高中物理选择性必修37.4.2超几何分布

1、7.4.2超几何分布课标要求素养要求1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值.2.能用超几何分布解决简单的实际问题.通过本节课的学习，提升数学抽象及数据分析素养.新知探究2020年春节前一场新型冠状病毒肺炎像场风一样，席卷了全国，中国湖北成为重灾区，为了更好地支援湖北抗击疫情，某医院派出16名护士，4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去黄冈支援，设X表示其中内科医生的人数问题X的可能取值有哪些，你能求出当X2时对应的概率吗？这里的X的概率分布有怎样的规律？提示X的可能取值为0，1，2，3，其中P(X2) eq f(Ceq oal(2,4)Ceq oal(1,16),Ceq

2、 oal(3,20)，X的概率分布符合超几何分布，这就是这节课我们要重点研究的问题1超几何分布超几何分布模型是一种不放回抽样一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(Xk)eq f(Ceq oal(k,M)Ceq oal(nk,NM),Ceq oal(n,N)，km，m1，m2，r.其中n，N，MN* ，MN，nN，mmax0，nNM，rminn，M如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布2超几何分布的期望E(X)eq f(nM,N)np(p为N件产品的次品率)拓展深化 微

3、判断1超几何分布的总体里只有两类物品()2超几何分布的模型是不放回抽样()3超几何分布与二项分布的期望值都为np.()微训练1设袋中有80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为()A.eq f(Ceq oal(4,80)Ceq oal(6,10),Ceq oal(10,100) B.eq f(Ceq oal(6,80)Ceq oal(4,10),Ceq oal(10,100)C.eq f(Ceq oal(4,80)Ceq oal(6,20),Ceq oal(10,100) D.eq f(Ceq oal(6,80)Ceq oal(4,20),Ceq oal(10,1

4、00)解析取出的红球个数服从参数为N100，M80，n10的超几何分布由超几何分布的概率公式，知从中取出的10个球中恰有6个红球的概率为eq f(Ceq oal(6,80)Ceq oal(4,20),Ceq oal(10,100).答案D2在含有5名男生的100名学生中，任选3人，求恰有2名男生的概率表达式为_解析由超几何分布的概率公式得所求概率表达式为eq f(Ceq oal(2,5)Ceq oal(1,95),Ceq oal(3,100).答案eq f(Ceq oal(2,5)Ceq oal(1,95),Ceq oal(3,100)微思考超几何分布模型在形式上有怎样的特点？提示在形式上适合

5、超几何分布的模型常由较明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”等题型一利用超几何分布的公式求概率【例1】在元旦晚会上，数学老师设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率(结果保留两位小数)解设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中N30，M10，n5，于是中奖的概率为P(X3)P(X3)P(X4)P(X5)eq f(Ceq oal(3,10)Ceq oal(53,20),Ceq oal(5,1020)eq f(Ceq oal(4,10)Ceq oal(54,20),Ceq oal(

6、5,1020)eq f(Ceq oal(5,10)Ceq oal(55,20),Ceq oal(5,1020)eq f(12019021020252,Ceq oal(5,30)eq f(27 252,142 506)0.19.规律方法超几何分布是一种常见的随机变量的分布，所求概率分布问题由明显的两部分组成，或可转化为明显的两部分.【训练1】某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为()A.eq f(8,15) B.eq f(7,15) C.eq f(4,15) D.eq f(1,15)解析由题意可得所求概率为eq f(Ceq oal(1,7)Ceq oal(

7、1,3),Ceq oal(2,10)eq f(Ceq oal(0,7)Ceq oal(2,3),Ceq oal(2,10)eq f(8,15).答案A题型二超几何分布的分布列【例2】某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列解(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人代表队中的学生全从

