2020中考数学难点突破《和函数相关的图形面积问题》

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2020中考数学难点突破和函数相关的图形面积问题1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bx5与x轴交于A(1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与ABC相似，求点D的坐标；(3)如图，CEx轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面

2、积第1题图解：(1)抛物线过点A(1，0)和点B(5，0)，解得，抛物线的函数表达式为yx24x5；(2)OBOC5，ABCOCB45，以B、C、D三点为顶点的三角形要与ABC相似，必须要有一个角等于45.()当点D在点C的下方时，BCD18045135，不会出现45角，此种情况不存在；()当点D在点C的上方时，BCD45，易得BCeq r(2)OB5eq r(2)，ABOAOB156，存在两种情况：当BCDABC时，eq f(BC,AB)eq f(CD,BC)，即eq f(5r(2),6)，CDeq f(25,3)，ODCDOCeq f(25,3)5eq f(10,3)，D(0，eq f(1

3、0,3)；当DCBABC时，eq f(DC,AB)eq f(CB,BC)，即eq f(5r(2),5r(2)，CD6，ODCDOC651，点D(0，1)，综上所述，点D的坐标为(0，1)或(0，eq f(10,3)时，以B，C，D为顶点的三角形与ABC相似；(3)令y5得x24x55，解得x10，x24，E(4，5)，CE4，设H(a，a24a5)，点H是在直线CE下方抛物线上的动点，0a4.设直线BC的表达式为ykxb，把点B(5，0)、C(0，5)代入得，解得，直线BC的表达式为yx5，则点F(a，a5)，FHa5(a24a5)a25a，CEFH，S四边形CHEFeq f(1,2)CEFH

4、2a210a2(aeq f(5,2)2eq f(25,2)，0a4，当aeq f(5,2)时，四边形CHEF面积有最大值，最大值是eq f(25,2)，此时H(eq f(5,2)，eq f(35,4)2. 如图，抛物线yAx22xC经过点A(0，3)，B(1，0)(1)求抛物线的表达式；(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得MBC的面积是4，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由第2题图解：(1)抛物线yAx22xC经过点A(0，3)，B(1，0)，eq blc(avs4alco1(a2c0,c3)，解得eq bl

5、c(avs4alco1(a1,c3)，抛物线的表达式为yx22x3；(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E， yx22x3(x1)24，B(1，0)，点D的坐标是(1，4)，点E的坐标是(1，0)，DE4，BE2，BDeq r(DE2BE2)eq r(4222)eq r(20)2eq r(5)，BD的长是2eq r(5)；(3)在抛物线的对称轴上存在点M，使得MBC的面积是4.设点M的坐标为(1，M)，令x22x30得x1或3，点C的坐标为(3，0)， BC3(1)4， MBC的面积是4， SBCMeq f(BC|m|,2)eq f(4|m|,2)4， 解得M2， 点M的坐标为(1，2)

6、或(1，2)3.如图，抛物线yeq f(1,2)x2eq f(3,2)x2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称(1)求点A、B、C的坐标；(2)求直线BD的解析式；(3)在直线BD下方的抛物线上是否存在一点P，使PBD的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由第3题图解：(1)令y0，则eq f(1,2)x2eq f(3,2)x20，解得x11，x24，A(1，0)，B(4，0)，令x0，得y2，C(0，2)；(2)C，D两点关于x轴对称，D(0，2)，设直线BD的解析式为ykxb(k0)，将B、D坐标代入可得，解得，直线BD的解析式为y eq f(1,2

7、)x2；(3)存在这样的点P，使得PBD的面积最大设P(m，eq f(1,2)m2eq f(3,2)m2)，如解图，过点P作PEx轴于点F，与BD交于点E，第3题解图则E点坐标为(m， eq f(1,2)m2)，PE( eq f(1,2)m2)(eq f(1,2)m2eq f(3,2)m2) eq f(1,2)m2m4，SPBDSPDESPEBeq f(1,2)PEOFeq f(1,2)PEBFeq f(1,2)PEOBeq f(1,2)(eq f(1,2)m2m4)4m22m8(m1)29，当m1时，SPBD取得最大值，最大值为9，此时eq f(1,2)m2eq f(3,2)m23，P(1，

