数学课件微积分上4

1、第四章 中值定理与导数的应用Vocabulary:Asymptote 渐近horizontal vertical obliqueMonotonicity 单调性increasing/decreasing test Minima &maxima 最小&最大local minima /maxima global minima /maximaChapter 4 Mean Value Theorem & Applications of DerivativesConcavity 凹性Concave down/up Point of inflection第一节 中值定理一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗

2、日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理四、小结 思考题函数导数的定义为即函数在点 x 处的导数等于时, 函数的极限值.在点 x 处的差商导数与差商 我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或“小范围”性质, 推出其整体的或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”. 这些中值定理的创建要归功于费马、拉格朗日、柯西等数学家.一、罗尔(Rolle)定理例如,点击图片任意处播放暂停物理解释：变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.几何解释：证注意：若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,又例

3、如,例1证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,其中,例2证综上所述,注：如何证明函数方程“至少”（或“至多” 或 “唯一”）有一个根？Rolle定理,反证零点定理或Rolle定理零点定理+单调性或Rolle定理使注意：定理条件只是充分的.另外,本定理可推广为在( a , b )内可导,且在( a , b ) 内至少存在一点证明提示：设证F(x)在 a , b 上满足罗尔定理. 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理几何解释：证分析：弦AB方程为作辅助函数拉格朗日中值公式注意：拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值定理又称有限增量定

4、理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理推论1推论2例3证延拓!推论 3 用来证明一些重要的不等式故从而例4证例5证由上式得推论 4某一时刻达到它的平均速度.拉格朗日中值定理告诉我们, 在 t=a 到t=b 的时间段内, 连续运动的物体至少会在三、柯西(Cauchy)中值定理几何解释:证作辅助函数有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理, 就可证明柯西中值定理了.例6证分析：结论可变形为四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.关键：利用逆向思维设辅助函数.思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.思考题解答不满足在闭区间上连续的条件；且不满足在开区间内可导的条件；以上两个都可说明问题. 设(x)在a , b上连续, 在(a , b)内可导, 且(a) = (b) =0. 试证: 在(a , b)内至少存在一点,使得证则F(x)在a , b