8、B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为eq f(Ceq oal(3,3)Ceq oal(3,4),Ceq oal(3,6)Ceq oal(3,6)eq f(1,100).因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1eq f(1,100)eq f(99,100).(2)根据题意，知X的所有可能取值为1，2，3.P(X1)eq f(Ceq oal(1,3)Ceq oal(3,3),Ceq oal(4,6)eq f(1,5)，P(X2)eq f(Ceq oal(2,3)Ceq oal(2,3),Ceq oal(4,6)eq f(3,5)，P(X3)eq f(Ceq oal(3,3)C

9、eq oal(1,3),Ceq oal(4,6)eq f(1,5).所以X的分布列为X123Peq f(1,5)eq f(3,5)eq f(1,5)规律方法解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(Xk)，从而求出X的分布列【训练2】从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；(2)求所选3人中男生人数X的分布列解(1)所选3人中恰有一名男生的概率Peq f(C

10、eq oal(2,5)Ceq oal(1,4),Ceq oal(3,9)eq f(10,21).(2)X的可能取值为0，1，2，3.P(X0)eq f(Ceq oal(3,5),Ceq oal(3,9)eq f(5,42)，P(X1)eq f(Ceq oal(2,5)Ceq oal(1,4),Ceq oal(3,9)eq f(10,21)，P(X2)eq f(Ceq oal(1,5)Ceq oal(2,4),Ceq oal(3,9)eq f(5,14)，P(X3)eq f(Ceq oal(3,4),Ceq oal(3,9)eq f(1,21).X的分布列为X0123Peq f(5,42)eq

11、f(10,21)eq f(5,14)eq f(1,21)题型三超几何分布的综合应用【例3】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及期望解(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)eq f(Ceq oal(1,3)Ceq oal(2,7)Ceq oal(0,3)Ceq oal(3,7),

12、Ceq oal(3,10)eq f(49,60).所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为eq f(49,60).(2)依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N10，M4，n3，且随机变量X的可能值为0，1，2，3.P(Xk)eq f(Ceq oal(k,4)Ceq oal(3k,6),Ceq oal(3,10)(k0，1，2，3)所以随机变量X的分布列是X0123Peq f(1,6)eq f(1,2)eq f(3,10)eq f(1,30)所以随机变量X的期望值为E(X)0eq f(1,6)1eq f(1,2)2eq f(3,10)3eq f(1,30)1.2(或E(X)eq f(3

13、4,10)1.2)规律方法超几何分布均值的计算公式若一个随机变量X的分布列服从超几何分布，则E(X)eq f(nM,N).【训练3】一个口袋内有n(n3)个大小相同的球，其中有3个红球和(n3)个白球已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是eq f(3,5).不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数X的期望E(X)解从口袋中随机取出一个球是红球的概率是eq f(3,5)，eq f(3,n)eq f(3,5)，n5，5个球中有2个白球白球的个数X可取0，1，2.P(X0)eq f(Ceq oal(3,3),Ceq oal(3,5)eq f(1,10)，P(X1)eq f(Ceq oal(

14、2,3)Ceq oal(1,2),Ceq oal(3,5)eq f(3,5)，P(X2)eq f(Ceq oal(1,3)Ceq oal(2,2),Ceq oal(3,5)eq f(3,10)，E(X)eq f(1,10)0eq f(3,5)1eq f(3,10)2eq f(6,5).一、素养落地1通过本节课的学习，提升数学抽象及数据分析素养2超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N，M和n就可以根据公式：P(Xk)eq f(Ceq oal(k,M)Ceq oal(nk,NM),Ceq oal(n,N)求出X取不同k值时的概率3超几何分布模型是一种不放回抽样二、素养

15、训练1今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，则出现二级品的概率为()A.eq f(Ceq oal(3,5),Ceq oal(3,50) B.eq f(Ceq oal(1,5)Ceq oal(2,5)Ceq oal(3,5),Ceq oal(3,50)C1eq f(Ceq oal(3,45),Ceq oal(3,50) D.eq f(Ceq oal(1,5)Ceq oal(2,5)Ceq oal(2,5)Ceq oal(1,45),Ceq oal(3,50)解析出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为eq f(Ceq oal(3,45),Ceq oal(3,50

