最新2022年大题考前练第一部分：立体几何部分解答题(解析版)

1、of accountability, redress of orders and prohibitions. Strengthening the honesty and self-discipline of leading cadres honesty in politics and education work, enhance leaders ability to resistof accountability, redress of orders and prohibitions. Strengthening the honesty and self-discipline of lead

2、ing cadres honesty in politics and education work, enhance leaders ability to resistof accountability, redress of orders and prohibitions. Strengthening the honesty and self-discipline of leading cadres honesty in politics and education work, enhance leaders ability to resist 第一部分：立体几何解答题一、平行问题1.(20

3、15北京，18)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC，且ACBCeq r(2)，O，M分别为AB，VA的中点.(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积.解(1)因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB，又因为VB平面MOC，所以VB平面MOC.(2)因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB.所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBCeq r(2)，所以AB2，OC1，所以等边三角形VAB的面积SVABeq r

4、(3).又因为OC平面VAB.所以三棱锥CVAB的体积等于eq f(1,3)OCSVABeq f(r(3),3)，又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为eq f(r(3),3).2.(2015广东，18)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.(1)证明：BC平面PDA；(2)证明：BCPD；(3)求点C到平面PDA的距离.解(1)因为四边形ABCD是长方形，所以BCAD，因为BC平面PDA，AD平面PDA，所以BC平面PDA.(2)因为四边形ABCD是长方形，所以BCCD，因为平面PDC平面ABCD，平

5、面PDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，所以BC平面PDC，因为PD平面PDC，所以BCPD.(3)取CD的中点E，连接AE和PE.因为PDPC，所以PECD，在RtPED中，PEeq r(PD2DE2)eq r(4232)eq r(7).因为平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，PE平面PDC，所以PE平面ABCD，由(2)知：BC平面PDC，由(1)知：BCAD，所以AD平面PDC，因为PD平面PDC，所以ADPD.设点C到平面PDA的距离为h，因为V三棱锥CPDAV三棱锥PACD，所以eq f(1,3)SPDAheq f(1,3)SACDPE，即heq f(SACDPE

6、,SPDA)eq f(f(1,2)36r(7),f(1,2)34)eq f(3r(7),2)，所以点C到平面PDA的距离是eq f(3r(7),2).3.(2015江苏，16)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1.又因为ACBC，CC

7、1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.4.(2014安徽，19)如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2eq r(17).点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积.(1)证明因为BC平面

8、GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)解连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在底面内，所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFHGK，所以POGK，且GK底面ABCD，从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB8，EB2得EBABKBDB14，从而KBeq f(1,4)DBeq f(1,2)OB，即K为OB的中点.再由POGK得G

9、Keq f(1,2)PO，即G是PB的中点，且GHeq f(1,2)BC4.由已知可得OB4eq r(2)，POeq r(PB2OB2)eq r(6832)6，所以GK3.故四边形GEFH的面积Seq f(GHEF,2)GKeq f(48,2)318.5.(2013新课标全国，18)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点.(1)证明：BC1平面A1CD；(2)设AA1ACCB2，AB2eq r(2)，求三棱锥CA1DE的体积.(1)证明连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点.又D是AB中点，连接DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以B

10、C1平面A1CD.(2)解因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD.由已知ACCB，D为AB的中点，所以CDAB.又AA1ABA，于是CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2，AB2eq r(2)得ACB90，CDeq r(2)，A1Deq r(6)，DEeq r(3)，A1E3，故A1D2DE2A1E2，即DEA1D.所以VCA1DEeq f(1,3)eq f(1,2)eq r(6)eq r(3)eq r(2)1.二、垂直部分5.(2015新课标全国，18)如图，四边形ABCD为菱形，G是AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AE

11、EC，三棱锥EACD的体积为eq f(r(6),3)，求该三棱锥的侧面积.解(1)因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCeq f(r(3),2)x，GBGDeq f(x,2).因为AEEC，所以在Rt AEC中，可得EGeq f(r(3),2)x.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEeq f(r(2),2)x.由已知得，三棱锥EACD的体积VEACDeq f(1,3)eq f(1,2)ACGDBEeq f(r(6),24

12、)x3eq f(r(6),3).故x2.从而可得AEECEDeq r(6).所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为eq r(5).故三棱锥EACD的侧面积为32eq r(5).6.(2015安徽，19)如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱锥PABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求eq f(PM,MC)的值.(1)解由题设AB1，AC2，BAC60，可得SABCeq f(1,2)ABACsin 60eq f(r(3),2).由PA平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高，又PA1.所以三棱锥PABC的体

13、积Veq f(1,3)SABCPAeq f(r(3),6).(2)证明在平面ABC内，过点B作BNAC，垂足为N，在平面PAC内，过点N作MNPA交PC于点M，连接BM.由PA平面ABC知PAAC，所以MNAC.由于BNMNN，故AC平面MBN，又BM平面MBN，所以ACBM.在RtBAN中，ANABcosBACeq f(1,2)，从而NCACANeq f(3,2)，由MNPA，得eq f(PM,MC)eq f(AN,NC)eq f(1,3).7.(2014新课标全国，19)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C.(1)证明：B1CA

14、B；(2)若ACAB1，CBB160，BC1，求三棱柱ABCA1B1C1的高.(1)证明连接BC1，则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C，所以B1CAO，又因为BC1AOO，所以B1C平面ABO.由于AB平面ABO，故B1CAB.(2)解作ODBC，垂足为D，连接AD.作OHAD，垂足为H.由于BCAO，BCOD，AOODO，故BC平面AOD，所以OHBC.又OHAD，所以OH平面ABC.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形，又BC1，可得ODeq f(r(3),4).由于ACAB1，所以OAeq f(1,2)B1Ceq f(1

15、,2).由OHADODOA，且ADeq r(OD2OA2)eq f(r(7),4)，得OHeq f(r(21),14).又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为eq f(r(21),7).故三棱柱ABCA1B1C1的高为eq f(r(21),7).8.(2013北京，17)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD平面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点.求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD

16、，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以ABED为平行四边形，所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.且PAADA，所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.所以CDEF.又CDBE，EFBEE，所以CD平面BEF.且CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.9.(2015四川，18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不

17、需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并证明你的结论.(3)证明：直线DF平面BEG.(1)解点F，G，H的位置如图所示.(2)证明平面BEG平面ACH，证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BCFG，BCFG，又FGEH，FGEH，所以BCEH，BCEH，于是BCHE为平行四边形，所以BECH，又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH，同理BG平面ACH，又BEBGB，所以平面BEG平面ACH.(3)证明连接FH，因为ABCDEFGH为正方体，所以DH平面EFGH，因为EG平面EFGH，所以DHEG，又EGFH，EGFHO，所以EG平面BFHD，又DF平

18、面BFHD，所以DFEG，同理DFBG，又EGBGG，所以DF平面BEG.10. (2012天津，17)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC1，PC2eq r(3)，PDCD2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；(2)证明平面PDC平面ABCD；(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.(1)解如图，在四棱锥PABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以ADBC且ADBC.又因为ADPD，故PAD为异面直线PA与BC所成的角.又因为ADPD，在RtPDA中，tanPADeq f(PD,AD)2.所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2.(2)证明由于底面ABCD是矩形，故ADCD，又由于ADPD，CDPDD，因此AD平面PDC，而AD平面ABCD，所以平面PDC平面ABCD.(3)解在平面PDC内