8、3)4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数yAx22AxC的图象与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(3，0)(1)求二次函数的解析式及顶点D的坐标；(2)点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为12的两部分，求出此时点M的坐标；(3)点P是第二象限内抛物线上的一动点，当点P在何处时CPB的面积最大？求出最大面积？并求出此时点P的坐标第4题图解：(1)根据题意将B(3，0)，C(0，3)代入抛物线解析式，得eq blc(avs4alco1(c3,9a6ac0)，解得eq blc(avs4alco1(a1,c3)，二次函数的解析式

9、为yx22x3，将其化为顶点式为y(x1)24，顶点D的坐标为(1，4)；（2）如解图，连接OD、AD、AD与y轴交于点F，第4题解图SOBDeq f(1,2)346，S四边形ACDBSABDSCDFSACFeq f(1,2)44eq f(1,2)11eq f(1,2)11eq f(1,2)119，因此直线OM必过线段BD，由B(3，0)，D(1，4)得线段BD的解析式为y2x6，设直线OM与线段BD交于点E，则OBE的面积可以为3或6.当SOBE3时，eq f(1,2)3yE3，解得yE2，将y2代入y2x6中，得x2，E点坐标(2，2)则直线OE的解析式为yx.设M点坐标为(x，x)，联立

10、抛物线的解析式可得xx22x3，解得x1eq f(1r(13),2)，x2eq f(1r(13),2)(舍去)点M(eq f(1r(13),2)，eq f(1r(13),2)；当SOBE6时，eq f(1,2)3yE6，解得yE4，将y4代入y2x6中得x1，此时点E、M、D三点重合点M坐标为(1，4)；综上所述，点M的坐标为(eq f(1r(13),2)，eq f(1r(13),2)，(1，4)（3）如解图，连接OP，设P点的坐标为(M，M22M3)，第4题解图点P在抛物线上，SCPBSCPOSOPBSCOBeq f(1,2)OC(M)eq f(1,2)OB(M22M3)eq f(1,2)O

11、COBeq f(3,2)Meq f(3,2)(M22M3)eq f(9,2)eq f(3,2)(M23M)eq f(3,2)(Meq f(3,2)2eq f(27,8).3M0，当Meq f(3,2)时，(M22M3)eq f(15,4)，CPB的面积有最大值eq f(27,8).当点P的坐标为(eq f(3,2)，eq f(15,4)时，CPB的面积有最大值，且最大值为eq f(27,8).5. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数yeq f(1,4)x2BxC的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为(0，8)，点B的坐标为(4，0)(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标；(2)点D

12、的坐标为(0，4)，点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S.求S的最大值；在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值第5题图解：(1)二次函数yeq f(1,4)x2BxC过A(0，8)、B(4，0)两点，eq blc(avs4alco1(f(1,4)（4）24bc0,c8)，解得eq blc(avs4alco1(b1,c8)，二次函数的解析式为yeq f(1,4)x2x8，当y0时，解得x14，x28，C点坐标为(8，0)；（2）如解图，连接DF，OF，设F(M，eq f(1

13、,4)M2M8)，第5题解图S四边形OCFDSCDFSOCDSODFSOCF，SCDFSODFSOCFSOCD，eq f(1,2)4Meq f(1,2)8(eq f(1,4)M2M8)eq f(1,2)842MM24M3216M26M16(M3)225，当M3时，CDF的面积有最大值，最大值为25，四边形CDEF为平行四边形，S四边形CDEF2SCDF50，S的最大值为50；S18.【解法提示】四边形CDEF为平行四边形，CDEF，CDEF，点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E(M8，eq f(1,4)M2M12)，E(M8，

