计量经济学系列课件23一元线性回归模型检验

1、PAGE PAGE 41办巴2.3背 一元线性扳回归模型的统计阿检验背 靶 回归分白析是要通过样本胺所估计的参数来把代替总体的真实颁参数，或者说是捌用样本回归线代八替总体回归线。挨尽管从统计性质碍上已知，如果有拔足够多的重复抽昂样，参数的估计蔼值的期望（均值叭）就等于其总体拌的参数真值，但背在一次抽样中，鞍估计值不一定就百等于该真值。那笆么，在一次抽样奥中，参数的估计暗值与真值的差异岸有多大，是否显搬著，这就需要进扒一步进行统计检把验。主要包括拟搬合优度检验、变挨量的显著性检验爸及参数的区间估摆计。疤 一、拟啊合优度检验跋拟合优度检验，版顾名思义，是检败验模型对样本观挨测值的拟合程度八。检验的

2、方法，捌是构造一个可以捌表征拟合程度的绊指标，在这里称摆为统计量，统计拌量是样本的函数唉。从检验对象中颁计算出该统计量办的数值，然后与氨某一标准进行比隘较，得出检验结伴论。有人也许会稗问，采用普通最袄小二乘估计方法办，已经保证了模百型最好地拟合了暗样本观测值，为安什么还要检验拟斑合程度？问题在盎于，在一个特定鞍的条件下做得最隘好的并不一定就鞍是高质量的。普隘通最小二乘法所拌保证的最好拟合袄，是同一个问题奥内部的比较，拟吧合优度检验结果扮所表示优劣是不叭同问题之间的比阿较。例如图搬2.八3拔.1昂和图背2.哎3哀.2懊中的直线方程都爸是由散点表示的暗样本观测值的最岸小二乘估计结果疤，对于每个问题

3、柏它们都满足残差搬的平方和最小，胺但是二者对样本瓣观测值的拟合程蔼度显然是不同的捌。唉 敖 叭 耙熬 笆 柏 办 罢 吧耙 斑 瓣 挨凹 搬 安 版 瓣摆 百 半爸 笆懊 挨 八 班 坝背 挨 败坝 伴 拔 碍 霸奥 蔼 艾图叭2.阿3艾.1 稗 靶 柏 疤图八2.暗3柏.2按 蔼 按1、总离差平方把和的分解拜已知由一组样本伴观测值奥，般=1,2爱笆,耙n绊得到如下样本回稗归直线唉而拔的第绊个观测值与样本凹均值的离差伴可分解为两部分柏之和：暗 半 皑 哀 哀 （八2.安3哎.肮1）翱图敖2.3.3搬示出了这种分解唉，其中，伴是样本回归直线哎理论值(回归拟班合值)与观测值板的平均值之差，扮可认为

4、是由回归半直线解释的部分耙；癌是实际观测值与傲回归拟合值之差笆，是回归直线不芭能解释的部分。奥显然，如果稗落在样本回归线颁上，则罢的第芭个观测值与样本伴均值的离差，全挨部来自样本回归肮拟合值与样本均跋值的离差，即完班全可由样本回归爱线解释。表明在叭该点处实现完全案拟合。敖 Y埃 爸 碍 埃 柏 版 背 霸 芭 盎 耙 罢 爸=俺来自残差邦 蔼 柏 靶 版 胺 摆 案 SRF摆 暗 澳 扒 袄 挨=碍总离差澳 唉 败 隘 吧 奥 氨 罢 半=拜来自回归俺 捌 案 扒 佰 颁 俺 柏 哎 跋 白 拜 半 稗 鞍 败 伴 板 笆 巴 拌 傲 安 佰 办 邦 吧 X图2.3.3八对于所有样本点斑，则需

5、考虑这些芭点与样本均值离斑差的平方和。由背于敖 班 八 熬可以证明颁，所以有耙 邦 爱 搬 半 哎 白 巴 八(2.班3白.碍2扒)拜记板，称为邦总离差平方和皑（爱Total S阿um of S凹quares佰），办反映样本观测值敖总体离差的大小八；爱，称为奥回归平方和爱（扳E疤xplaine巴d Sum o氨f Squar扳es袄）矮，反映由模型中按解释变量所解释霸的那部分离差的绊大小；芭，称为唉残差平方和按（R办esidual佰 Sum 跋of Squa盎res耙）扒，反映样本观测癌值与估计值偏离拜的大小，也是模罢型中解释变量未班解释的那部分离敖差的大小。斑 （2傲.3.2艾）表明拜的观测

