 解 1 ） 当连续条件不中意时,解也可能存在唯独；如方程 dy f x, y ay ax a0, y ax ,但解存在唯独, 过 0y ax dx 明显 f x, y 在以原点为中心的矩形域中不连续, 间断点为直线 原点的解为 y ax , a 0 ； 2） 当利普希兹条件不中意时,解也可能存在唯独；如方程 dy f x, y y ln y y 0, 0y 0dx 由于 f x, y1 f x,0 y1 ln y1 0ln y1 y1 0, y1 0, ln y1 ,无界, 因

9、而 f x, y 在 x,0 的任何邻域内不中意利普希兹条件；然而 dy y ln y , dy dx x C2 e , dx y ln y ln ln y x C1 , ln y y eC 2ex , y 0可见方程通过 x,0 解存在唯独； 评注： 在应用定理 时,确定要留意,当条件不中意时,不能得出解不存在唯独的结 第 4 页,共 9 页学习必备 欢迎下载 论； 例 3-5 利用解的存在唯独性定理,查找区域 G ,使得 x0 , y0 G ,方程 12 y dy1y 2 dx 中意初始条件 y x0 y0 的解存在唯独； 解 设 f x, y 2 1 y ,明显,它在整个平面上连续； 而

10、 f x, y 1y ,由例 3-3,在不包含 y 1 的区域内, 有 f x, y y y 2 中意利普希兹条件； 如 y 1 时, f x, y 不存在,但当 y 1 , f x, y 无界,即在包含点 x,1 或 y y x, 1 的任何区域中利普希兹条件不成立； 故得所求区域为 G x, y x , y 1, 1 x 1,1 x ； 评注： 查找解的存在唯独性定理中的条件所中意的区域,就是查找 f x, y 连续和关于 y 中意利普希兹条件的区域；对于所得到的区域 G , x0 , y0 G ,都能存在一个完全包 含在 G 内的闭矩形区域,使得在此矩形域中中意解的存在唯独性定理的条件,

11、从而保证初 值问题的解存在唯独； 例 3-6对于方程 dy y 和点 0, y 能否应用定理 . dx x 解 当 y0 0 时,我们可以考虑方程 dx x , dy y x dx x 其右端函数 f x, y 中意定理 的条件,即方程 通过点 0, y 的解存在唯独, y dy y 此时解为 x 0； y0 0 时,定理 不能用；事实上,由方程 dy y 的通解表达式 y Cx 知,方程通 dx x 过 0,0 的解不为一； 第 5 页,共 9 页学习必备 欢迎下载 y 的函数； 评注： 在争论解的存在唯独性时,也可以将 x 视为 例 3-7 能否用逐次靠近序列求初值问题 dy dx y0

12、1 y 3 0的解； 解 不能,由于用逐次靠近函数序列 y0 x y0 , yn x y0 x f x, yn 1 x dx 得 3x 00 x 0 , x x 0 dx 0, x 0,； 0即 nx 收敛于解 y 0 ；但另一方面,通过方程直接求解得 y x 2 x 2也是方程 3dy 1中意条件 y0 0 的解,即用逐次靠近函数序列就不能得到此解； y 3 dx 评注： 应在保证初值问题解存在唯独的情形下,利用逐次靠近序列序列求近似解； 例 3-8 证明：假如函数 f x, y 于整个 xoy 平面上连续有界,且关 于 y 中意局部利普希 ； x0 , y0 的解存在唯 兹条件,就方程 d

13、y f x, y 的任一解均可以延拓到区间 x dx 证 易验证 f x, y 中意延拓定理的推论的条件, 就过平面上任一点 一且可延拓,设过 x0 , y0 的解为 x, x0 , y0 ； 由于 f x, y 有界,即 M0, x, y R2,均有不等式 f x, y M 成立,我们考 虑以下三个初值问题 dy M, dy f x, y , dy M, y0 , dxdx dxyx0 y0 y x0 y0 yx0 y0 明显, Mf x, y M,由第一比较定理,得, x0 当 x x0 时, M x x0 y0 x, x0 , y0 M x 当 x x0 时, M x x0 y0 x,