14、eq f(1,4)M2M12)在抛物线上，eq f(1,4)(M8)2(M8)8eq f(1,4)M2M12，解得M7，当M7时，SCDF(73)2259，此时S2SCDF18.6. 如图，抛物线yAx2Bx3与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C，且其对称轴L为直线x1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点(点P不与点B，C重合)第6题图(1)直接写出抛物线的解析式；(2)小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴L上时，存在PBNB，且PBNB的关系，请求出此时点P的坐标；(3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值，若不存在，请说明理由解

15、：(1)yx22x3；【解法提示】A(1，0)，对称轴L为直线x1，B(3，0)，将AB两点坐标代入得，eq blc(avs4alco1(ab30,9a3b30)，解得eq blc(avs4alco1(a1,b2)，抛物线的解析式为yx22x3.(2)如解图，过点P作PMx轴于点M，连接BP，过点B作BNPB交直线L于点N，设抛物线的对称轴与x轴交于点Q，第6题解图PBNB，PBN90，PBMNBQ90.PMB90，PBMBPM90.BPMNBQ.又PBNB，BPMNBQ.PMBQ.由(1)得yx22x3，Q(1，0)，B(3，0)BQ2，PMBQ2.点P是抛物线yx22x3上B、C之间的一个

16、动点，且点P的纵坐标为2，将y2代入yx22x3，得2x22x3，解得x11eq r(2)，x21eq r(2)(不合题意，舍去)，点P的坐标为(1eq r(2)，2)；（3）存在如解图，连接AC，BC，CP，PB，过点P作PDy轴交BC于点D，第6题解图A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，SABCeq f(1,2)346，直线BC的解析式为yx3.设P(T，T22T3)，则D(T，T3)，SBPCeq f(1,2)3(T3T22T3)eq f(3,2)T2eq f(9,2)T，S四边形PBACeq f(3,2)T2eq f(9,2)T6eq f(3,2)(Teq f(3,2)2eq f

17、(75,8)，当Teq f(3,2)时，S四边形PBAC存在最大值，最大值为eq f(75,8).此时点P的坐标为(eq f(3,2)，eq f(15,4)7. 如图，抛物线yeq f(1,2)x2eq f(3,2)xc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A点坐标为(3，0)，连接BC、AC.(1)求抛物线的解析式；(2)点E从点B出发，沿x轴向点A运动(点E与点A、B不重合)，过点E作直线L平行于AC，交BC于点D，设BE的长为M，BDE的面积为S，求S关于M的函数关系式，并写出自变量M的取值范围；(3)在(2)的条件下，连接CE，求CDE面积的最大值第7题图解：(1)抛物线yeq f(

18、1,2)x2eq f(3,2)xc过A点，且A(3，0)，0eq f(1,2)9eq f(3,2)3c，解得c9，抛物线的解析式为yeq f(1,2)x2eq f(3,2)x9；(2)抛物线的解析式为yeq f(1,2)x2eq f(3,2)x9，C点坐标为(0，9)，OC9，令y0可得eq f(1,2)x2eq f(3,2)x90，解得x3或x6，B点坐标为(6，0)，AB6(3)9；设直线AC的解析式为ykxb，把A、C两点坐标代入可得eq blc(avs4alco1(3kb0,b9)，解得eq blc(avs4alco1(k3,b9)，直线AC的解析式为y3x9，直线EDAC，可设直线E

19、D的解析式为y3xm，OB6，BEm，OE6m，E点的坐标为(6m，0)，代入直线ED的解析式可得03(6m)n，解得n3(m6)，直线ED的解析式为y3x3m18，设直线BC的解析式为yrxs，把B、C两点坐标代入可得eq blc(avs4alco1(6rs0,s9)，解得eq blc(avs4alco1(rf(3,2),s9)，直线BC的解析式为yeq f(3,2)x9，联立eq blc(avs4alco1(y3x3m18,yf(3,2)x9)，解得eq blc(avs4alco1(x6f(2,3)m,ym)，D点坐标为(6eq f(2,3)m，m)，D到BE的距离为m，SSBDEeq f