16、)，故答案为1eq f(Ceq oal(3,45),Ceq oal(3,50).答案C2已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于eq f(Ceq oal(4,7)Ceq oal(6,8),Ceq oal(10,15)的是()AP(X2)BP(X2)CP(X4) DP(X4)解析X服从超几何分布，P(X4)eq f(Ceq oal(4,7)Ceq oal(6,8),Ceq oal(10,15).答案C3从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为_解析设所选女生数为随机变量X

17、，X服从超几何分布，P(X1)P(X0)P(X1)eq f(Ceq oal(0,2)Ceq oal(3,4),Ceq oal(3,6)eq f(Ceq oal(1,2)Ceq oal(2,4),Ceq oal(3,6)eq f(4,5).答案eq f(4,5)4从含有5个红球和3个白球的袋中任取3球，则所取出的3个球中恰有1个红球的概率为_解析设所取出的3个球中红球的个数为X，则X服从超几何分布，所以P(X1)eq f(Ceq oal(1,5)Ceq oal(2,3),Ceq oal(3,8)eq f(15,56).答案eq f(15,56)5交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球1

18、0个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，若摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列解设抽奖人所得钱数为随机变量X，则X2，6，10.P(X2)eq f(Ceq oal(2,8),Ceq oal(2,10)eq f(28,45)，P(X6)eq f(Ceq oal(1,8)Ceq oal(1,2),Ceq oal(2,10)eq f(16,45)，P(X10)eq f(Ceq oal(2,2),Ceq oal(2,10)eq f(1,45).故X的分布列为X2610Peq f(28,45)eq f(16,45)eq f(1,45)基础达标一、选择题1从

19、一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为()A.eq f(Ceq oal(3,4)Ceq oal(2,48),Ceq oal(5,52) B.eq f(Ceq oal(3,48)Ceq oal(2,4),Ceq oal(5,52)C1eq f(Ceq oal(1,48)Ceq oal(4,4),Ceq oal(5,52) D.eq f(Ceq oal(3,4)Ceq oal(2,48)Ceq oal(4,4)Ceq oal(1,48),Ceq oal(5,52)解析设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X3)P(X3)P(X4)eq f(Ceq oal(3,4

20、)Ceq oal(2,48),Ceq oal(5,52)eq f(Ceq oal(4,4)Ceq oal(1,48),Ceq oal(5,52).答案D2在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是()A.eq f(1,50) B.eq f(1,25) C.eq f(1,825) D.eq f(1,4 950)解析记X为抽出的2张中的中奖数，则P(X2)eq f(Ceq oal(2,4)Ceq oal(0,96),Ceq oal(2,100)eq f(1,825).答案C3设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为()A.eq f(Ceq

21、 oal(3,8)Ceq oal(1,4),Ceq oal(4,12) B.eq f(Ceq oal(1,8)Ceq oal(3,4)Ceq oal(2,8)Ceq oal(2,4),Ceq oal(4,12)C1eq f(Ceq oal(4,4),Ceq oal(4,12) D1eq f(Ceq oal(4,8),Ceq oal(4,12)解析从袋中任取4个球，其中红球的个数X服从参数为N12，M8，n4的超几何分布，故至多3个红球的概率为P(X3)1P(X4)1eq f(Ceq oal(4,8),Ceq oal(4,12).答案D4一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，

22、从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于eq f(Ceq oal(1,22)Ceq oal(1,4)Ceq oal(2,22),Ceq oal(2,26)的是()AP(0X2) BP(X1)CP(X1) DP(X2)解析本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率答案B5盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是eq f(3,10)的事件为()A恰有1个是坏的 B4个全是好的C恰有2个是好的 D至多有2个是坏的解析令“Xk”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，则P(Xk)eq f(Ceq oal(k,7)Ceq oal(4k,3)

