高考知识点分章复习之排列组合与二项式定理

1、第十一章 排列组合与二项式定理一、排列组合问题经典题型与通用方法1. 相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（ ）A、60种 B、48种 C、36种 D、24种解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：.2. 相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A、1440种 B、3600

2、种 C、4820种 D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.3. 名额分配问题隔板法：将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为.例310个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为种.例4. 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分

3、会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?解：此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有种不同的放法,所以名额分配方案有种.说明：解决无差异元素放置在不同位置的问题可以利用隔板法转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解；使用隔板法一定要注意保证“每个人或物至少分得一份”才可用。4. 定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例5. A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不

4、同的排法有（ ） A、24种 B、60种 C、90种 D、120种解析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.例6. 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?解：不加任何限制条件,整个排法有种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有种.例7. 7人并排站成一排，其中甲、乙、丙三人顺序一定，那么有多少种不同的排法？解析：(倍缩法对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数),则共有不同排法种数

5、是：即种. 5. 有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例8.有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种，选.例9.12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）答案：.A、种 B、种 C、种 D、种6. 全员分配问题分组法:例10. 4名优秀学生全部保送到3所学校去

6、，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有种方法，再把三组学生分配到三所学校有种，共种.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.例11. 5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A、480种 B、240种 C、120种 D、96种解析：把5本书分成4份有种方法，再把4份书分给4个学生有种，故共有=240种方法. 答案：.变题：5本相同的书分给4个人，每人至少一本，有多少种不同的分法？ 解析：无差异元素放置在不同位置利用隔板法7. 限制条件的分配问题分类法:例12.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别

7、到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有方法，所以共有；若乙参加而甲不参加同理也有种；若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有种，共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种.8.可重复的排列问题求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有 种方法. 例13.把6

8、名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案. 例14.把9封不同内容的信投到4个邮筒，共有多少种不同的投法？ 解析（可重复的排列求幂法 ）：完成此事共分9步，第一步，将第一封信投到邮筒有4种不同方案；第二步，将将第二封信投到邮筒也有4种不同方案；依次类推，由分步计数原理知共有种9. “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:抽取两类混合元素不能分步抽.例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，

9、则不同的取法共有 A、140种 B、80种 C、70种 D、35种解析1（排除法）：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种,选.解析2（分类法）：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有台,选.10. 标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例15.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种解

10、析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有331=9种填法，选.二、排列组合真题汇编1. 20XX年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法36种，选A. 2.现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世

11、博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A152 B.126 C.90 D.54【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有；若有1人从事司机工作，则方案有种，所以共有18+108=126种，故B正确3.用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）A8B24C48D120【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.2和4排在末位时，共有种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有种排法，于是由分步计

12、数原理，符合题意的偶数共有（个）.4.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 答案：C（A）6种 （B）12种 （C）24种 （D）30种解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修2门的种数=36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为=6，故只恰好有1门相同的选法有24种。5.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )（A）150种（B）180种（C）300种 (D)345种 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法;

13、(2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.选D6.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是，顺序有种，而甲乙被分在同一个班的有种，所以种数是，【答案】C 7.甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种解：用间接法即可.种. 故选C8.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （A）70种 （B）

14、 80种 （C） 100种 （D）140种 【解析】直接法：一男两女,有C51C425630种,两男一女,有C52C4110440种,共计70种；间接法：任意选取C9384种,其中都是男医生有C5310种,都是女医生有C414种,于是符合条件的有8410470种.【答案】A9.从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有A.120种 B.96种 C.60种 D.48种【解析】5人中选4人则有种，周五一人有种，周六两人则有，周日则有种，故共有=60种,故选C10.某地政府召集5家企业的负责人开

15、会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 B 】A14 B16 C20 D48解:由间接法得，故选B. 11.甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A）150种（B）180种（C）300种D、345种解：由题共有，故选择D。12.从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为 (A)432 (B)288 (C) 216 (D)108网解析:首先个位数字必须为奇数，从1

16、，3，5，7四个中选择一个有种，再丛剩余3个奇数中选择一个，从2，4，6三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排。则共有故选C. 13.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 A 85 B 56 C 49 D 28 【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：，另一类是甲乙都去的选法有=7，所以共有42+7=49，即选C项。14. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 解析：6位同学

17、站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有种，其中男生甲站两端的有，符合条件的排法故共有188解析2：由题意有,选B。15. 12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（ ）ABCD 解析：因为将12个组分成4个组的分法有种，而3个强队恰好被分在同一组分法有，故个强队恰好被分在同一组的概率为。17. 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有_种（用数字作答）。解析：，答案：14018.甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法

18、种数是 （用数字作答）【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有种，因此共有不同的站法种数是336种 19. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有;第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有所以满足条件得分配的方案有20. 将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有（ ）种 种 种 种【解析】先安排老师有种方法，在安排学生有，所以共有12种安排方案。21. 将字母a,a,

