两条直线的位置关系（一）

1、PAGE 第七章直线和圆的方程第六课时7.3.1两条直线的位置关系（一）教学目标（一）教学知识点1两直线平行的充要条件.2两直线垂直的充要条件.（二）能力训练要求1掌握斜率存在的两直线平行或垂直的充要条件.2能根据直线方程判断两条直线是否平行或垂直.3能够建立恰当的坐标系，用解析法证明平面几何定理.4能用解析法解决平面几何问题.（三）德育渗透目标1能用联系的观点看问题.2能用“一分为二”的思想看问题、分析解决问题.教学重点两直线平行或垂直的充要条件.教学难点两直线平行或垂直的充要条件的理解与应用.教学方法学导式两条直线的平行或垂直关系在初中平行几何中对于学生并不陌生.本节将从一个新的角度，即通

2、过直线方程来研究平面内两条直线的平行或垂直关系.要注意引导学生将平面几何中两条直线平行或垂直关系的判定条件转化为两直线方程的关系.教具准备幻灯片四张第一张：直线的方向向量概念（记作7.3.1A）第二张：两直线平行问题（记作7.3.1B）第三张：两直线垂直问题（记作7.3.1C）第四张：本节例题（记作7.3.1D）教学过程课题导入师在初中几何中，我们研究过平面内两条直线互相平行和垂直的位置关系，现在，我们研究怎样通过直线的方程来判定平面直角坐标系中两条直线的平行或垂直的关系.首先，我们来复习平面向量的有关知识.（给出幻灯片7. 3. 1A）直线上的向量及与它平行的向量都称为直线的方向向量.直线P

3、1P2的方向向量的坐标是（x2x1，y2y1）其中P1（x1，y1），P2(x2，y2)，当x1x2，时，向量也是的方向向量，且它的坐标是，即（1，k），其中k是直线P1P2的斜率.师另外，我们回顾一下两非零向量a、b互相垂直的充要条件是什么？生ab ab0.师好，下面我们就开始讨论两条直线的平行问题.讲授新课（给出幻灯片7. 3. 1B）1两条直线的平行问题结论：当直线l1和l2有斜截式方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb2时，l1l2k1k2且b1b2.说明：当k1或k2不存在时，容易判定两条直线的位置关系.指导：设直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，如果l1l2（如图），那么

4、直线l1和l2在y轴上的截距不相等，即b1b2，但它们的倾斜角相等，即.（为什么？）生根据“两直线平行，同位角相等”.反过来，如果b1b2，则l1和l2不重合.又如果k1k2，即，那么由0180，0180，并利用正切函数的图象，可知，所以l1l2.（为什么？）生根据“同位角相等，两直线平行”.师下面，我们继续研究两直线垂直的关系.2两条直线的垂直问题结论：如果两条直线的斜率为k1和k2，那么，这两条直线垂直的充要条件是k1k21.说明：当k1或k2不存在时，容易判定两直线是否垂直.推导：设直线l1、l2的斜率分别是k1和k2，则直线l1有方向向量a（1，k1），直线l2有方向向量b(1，k2)

5、.根据两向量垂直的充要条件，可知：l1l2abab011k1k20，即l1l2k1k21.师下面我们通过题组训练来进一步熟悉两直线平行或垂直的条件.3题组训练题组训练一例1a为何值时，直线（a1）x2y40与xay10，（1）平行；（2）垂直.师请大家结合这节课推导的两直线的平行或垂直的条件，进行求解，在熟悉题目以后，可以谈一下自己的解题思路.生甲为了利用两直线平行或垂直的条件，可以表示出两直线的斜率，直线(a1)x2y40的斜率为k1，直线xay10的斜率为k2，然后套用两直线平行或垂直的条件.生乙“生甲”在求解直线xay10的斜率时有问题，因为a是否为0并不确定，所以不能直接表示为，而应对