6、值围绕其白均值的柏总离差平方和袄可分解为两部分百，一部分来自回癌归线，另一部分芭则来自随机势力巴。因此，可用来佰自回归线的回归傲平方和占Y的总拌离差的平方和的挨比例来判断样本安回归线与样本观版测值的拟合优度柏。唉 读者也绊许会问，既然把反映样本观测值皑与估计值偏离的矮大小，可否直接霸用它作为拟合优碍度检验的统计量把？这里提出了一笆个普遍的问题，懊即作为检验统计捌量的一般应该是斑相对量，而不能背用绝对量。因为敖用绝对量作为检拌验统计量，无法俺设置标准。在这把里，背，即残差平方和耙，与样本容量关绊系很大，当皑n肮比较小时，它的爸值也较小，但不靶能因此而判断模般型的拟合优度就按好。哎 按 2、可决绊

7、系数搬统计量败 板根据上述关系，拔可以用昂 蔼 奥 胺 唉 矮 巴 阿(2.爱3阿.佰3案)百检验模型的拟合熬优度，称哀为捌可决系数（办coeffic傲ient of肮 determ拜ination按）哎。显然，在总离艾差平方和中，回敖归平方和所占的埃比重越大，残差半平方和所占的比熬重越小，则回归啊直线与样本点拟岸合得越好。如果按模型与样本观测百值完全拟合，则背有败。当然，模型与癌样本观测值完全艾拟合的情况是不暗可能发生的，八不可能等于按1暗。但毫无疑问的安是该统计量越接把近于摆1败，模型的拟合优巴度越高。皑在实际计算可决肮系数时，在袄已经估计出后，胺一个较为简单的绊计算公式为：隘 暗 耙 碍

8、 叭 盎 昂 班 （埃2.3.4凹）唉这里用到了样本板回归函数的离差昂形式来计算回归案平方和：办 皑 扒 拌。胺在例般2.1.1伴的般收入捌-白消费支出奥例中，爱 哎 柏说明在线性回归矮模型中，家庭消凹费支出总变差（霸variati隘on瓣）中，由家庭可昂支配收入的变差柏解释的部分占斑97.66%袄，模型的拟合优拜度较高。邦 由（2昂.3.3板）知，可决系数俺的取值范围为捌，是一个非负的阿统计量。它也是把随着抽样的不同坝而不同，即是随蔼抽样而变动的统蔼计量。为此，对叭可决系数的统计耙可靠性也应进行扮检验，这将在第坝3埃章中进行。吧 二、变把量的显著性检验耙 翱变量的显著性检邦验，旨在对模型扒中

9、被解释变量与捌解释变量之间的俺线性关系是否显袄著成立作出推断盎，或者说考察所岸选择的解释变量挨是否对被解释变绊量有显著的线性癌影响。案 从上面盎的拟合优度检验熬中可以看出，拟瓣合优度高，则解碍释变量对被解释案变量的解释程度艾就高，线性影响澳就强，可以推测霸模型线性关系成百立；反之，就不班成立。但这只是凹一个模糊的推测颁，不能给出一个斑统计上的严格的稗结论。因此，还瓣必须进行变量的翱显著性检验。变凹量的显著性检验疤所应用的方法是傲数理统计学中假爸设检验。艾 1、假巴设检验坝假设检验是统计埃推断的一个主要袄内容，它的基本叭任务是根据样本案所提供的信息，败对未知总体分布罢的某些方面的假爱设作出合理的

10、判按断。拜假设检验的程序般是，先根据实际鞍问题的要求提出袄一个论断，称为扒统计假设，记为扮；然后根据样本伴的有关信息，对把的真伪进行判断瓣，作出拒绝按或接受矮的决策。八假设检验的基本笆思想是概率性质袄的反证法。为了跋检验原假设碍是否正确，先假肮定这个假设是正澳确的，看由此能胺推出什么结果。扒如果导致一个不爱合理的结果，则摆表明爱“肮假设暗为正确蔼”哀是错误的，即原坝假设癌不正确，因此要疤拒绝原假设唉。如果没有导致皑一个不合理现象隘的出现，则不能扳认为原假设袄不正确，因此不按能拒绝拒绝原假肮设爱。胺概率性质的反证肮法的根据是小概耙率事件原理，该叭原理认为矮“癌小概率事件在一班次试验中几乎是百不可

11、能发生的霸”案。在原假设背下构造一罢个事件，这个事艾件在颁“肮原假设疤是正确百”俺的条件下是一个拜小概率事件。随摆机抽取一组容量靶为凹n搬的样本观测值进碍行该事件的试验叭，如果该事件发笆生了，说明扒“昂原假设袄是正确癌”瓣是错误的，因为岸不应该出现的小瓣概率事件出现了半。因而应该拒绝邦原假设班。反之，如果该芭小概率事件没有艾出现，就没有理绊由拒绝原假设懊，应该接受原假岸设翱。俺 2、变熬量的显著性检验芭 用以进坝行变量显著性检岸验的方法主要有岸三种：斑F矮检验、扒t伴检验、奥z佰检验。它们的区爸别在于构造的统八计量不同。应用稗最为普遍的隘t柏检验，在目前使俺用的计量经济学皑软件包中，都有耙关于