14、x0 , y0 M x x0 y0 , 即对任何有限区间 , ,当 x 趋于区间端点时, x, x0 , y0 都不行能无界,由延拓 第 6 页,共 9 页定理的推论知, x, x0 , y0 学习必备 欢迎下载 , ；又由 x0 , y0 的任意性,命 的解可延拓到整个区间 题得证； 评注：解的延拓定理的条件再加上 f x, y 有界是保证解的存在区间为 , 的充分 条件,而非必要条件,比如柯西问题 y 1 y 2 , y y x0 y0 的解为 y sh x C ,其存在区间为 , ,而 1 y 在 xoy面上无 2界； 2例 3-9 设 f x, y 在 R 上连续,求证：对 x 0 R

15、 ,只要 y 0 充分小,初值问题 2 2x y y e f x, y （ 1） y x0 y0 的解必可延拓到 x0 , ； 2 2 2 x 2证 由于 f x, y 在 R 上连续,就方程的右端函数 F x, y y e f x, y 在 R上连续；且在任意有界闭区域 G 上都有下式成立 F x, y1 F x, y2 2 2 x 2 2x y1 e f x, y1 y2 e f x, y2 M G y1 y2 其中 M G 表示 y1 y2 f x, y 在 G 中的最大值； 这样 F x, y 就关于 y 中意局部利普希兹 条件； 故初值问题（ 1）的解必存在唯独,且连续可微,可进行延

16、拓； 下面将证明对 x0 R ,当 y0 充分小时,初值问题（ 1）的解在区间 x0 , 上存在； x 用反证法；如不然,初值问题（ 1）有解 y x ,其中取 y 0 e 0,它的右行饱和 区间为 x0 , ,且当 x 时 x 无界； 这样,必存在点 x1 x0 , ,使得 x1 e x1 （或 x1 e x1 ）,且 x1 e x1 0 x （或 x e 1 0）； 第 7 页,共 9 页另一方面,由于 y y 2 学习必备 欢迎下载 y ex 上,解曲线的斜率为零, e 2 x f x, y ,可知在曲线 即有 x1 0 ；冲突； x 时,初值问题（ 1）的解在区间 x , 上存在； 因

17、此,对 x0 R ,当 y 0e 0 评注： 在应用解的延拓定理时,留意特别曲线上积分曲线的性质；类似的问题有： 2 设 f x, y 在 R 上连续,求证：对 x0 R,只要 y0 充分小,初值问题 y 0 的解都 y y2 x 2 f x, y y x0 y0 的解必可延拓到 x0 , ； 例 3-10 试证对任意 x0 , y0 ,方程 dy x 2 x y 2 2 1中意初始条件 y x0 dx 在 , 上存在； 证 函数 x2 x y 2 2 1在整个 xoy 平面上中意存在唯独性定理的条件,且有 02 x 2 x 11； 2 y 将原方程与以下方程 dy dy 0 与 dx 1y

18、x0 y0 的解 yx 在其存在区间上中意 , 上存在； dx 比较,由比较定理,原方程中意 y0 y x y0 x x0 , 当 x x0 时, , 当 x x0 时, y0 x x0 y x y0 由延拓定理,积分曲线 y y x 可以无限远离原点,故 y x 必在 评注： 本例是比较定理的应用,也可用例 3-8 直接得出结论； 例 3-11 利用克莱罗（ Clairaut ）方程构造一个以 y x 为奇解的一阶方程式,这里 假设 1 C a, b ,且x 为 x 的严格单调函数； 第 8 页,共 9 页学习必备 欢迎下载 x 应中意此方程的 p判别曲线方 解 需要构造的一阶方程式是克莱罗方程, 且 y 程,因此,我们构造 p判别曲线方程 xp x xp , y x 其中将 x 视为 p 的函数,现寻求 x 关于 p 的表达式； 为此,对式 y x xp x xp 两端关