全国初中数学知识竞赛试题及答案

1、第 页(第3题图)2020年全国初中数学知识竞赛试题及答案(精华版)一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给 出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的 .请将正 确结论的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填，得零分)5 22 221 若 4x 3y 6z=0, x+2y 7z=0(xyz0)，则一2 2 务 的值等于2x 3y 10z( ).(A) I(B)19(C) 15(D)132 22.在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g需增加邮费0. 80元(信的质量在100g以

2、内)。如果所寄一封信的质量为72. 5g,那么应付邮费().(A) 2. 4 元(B)2. 8 元 (C)3 元 (D)3. 2 元3.如下图所示，/A+Z B+Z C+Z D+Z E+ / F+ / G=(A)360(B)450(C)540(D)720F第1页 四条线段的长分别为9, 5, X, 1 （其中x为正实数），用它们拼成 两个直角三角形，且 AB与CD是其中的两条线段（如上图），则x可 取值的个数为（）.（A）2 个（B）3 个（C）4 个（D） 6 个 某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数3）,且要求各行的人

3、数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一 排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有（）.（A）1 种（B）2 种（C）4 种（D） 0 种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30 分）6.已知X3，那么代1 1X24 x 27.若实数x, y, z满足x - 4 ,yy 1 1 , z - 7，贝y xyz 的值zx 38观察下列图形:根据图、的规律，图中三角形的个数为9 .如图所示，已知电线杆 AB直立于地 面上，它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面BC上，如果CD与地面成450,/ A=60o CD=4m, BC= 4后 20，那么就可以交换b，C的位置，这称为

4、一次操 作(1)若圆周上依次放着数1, 2, 3, 4，5, 6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a , b, c, d,都有(a d)(b c) 0?请说明理由.(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1,2,，2003,问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连 的4个数a, b, c, d,都有(a d)(b c) 0?请说明理由.解：(1)(2)第 页D参考答案与评分标准一、选择题（每小题6分，满分30 分） TOC o 1-5 h z D由4X 3y 6Z ，解得 3z，代入即得.x 2y 7z 0,y 2z.D因为20X 372.52

5、0X 4,所以根据题意，可知需付邮费0.8X 4=3.2（元）C如图所示，/ B+ / BMN+ / E+ / G=360,Z FNM + / F+ / A+ /C=360,而/ BMN +Z FNM 二/D + 180,所以/ A+ / B+ / C+Z D + Z E+ / F+Z G=540 .BAGCMNFE第11页B(第3题图)(第4题图)4. D B设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别 为k，k+1，k+2，k+ (n 1),由题意可知kn血卫100，即2n2k n 1200.因为k, n都是正整数，且n3,所以nb, ac,由题设知a0,4且 b+c= 2-a

6、， bc .a于是b，c是一元二次方程x2 (2 a)x - 0的两实根，a(2 a)2 4 - 0,aa3 4a2 4a 16 0, (a2 4)(a 4) 0.所以 a4. (8分)又当a=4, b=c=-1时，满足题意.故a,b,c中最大者的最小值为4.(10分)(2)因为abc0,所以a, b, c为全大于0或一正二负.若a, b, c均大于0,则由(1)知，a, b, c中的最大者不小于4,这与a+b+c=2矛盾.若 a, b, c 为或一正二负，设 a0, b0, c4,故2a-2 6,当a=4, b=c=-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立。故|a b |c的最小值为6.(1

7、5分)13A.如图所示，OO的直径的长是关于X的二次方程x2 2(k 2)x kPA(k是整数)的最大整数根.P是。O外一点，过点P作。O的切线和割线PBC,其中A为切点，点B, C是直线PBC与。O的交点.PA，PB，PC的长都是正整数，且 PB的长不是合数，求 PA2 PB2 PC2的值.解：设方程x2 2(k2)x k 0的两个X1，X2，X1 X2 .由根与系数的关系得XiX24 2k，x1x2由题设及知,X1, X2都是整数.从，消去k,得2x1 x2 x x24，(2xi1)(2X2 1) 9.由上式知,X24，且当k=0时，X2 4，故最大的整数根为4.于是O O的直径为4,所以

8、BC0，那么就可以交换b，C的位置，这称为一次操 作若圆周上依次放着数1, 2, 3, 4, 5, 6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a, b, c, d,都有(a d)(b c) 0?请说明理由. 若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1,2,，2003,问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(a d)(b c) 0交换2，5(1 2)(3 4)0 十 交换3，4*( 5分)(2)答案是肯定的.考虑这2003个数的相邻两数乘积之和为 P. (7分)开始时，P0=1 X 2+2 X 3+3 X 4+ +2002 X 2003+2003X1,经过 k( k 0)次操作后，这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk，此时若圆周上依次相连的4个数a, b, c, d满足不等式(a d)(b c) 0，即ab+cdac+bd，交换b, c的位置后，这2003个数的相邻两数乘积之和 为Pk i，有Pk 1 Pk (