苏教版高中数学选择性必修一第4章习题课《利用递推公式构造等差、等比数列求通项》课件

1、苏教版高中数学课件利用递推公式构造等差、等比数列求通项一、利用递推公式构造等差数列求通项例1已知数列 满足an2an12n(n2)，且a11，求数列 的通项公式.解因为an2an12n，等式两边同时除以2n，延伸探究(1)本例中“an2an12n”变为“an2an12n1”，其余不变，求数列 的通项公式.解等式两边同时除以2n，(2)本例中“an2an12n”变为“an2an12n1”，其余不变，求数列 的通项公式.解等式两边同时除以2n，反思感悟形如anpan1pn(p1)的递推关系求通项公式的一般步骤第一步：等式两边同除以pn，不管这一项是pn1或pn1，都同除以pn，为的是数列的下标和p

2、的指数对应起来.解由题意，等式两边同乘2n，二、利用递推公式构造等比数列求通项例2已知数列an满足a11，an12an1，求an的通项公式.解an12an1，an1t2(ant)，即an12ant，t1，即an112(an1)，an122n1，an2n1.延伸探究反思感悟(1)形如an1panq(其中p，q为常数，且pq(p1)0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步：假设递推公式可改写为an1tp(ant)；第四步：写出数列an的通项公式.(2)形如an1panqn1的递推关系求通项公式的一般步骤类似于形如an1panq求通项公式的步骤，要注意数列的下标与q的指数的对应关系.跟踪训练

3、2(1)已知数列an满足a12，an12an4.证明数列an4是等比数列.并求数列an的通项公式.解a12，a142.an12an4，an142an82(an4)，an4是以2为首项，2为公比的等比数列.an422n12n，即an2n4.解由题意得，an1A2n13(anA2n)，即an13anA2n，故A2，所以an12n23(an2n1)，所以an2n153n1，即an53n12n1.1.知识清单：(1)形如anpan1pn的递推关系求通项公式.(2)形如an1panq的递推关系求通项公式.(3)形如an1panqn1的递推关系求通项公式.2.方法归纳：构造法.3.常见误区：构造的新的数列

4、的首项易误认为还是a1.课堂小结随堂演练1.已知数列an满足a13，an13an4，则a2 021的值为A.32 020 B.32 0202 C.32 0212 D.32 0212解析因为an13an4，an1t3(ant)，即an13an2t，所以2t4，t2，即an123(an2)，所以an2是以1为首项，3为公比的等比数列，所以an23n1，an3n12，所以a2 02132 0202.12341234A.ann B.annC.an(2n)3n D.ann3n1234A.an2n15n B.an2n15nC.an2n1 D.an21n15将an12an35n代入式，得2an35nx5n1

5、2an2x5n，等式两边消去2an，得35nx5n12x5n，两边除以5n，得35x2x，则x1，由a1516510及式得an5n0，所以an5n2n1，所以an2n15n.123412344.已知数列an的前n项和为Sn，且a12，an1Sn1(nN*)，则S5_.解析an1Sn1(nN*)，即Sn1SnSn1(nN*)，Sn112(Sn1)(nN*)，数列Sn1为等比数列，其首项为3，公比为2.则S51324，解得S547.47课时对点练基础巩固A.1 B.1 C.2 D.2由于数列an1是等比数列，123456789101112131415162.已知Sn为数列 的前n项和，Sn12Sn

6、，nN*，S24，则a2 021等于A.22 020 B.42 020 C.42 021 D.22 021解析由Sn12Sn，S24可知，故通项公式为Sn22n12n，12345678910111213141516123456789101112131415163.将一些数排成倒三角形如图所示，其中第一行各数依次为1,2,3，2 021，从第二行起，每一个数都等于他“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M等于1232 0192 0202 0213574 0394 0418128 080MA.2 02122 018 B.2 02222 019C.2 02122 019 D.2 02222

7、02012345678910111213141516解析记第n行的第一个数为an，则a11，a232a11，a382a22，a4202a34，an2an12n2，又每行比上一行的数字少1个，最后一行为第2 021行，Ma2 0212 02222 019.1234567891011121314151612345678910111213141516即2n1an12nan2.又21a12，数列2nan是以2为首项，2为公差的等差数列，2nan2(n1)22n，123456789101112131415165.已知数列 的前n项和为Sn，且Snan1n2，nN*，a12，则的通项公式为A.an2n11

8、 B.an2n1C.an2n11 D.an2n12345678910111213141516解析由Snan1n2得Sn1ann3(n2)，由可得an12an1(n2)，所以an112(an1)(n2)，又S1a212，a12，则a23，即a212(a11)，2为公比的等比数列，所以an12n1，即an12n1.123456789101112131415166.(多选)设首项为1的数列an的前n项和为Sn，已知Sn12Snn1，则下列结论正确的是A.数列Snn为等比数列B.数列an的通项公式为an2n11C.数列an1为等比数列D.数列SnSn11为等比数列1234567891011121314

9、1516公比为2的等比数列，故A正确；所以Snn2n，则Sn2nn.当n2时，anSnSn12n11，但a12111，故B错误；由a11，a21，a33可得a112，a212，a314，由Sn2nn，所以SnSn112nn2n1n112n1，故D正确.123456789101112131415167.在数列an中，a13，nan1(n1)an2n(n1)，则an_.解析由题意，等式两边同除n(n1)可得：n(2n1)123456789101112131415168.尘劫记是在元代的算学启蒙和明代的算法统宗的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生

10、12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.依此类推，假设n个月后共有老鼠an只，则a12_.2712解析设n个月后共有an 只老鼠，且雌雄各半，所以n1 个月后的老鼠只数an1 满足：所以an1an6an，即an17an(nN*)，又因为a1140，12345678910111213141516所以ana1qn1147n1277n127n，即an27n(nN*)，当n12时，a122712.12345678910111213141516123456789101112131415169.已知Sn是数列an的前n项和

11、，且Sn2ann4.(1)求a1的值；解因为Sn2ann4，所以当n1时，S12a114，解得a13.12345678910111213141516(2)若bnan1，试证明数列bn为等比数列.证明因为Sn2ann4，所以当n2时，Sn12an1n14，SnSn1(2ann4)(2an1n5)，即an2an11，所以an12(an11)，又bnan1，所以bn2bn1，且b1a1120，所以数列bn是以2为首项，2为公比的等比数列.1234567891011121314151610.某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出200

12、万元进行科研技术发行与广告投资方能保持原有的利润增长率.问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg 20.3)解设该项目几年后资金数为an，nN*.1234567891011121314151612345678910111213141516lg 20.3，不等式化为0.1n1.2，n12.故经过12年后，该项目资金可达到或超过翻两番的目标.12345678910111213141516综合运用11.已知数列 满足：a12，an13an2，则 的通项公式为A.an2n1 B.an3n1C.an22n1 D.an6n4所以an133n13n，an3n1，故选B.123

13、45678910111213141516A.2n3 B.2n7C.(2n3)(2n7) D.2n51234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151614.若数列 满足a11，且an14an2n，则a6_.解析因为an14an2n，2 016则an2n124n1，可得an22n12n1，则a62261261211252 016.拓广探究1234567891011121314151615.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“扩展”.将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；.设第m次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，并记anlog2(1x1x2xt2)，其中t2n1，nN*，则数列 的前n项和为_.所以an1log21(1x1)x1(x1x2)