23、,Ceq oal(4,10)(k1，2，3，4)所以P(X1)eq f(1,30)，P(X2)eq f(3,10)，P(X3)eq f(1,2)，P(X4)eq f(1,6)，故选C.答案C二、填空题6某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X1)_解析易知P(X1)eq f(Ceq oal(1,5)Ceq oal(1,15),Ceq oal(2,20)eq f(15,38).答案eq f(15,38)7有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台

24、，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为_(用式子表示)解析二级品不多于1台，即一级品有3台或4台，故所求概率为eq f(Ceq oal(1,3)Ceq oal(3,97)Ceq oal(4,97),Ceq oal(4,100).答案eq f(Ceq oal(1,3)Ceq oal(3,97)Ceq oal(4,97),Ceq oal(4,100)8袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量X，则X8的概率P(X8)_解析由题意知P(X8)1P(X6)P(X4)1eq f(Ceq oal(1,5)Ceq oal(3,4),Ceq o

25、al(4,9)eq f(Ceq oal(4,4),Ceq oal(4,9)eq f(5,6).答案eq f(5,6)三、解答题9老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量X的分布列；(2)他能及格的概率解(1)X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X0)eq f(Ceq oal(0,6)Ceq oal(3,4),Ceq oal(3,10)eq f(1,30)，P(X1)eq f(Ceq oal(1,6)Ceq oal(2,4),Ceq oal(3,10)eq f(3,10)，P(X2)eq f(Ceq

26、oal(2,6)Ceq oal(1,4),Ceq oal(3,10)eq f(1,2)，P(X3)eq f(Ceq oal(3,6)Ceq oal(0,4),Ceq oal(3,10)eq f(1,6).所以X的分布列为X0123Peq f(1,30)eq f(3,10)eq f(1,2)eq f(1,6)(2)他能及格的概率为P(X2)P(X2)P(X3)eq f(1,2)eq f(1,6)eq f(2,3).10某高级中学为更好地了解学生的学习和生活情况，以便给学生提供必要的帮助，在高一、高二、高三这三个年级分别邀请了10，15，25名学生代表进行调研(1)从参加调研的学生代表中，随机抽取

27、2名，求这2名学生代表来自不同年级的概率；(2)从参加调研的高一、高二年级学生代表中随机抽取2名，且X表示抽到的高一年级学生代表人数，求X的期望值解(1)共50名学生代表，抽取2名的样本点总数为Ceq oal(2,50)1 225.记“2名学生代表来自不同年级”为事件M，则事件M包含的样本点个数为Ceq oal(1,10)Ceq oal(1,15)Ceq oal(1,10)Ceq oal(1,25)Ceq oal(1,15)Ceq oal(1,25)775.根据古典概型的概率计算公式，得P(M)eq f(775,1 225)eq f(31,49).(2)高一、高二年级分别有10，15名学生代表

28、参加调研，从中抽取2名，抽到的高一年级的学生代表人数X的所有可能取值为0，1，2.P(X0)eq f(Ceq oal(0,10)Ceq oal(2,15),Ceq oal(2,25)eq f(7,20)，P(X1)eq f(Ceq oal(1,10)Ceq oal(1,15),Ceq oal(2,25)eq f(1,2)，P(X2)eq f(Ceq oal(2,10)Ceq oal(0,15),Ceq oal(2,25)eq f(3,20).所以X的分布列为X012Peq f(7,20)eq f(1,2)eq f(3,20)所以X的期望值E(X)0eq f(7,20)1eq f(1,2)2eq f(3,20)0.8.能力提升11一袋中装有10个大小相同的黑球和白球已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是eq f(7,9).从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X2)_解析设10个球中有白球m个，则eq f(Ceq oal(2,10m),Ceq oal(2,10)1eq f(7,9)，解得m5或m14(舍去)所以P(X2)eq f(Ceq oal(2,5)Ceq oal(1,5),Ceq oal(3,10)eq f(5,12).答案eq f(5,12)12在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券