《数学物理方法》第三章 1

1、第三章 柯西定理 柯西积分第一节 复变积分的概念及其简单性质第二节 柯西积分定理及其推广第三节 柯西积分公式及其推广 复变函数积分理论是复变函数的核心内容，关于复变函数的许多结论都是通过积分来讨论的，更重要的是我们要讨论解析函数积分的性质，并给出解析函数积分的基本定理与基本公式，这些性质是解析函数理论的基础，我们还将得到解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。1.1 定义 有向曲线 在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的： (1) 如果曲线 是开口弧段，若规定它的端点 为起点， 为终点，则沿曲

2、线 从 到 的方向为曲线 的正方向（简称正向），把正向曲线记为 . 而由 到 的方向称为负方向（简称负向）， 负向曲线记为 .一、复变函数积分的概念(2) 如果 是简单闭曲线，通常总规定逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向(3) 如果 是复平面上某一个复连通域的边界曲线，则 的正方向这样规定：当人沿曲线 行走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针为正方向1.2 定义 复变函数的积分 设函数 在给定的光滑或逐段光滑曲线 上有定义，且 是以 为起点， 为终点的一条有向曲线，如图所示 把 曲线任意分成n个小弧段，设分点依次为 ,在某小弧段 上任意取一点 ，并

3、作和 其中 ，记 的最大长度为 则当n无限增大，且 时，如果无论对C 的分法及 的取法如何， 都有惟一的极限存在，那么称这个极限值为函数沿曲线C的积分，记作 ，即 我们称之为复变函数的积分，简称复变积分 由此可知，当 且小弧段长度的最大值 时，不论对C的分法如何，点 的取法如何，只要上式右端的两个和式极限存在，那么左端的和式极限也存在，由于 连续，则 都是连续函数，根据曲线积分存在的充分条件，以及曲线积分的定义得到 即我们可以把复积分 的计算化为两个二元实变函数的曲线积分为便于记忆公式，可把 理解为 ，则 上式说明了两个问题： (1) 当 是连续函数，且C是光滑曲线时，积分 一定存在； (2)

4、 可以通过两个二元实变函数的线积分来计算. 1.3 闭合环路积分 当C为封闭曲线时，那么沿C 的积分为 并称为复变函数 的闭合环路积分（或围线积分）。 若沿正方向积分， 若沿顺时针方向积分呢？二、 复变积分的基本性质 (1)若 沿 可积，且 由 和 连接而成，则 (2) 常数因子 可以提到积分号外，即 (3) 函数和（差）的积分等于各函数积分的和（差），即 (4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即 为 的负向曲线(5)积分的模不大于被积表达式模的积分，即这里 表示弧长的微分，即 证： 因为 ，其中 分别表示曲线 上弧段 对应的弦长和弧长，两边取极限就得到（6）积分估值定理 若沿曲线 ，

5、 连续，且 在 上满足 ，则 其中 为曲线 的长度证： 由于 在 上恒有 ，所以又 ，则 成立。三、 复变积分的计算典型实例 上面提供了一种复积分的计算方法，即把复积分的计算转化为两个二元实函数的曲线积分当曲线积分的积分路径C由参数方程给出时，复积分又可以转化为单变量的定积分 例1 计算 ，其中C为从原点到点3+4i的直线段 解： 直线的方程可写成 或 于是 又因 由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积分与路径无关的条件，所以 的值不论 是怎样的曲线都等于 ，这说明有些函数的积分值与积分路径无关复变积分的计算方法1. 归为二元函数的第二型积分来计算，计算公式为2. 参数方程的表达形式C:

6、 z=z(t) (t:)3.2 柯西积分定理一、柯西积分定理 早在1825年柯西给出了如下定理，它是复变函数论中的一条基本定理，现称为柯西积分定理（简称柯西定理） 定理 柯西积分定理 如果函数 在单连通区域 内及其边界线L上解析（即为在单连通闭区域 解析），那么函数 沿边界L或区域 内任意闭曲线 的积分为零，即 或 证：由于对函数 在闭区域解析概念的理解，故函数的导数即 在区域内部及其边界是存在的，而且可以证明也是连续的再有 由于函数在闭区域解析，故满足C-R条件代入即得 如果我们在该闭区域 内任选某一单连通闭区域 ，其边界为 由上述推导中 将 , 则同理可证明 故结论成立. 这个定理是柯西(

7、Cauchy)于1825年发表的，古莎(Goursat)于1900年提出了修改，故又称为柯西古莎定理. 说明：1 根据第二章，函数在单连通区域D内及闭曲线L上解析，即为在闭区域 解析，我们应该理解为函数在比边界稍大一些的区域内部也是解析的； 2 边界正方向规定：当沿边界线环行时，其边界线所包围的解析区域始终在左边，则前进的方向为边界线的正方向据此规定，故有界单连通区域积分的边界线沿逆时针方向为正方向而对于有界复连通区域，外边界取逆时针为边界线的正方向，内边界取顺时针方向为正方向（注意：对于无界区域则相反，内边界取顺时针方向为边界线的正方向）； 3 进一步指出，经修改后的柯西古莎积分定理成立的条

8、件可以弱化为在区域 内解析，在边界上连续以后使用中，当满足此条件时柯西积分定理仍然成立二、不定积分 定理 由前述定理 知道，解析函数 在单连通域 内的积分只与起点 和终点 有关，假设 是区域 内连接 和 的两条简单曲线，则 和 分别称为积分的上限和下限，当下限 固定，而上限 在 内变动时，积分 可以看作是上限的函数，记为 对 ，有以下的定理：定理 如果 在单连通域 内处处解析，则 在D内也解析，并且证： 令 则 因为 和 是与路径无关的，因此 定理 任何两个原函数相差一个常数 证： 若 均为 的原函数，则 利用原函数这个关系，我们可以得出： 定理 若函数 在单连通域内处处解析，且 为 的一个原函数，那么 其中 , 为 中任意两点上式称为复积分的牛顿莱布尼兹公式。三、柯西积分定理推广到复围线的情况 不失一般性，取n1进行证明。 （1） （2） 设 L和 为复连通区域内的两条简单闭曲线， 如图 所示， 在L内部且彼此不相交，以 和L为边界所围成的闭区域 全含于D则对于区域D内的解析函数 有 总结：单连通和复连通区域的柯西定理可以表述为： 1 在闭单连通区域中的解析函数，沿边界线或区域内任一闭合曲线的积分为零； 2 在闭复连通区域中的解析函数，