6、a是否为0进行讨论，当a0时，斜率可以表示为；当a0时，直线xay10的斜率不存在，此时应考虑直线（a1）x2y40的斜率是否为0.生丙此题也可以从直线（a1）x2y40的斜率入手进行讨论：当a10时，斜率表示为；当a10时，直线（a1）x2y40的斜率为0，此时应考虑直线xay10的斜率是否不存在.师好的，下面大家根据自己的理解写出具体的解答过程.解：当a0或1时，两直线既不平行，也不垂直.当a0且a1时，直线（a1）x2y40的斜率为k1，b12；直线xay10的斜率为k2，b2.当k1k2，b1b2，即，a时，解得a1或a2.所以当a1或2时，两直线平行；当k1k21，即所以当时，两直线

7、垂直.例2直线l1：2x(m1)y40与直线l2：mx3y20平行，则m的值为（）A2B3C2或3D2或3师大家结合两直线平行的充要条件进行求解.解法一：l1：2x(m1)y40，l2：mx3y20.当m0时，显然l1不平行于l2；当m0时，若l1l2，须由式有m2m60，解得m2或m3.显然m2或m3满足.应选C.解法二：若l1l2，须23m(m1)0，解得m3或m2.当m3或2时，A1C2A2C12（2）m444m0，m3或2为所求.应选C.师大家根据上述两个例题，考虑如何根据直线方程的一般式判定两直线平行.生丁针对直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.由l1l2k1k2

8、且b1b2，得即A1B2A2B10且B1C2B2C10.生戊在表示直线的斜率时，应讨论分母是否为0，上述情况可作为B10，B20的情形.当B10，B20时，l1l2，即A1C2A2C10.综上所述，l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10或A1C2A2C10.师上述判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性.例3直线（a2）x(1a)y30与(a1)x(2a3)y20互相垂直，则a为（）A1B1C1D解：A1a2，A2a1，B11a，B22a3.两直线垂直，(a2)(a1)(1a)(2a3)0.整理，得(a1)(a1)0.a1，应选C.师下面大家

9、仿照例2结论的推导过程来寻求根据直线方程的一般式判定两直线垂直的条件.生己设l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.当B10，B20时，k1l1l2，即A1A2B1B20，当B10时，A20；当B20时，A10，满足A1A2B1B20.综上所述：l1l2 A1A2B1B20.师从这位同学的思路可以看到上述判定方法包含了上述分析的两种情况，避开了对斜率的分类讨论.题组训练二例4求与直线3x4y10平行且过点（1，2）的直线l的方程.分析：本题已知一点坐标，故可考虑用直线方程的点斜式求解，而互相平行的两直线斜率相等；或者可设出与l平行的直线系方程，再利用题设求解.解法一：设直线l的斜率

10、为k.l与直线3x4y10平行，k又l经过点（1，2），可得所求直线方程为y2即3x4y110.解法二：设与直线3x4y10平行的直线l的方程为3x4ym0.l经过点（1，2），3142m0，解得m11.所求直线方程为3x4y110.例5已知ABC的顶点坐标为A（1，2），B（1，1），C（0，3），求BC边上的高所在的直线方程.分析：BC边上的高所在的直线的斜率与直线BC的斜率互为负倒数，然后用点斜式求解.解：设BC边上的高所在直线斜率为k，则kkBC1.又kBC，k.由点斜式得y2(x1)，即x2y50.例6求与直线3x4y10平行，且在两坐标轴上截距之和为的直线l的方程.分析：由l与直线

11、3x4y10平行联想，可设直线l的方程为3x4ym0，也可由两截距之和为解法一：设直线l的方程为3x4ym0，令x0，得y轴上截距b，令y0，得x轴上截距a，解得m4.所求直线l的方程为3x4y40.解法二：设直线l方程为所求直线方程为3x4y40.师下面大家通过练习进一步熟悉两直线平行或垂直条件的应用.课堂练习1判断下列各对直线是否平行或垂直.（1）y3x4与2y6x10；（2）yx与3x3y100；（3）3x4y5与6x8y7.解：（1）两直线平行.（2）k11，k21.k1k21， 两直线垂直.（3）k1k2，k1k21，两直线既不平行也不垂直.2求过点A（2，3）且分别适合下列条件的直