19、b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 （A）12种（B）18种（C）24种（D）36种【解析】第一步先排第一列有，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，如图，所以共有种，选A.22. 某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有 （A）30种 （B）36种 （C）42种 （D）48种解析：法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法 即=42 法二：分两类1、甲、乙同组，则只能排在1

20、5日，有=6种排法； 2、甲、乙不同组，有=36种排法，故共有42种方法23.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种 解析：分两类1、甲乙排1、2号或6、7号 共有种方法；2、甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有种方法；故共有1008种不同的排法。24. 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（A）288种 （

21、B）264种 （C）240种 （D）168种【解析】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于难题。B,D,E,F用四种颜色，则有种涂色方法；B,D,E,F用三种颜色，则有种涂色方法；B,D,E,F用两种颜色，则有种涂色方法；所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法。25. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36【解析】解法一：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲

22、在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6212种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12448种不同排法。解法二：同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有=24种排法；第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有12种排法；第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。此时

23、共有12种排法，三类之和为24121248种。w【答案】B.w.w.三、排列组合综合问题平均分配问题例：按以下要求分配6本不同的书，各有几种分法？分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；甲、乙、丙三人一人得1本，一人得2本，一人得3本；平均分成三份，每份2本；平均分给甲、乙、丙三人，每人2本；分成三份，一份4本，另两份每份1本；甲、乙、丙三人中，一人得4本，另二人每人得1本；甲得1本，乙得1本，丙得4本解：（1）无序不均匀（不平均）分配问题：先选1本，有种选法；再从余下的5本中2本，有种选法，最后从余下3本全选，有种方法，故共有=60种； （2）有序不均匀（不平均）分配问题：由于甲、乙、丙是不

24、同的三人，在（1）的基础上，还应该考虑再分配，即全排列，故共有=360种； （3）无序均匀（平均）分配问题：=15种；（4）有序均匀分配问题：在（3）的基础上再分给三个人，故共有=90种；（5）无序部分均匀（平均）分配问题：=15种；（6）有序部分均匀分配问题：在（5）的基础上再分配给三个人，故共有=90种；（7）直接分配问题（有序问题分配逐分法）：甲先从6本取1本，乙再从余下的5本中取1本，最后丙从余下的4本取4本，故共有=30种。四、二项展开式相关考点1.二项展开式中的通项：（展开式中的第项）2二项式定理的9种考题的解法：题型一：二项式定理的逆用；例1.解：与已知的有一些差距， 练：解：设

25、，则题型二：利用通项公式求的系数；例2.在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数.解：由条件知，即，解得，由，由题意，则含有的项是第项,系数为。练：求展开式中的系数.解：，令,则，故的系数为。题型三：利用通项公式求常数项；例3.求二项式的展开式中的常数项？解：，令，得，所以练：若的二项展开式中第项为常数项，则解：，令，得.题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例4.求二项式展开式中的有理项？解：，令,()得，所以当时，当时，。题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例5.若展开式中偶数项系数和为，求.解：设展开式中各项系数依次设为 ,则有，,则有 将-得： 有题意

26、得，。练：若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，求它的中间项。解：，解得所以中间两个项分别为，题型六：最大系数，最大项；例6.已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：解出，当时，展开式中二项式系数最大的项是，当时，展开式中二项式系数最大的项是，。练：在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？解：只有第项的二项式最大，则，即,所以展开式中常数项为第七项等于题型七：两个二项式相乘；例7.解： 例8. 在的展开式中，求的系数。分析：先将展开，再分析这个展开式取各项时，要得到项，展开式取项情况，分类讨论求的系数。解析：，要

27、得到，当第一个因式取1时，展开式取5次项，项系数为当第一个因式取时，展开式取4次项，项系数为当第一个因式取时，展开式取3次项，项系数为当第一个因式取-时，展开式取2次项，项系数为项系数为+=-63练：解：.题型八：特殊赋值法；例9. 设=，则 分析：要求展开式的偶数项系数和，令得，令得，两式相加即得。解析：令得， 令得，5100 -得， 变式一：若， 则的值为 ；（答案：1）变式二：若， 则 ；（答案：2004）变式三：解：例10. 设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若,则等于多少？解：若，有， 令得，又,即解得，.练：若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？解：令，则的展开式中各项系数之和为，所以，则展开式的常数项为.题型九：十秒钟求二项展开式常数项例11.求展开式中的常数项.(速解法) 只看的次数（就是看是几次方，取指数的绝对值）的次数之比3:2（调换位置）2:3:5 (2+3=5,所以写5,5的下方写上15) （根据对应比例相等写上） 6:9：15所以答案是 例12.求展开式中的常数项.解：是第一个的系数，是第二个的系数，答案为例13.求展开式中的常数项.