20、(1,2)mmeq f(1,2)m2，又E在线段AB上，且不与点A、B重合，0BEAB，m的取值范围为0m9；(3)OC9，BEm，SBECeq f(1,2)BEOCeq f(1,2)m9eq f(9,2)m，SCDESBECSBDEeq f(9,2)meq f(1,2)m2eq f(1,2)(meq f(9,2)2eq f(81,8)，当meq f(9,2)时，CDE的面积有最大值，最大值为eq f(81,8).8. 已知抛物线yx24x3交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，抛物线的对称轴l交x轴于点E.(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标；(2)点P为坐标系内一点，且以点A

21、、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，求出所有满足条件的P点的坐标(3)连接CA与L交于点D，M为抛物线上一点，是否存在点M，使经过点C、M的直线恰好将四边形DEOC的面积平分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由第8题图解：(1)对称轴为直线xeq f(4,2)2，当y0时，有x24x30，解得x11，x23，点A的坐标为(3，0)；(2)由yx24x3可知A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)，当AC是平行四边形的对角线时，将点C向左平移两个单位长度即是P点，即P(2，3)；当BC是平行四边形的对角线时，将点C向右平移两个单位长度即是P点，即P(2，3)；当AB是平行四

22、边形的对角线时，将点A向下平移三个单位长度再向左平移1个单位长度即是P点，即P(4，3)；满足条件的点P有3个，分别为(2，3)，(2，3)，(4，3)；(3)存在；点C的坐标为(0，3)，又DEy轴，AO3，EO2，AE1，CO3，AEDAOC，eq f(AE,AO)eq f(DE,CO)，即eq f(1,3)eq f(DE,3)，DE1，S四边形DEOCeq f(1,2)(13)24，在OE上找点F，使OFeq f(4,3)，此时SCOFeq f(1,2)eq f(4,3)32，直线CF把四边形DEOC分成面积相等的两部分，交抛物线于点M，设直线CM的解析式为ykx3，它经过点F(eq f

23、(4,3)，0)，则eq f(4,3)k30，解得keq f(9,4)，直线CM的解析式为yeq f(9,4)x3.9. 如图，已知抛物线yeq f(1,2)x2bxc与x轴交于点B，E两点，与y轴交于点A，OB8，tanABD1，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长x度移动，动点C，D同时出发，当动点D到达原点O时，点C，D停止运动(1)求抛物线的解析式；(2)求CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，CED的面积最大？最大面积是多少？(3)当CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P(点E除外)，使PCD的面积等于

24、CED的最大面积，若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由第9题图解：(1)OB8，tanABD1，OAOB8，A(0，8)，B(8，0)把点A(0，8)，B(8，0)代入yeq f(1,2)x2bxc，得eq blc(avs4alco1(c8,f(1,2)828bc0)，解得eq blc(avs4alco1(b3,c8)，抛物线解析式为yeq f(1,2)x23x8；(2)令y0时，有eq f(1,2)x23x80，解得x12，x28，E(2，0)，BE10，SCEDeq f(1,2)DEOC，Seq f(1,2)t(10t)eq f(1,2)t25t，S与T的函数解析式为Seq f(1,2)t25teq f(1,2)(t5)2eq f(25,2)(0t8)，当t5时，CED的面积最大，最大面积为eq f(25,2)；(3)存在，P点坐标为(8，0)或(eq f(4,3)，eq f(100,9)或(eq f(34,3)，eq f(200,9)【解法提示】当CED的面积最大时，t5，即BDDE5，此时要使SPCDSCED，CD为公共边，只需求出过点B、或点E且平行于CD的直线即可，如下：设直线CD的解析式为ykxB，由(2)可知OC5，OD3，C(0，5)，D(3，0)，把C(0，5)、D(3，0)代入，得eq blc(avs4