12、线的方程.（1）平行于直线2xy50；（2）垂直于直线xy20.解：（1）k2，y32(x2)，即2xy70.（2）k1，y3(x2)，即xy50.3已知两条直线l1、l2，其中一条没有斜率，求这两条直线有以下位置关系的充要条件：（1）平行；（2）垂直.解：（1）另一条直线也没有斜率，且两条直线在x轴上的截距不相等.（2）另一条直线斜率为0.4讨论下列各对直线是否平行或垂直.（1）l1：AxByC10；l2：AxByC20；（2）l1AxByC10；l2BxAyC20.解：（1）当C1C2时，l1l2；l1与l2不可能垂直.（2）l1l2.课时小结师通过本节学习，要求大家掌握两直线平行和垂直的

13、充要条件，并能进行简单的应用.同时注意两直线平行或垂直的充要条件的适用前提.课后作业（一）课本P53习题7. 31证明下列直线互相平行.（1）3x5y40，6x10y70;（2）2x4y30，x2y0.证明：（1）k1k1k2，b1b2，两直线互相平行.（2），k1k2，b1b2，两直线互相平行.2根据下列条件，求直线的方程.（1）经过点A（3，2），且与直线4xy20平行；（2）经过点C（2，3），且平行于过两点M(1，2)和N（1，5）的直线；（3）经过点B（3，0），且与直线2xy50垂直.解：（1）k4，由点斜式得y24(x3)，即4xy140.（2）由点斜式得y3，即7x2y200.

14、（3），由点斜式得即x2y30.4证明下列直线互相垂直（1）2x3y40；（2）3x2y10.证明：k1k21，两直线互相垂直.5已知两点A（7，4），B（5，6），求线段AB的垂直平分线的方程.解：kABAB的垂直平分线斜率为，AB中点（1，1）.由点斜式得y1(x1)，即6x5y10.（二）1预习内容：P47492预习提纲：（1）直线l1到l2的角与l1、l2的夹角这两个概念有何区别？（2）直线l1到l2的角与l1、l2的夹角的范围一样吗？板书设计7.3.1两条直线的位置关系（一）1平行问题：2垂直问题： l1l2l1l2（存在斜率）（k1，k2存在）3例1学生例2练习例3备课资料一、参考

15、例题例1两条直线A1xB1yC10，A2xB2yC20垂直的充要条件是（）AA1A2B1B20BA1A2B1B20CD解：当B1B2都不为零时，k1k2，A1A2B1B20.当B10时，两直线垂直的充要条件是A20；当B20时，两直线垂直的充要条件是A10，所以满足A1A2B1B20，故选A.评述：一定要注意A1，B1及A2，B2不能同时为零，也要注意斜率等于零与斜率不存在的两条直线互相垂直.例2如果直线ax2y20与直线3xy20平行，那么系数a为（）A3B6CD解：若两直线平行，则，解得a6.故选B.评述：此题通过直线方程的系数比例关系来判断两直线的位置关系.二、参考练习题1若原点在直线l上的射影是点P（2，1），则直线l的方程是（）Ax2y0Bx2y40C2xy50D2xy30解：由已知，得kOP，再由lOP，所以kOPk11.k12.又直线l过点P（2，1），所以l方程为y12(x2)，即2xy50.故选C2若A（4，2），B（6，4），C（12，6），D（2，12），则下面四个结论正确的个数是（）ABCDABCDACBDACBDA1B2C3D4解：kABAB方程为y2(x4)，即3x5y20.C（12，6）不在AB上.ABCD.又kADkABkAD1.ABAD.|A