12、扳t矮统计量的计算结扮果。我们在此只熬介绍俺t澳检验。背 对于一袄元线性回归方程翱中的吧，已经知道它服爸从正态分布哎 叭 八 爱进一步根据数理罢统计学中的定义凹，如果真实的背未知，而用它的肮无偏估计量扒替代时，可构造安如下统计量唉 袄 奥 暗 瓣 芭 跋 拜 巴 (2.笆3阿.5)靶则该统计量服从隘自由度为办的跋分布。因此，可碍用该统计量作为搬显著性检验的柏统计量。氨如果变量白是显著的，那么皑参数俺应该显著地不为澳0耙。于是，在变量氨显著性检验中设伴计的原假设为： 挨 吧给定一个显著性柏水平岸，查癌分布表（见附录昂），得到一个临暗界值哀。因为佰分布是双尾分布熬，所以按照哎查巴分布表中的临界蔼值

13、。于是 瓣（这里的巴已不同于爸(2.暗3昂.5) 哎式，其中叭）为原假设澳下的一个小概率背事件。在参数估霸计完成后，可以哎很容易计算氨的数值。如果发熬生了凹翱，则在唉(1捌胺)拔的置信度下拒绝疤原假设澳，即变量X是显懊著的，通过变量袄显著性检验。如蔼果未发生笆坝，则在拌(1白扳)伴置信度下接受原背假设办，即变量X是不按显著的，未通过败变量显著性检验背。板对于一元线性回爱归方程中的俺，可构造如下扒t熬统计量进行显著芭性检验：懊 俺 邦 笆 拜 班 霸 凹 暗 (2.笆3瓣.安6笆)盎同样地，该统计拌量服从自由度为挨的熬分布，检验的原坝假设一般仍为霸。隘在例背2.吧1扳.1懊及例岸2.2.1昂的收

14、入颁-隘消费支出例中，熬首先计算瓣的估计值鞍于是案和挨的标准差的估计哀值分别是：澳t蔼统计量的计算结板果分别为： 瓣给定一个显著性懊水平拔=0.0班5，查矮分布表中自由度吧为8（在这个例搬中暗）、靶=0.0熬5的临界值，得盎到扒2按.306拌。可见跋昂，说明解释变量哀家庭可支配收入胺在拌95%俺的置信度下显著阿，即通过了变量盎显著性检验。但笆佰,霸表明在凹95%肮的置信度下，无斑法拒绝截距项为爸零的假设。俺三、参数的置信半区间拜 假设检蔼验可以通过一次啊抽样的结果检验哀总体参数可能的傲假设值的范围（皑最常用的假设为碍总体参数值为零颁），但它并没有氨指出在一次抽样斑中样本参数值到邦底离总体参数的

15、奥真值有多般“败近笆”百。要判断样本参挨数的估计值在多艾大程度上可以叭“颁近似伴”俺地替代总体参数瓣的真值，往往需鞍要通过构造一个按以样本参数的估邦计值为中心的昂“澳区间摆”拔，来考察它以多埃大的可能性（概癌率）包含着真实熬的参数值。这种瓣方法就是参数检吧验的置信区间估斑计。暗要判断估计的参笆数值扮离真实的参数值稗有多瓣“百近版”拌，可预先选择一跋个概率把，并求一个正数啊，使得随机区间耙（挨random 扮interva拜l爸）版包含参数捌的真值的概率为办1-艾。即：凹如果存在这样一啊个区间，称之为哎置信区间啊（板confide捌nce int隘erval耙）； 1-碍称为懊置信系数邦（案置信

16、度）氨（熬confide傲nce coe氨fficien柏t坝），半称为熬显著性水平岸（埃level o拌f signi稗ficance芭）；置信区间的班端点称为鞍置信限爱（拔confide俺nce lim胺it板）或熬临界值俺（矮critica半l value皑s拜）。扮在变量的显著性案检验中已经知道坝：般 哎搬 靶 把这就是说，如果拔给定置信度笆，从吧分布表中查得自拌由度为搬的临界值皑，那么懊值处在斑的概率是傲。表示为： 即 八于是得到版的置信度下哎的置信区间是扮 摆 芭 半 百 邦 半 唉 般(2.扮3唉.埃6败)拔在例碍2.版1挨.1哎与唉2.2.1耙中，如果给定爸，查表得： 奥从假设检验中已办得到：版 颁， 跋于是，根据捌(2.爱3半.按6拌)罢计算得到癌、按的置信区间分别耙为败 （啊0俺.6345,0把.9195)般 白 （-433颁