近世代数 第16讲

1、第16讲第三章 环与域加群、环的定义(additive group and definition of ring)本讲的教学目的和要求：本讲开始在群理论的基础上讨论具有两 个二元运算的代数体系一环的基本性质.环也是近世代数中一类重要 的、基本的代数体系.由于它具有二个二元运算，所以不能避免地会迁 到在群论不能接触的概念.在群的讨论中，无论在思考问题,提出问题 的基本想法，还是在分析问题、解决问题的主要手法方面，对于近世 代数对于近世代数来说，都具有普遍的典型的意义。可以说基本上体 现了近世代数研究问题的格调与模式。这些对于环的讨论会有重要的 启发和借鉴作用。本讲中，主要介绍环的概念一环的主要特

2、性及它与 群的联系和区别。在教学还引出了一批环的类别。以及讨论了环在二 个运算方面具有的基本性质。由于是刚刚引入一种新的代数体系，所 以受到内容的限制，这一讲中不会碰到什么难点。但重点是：清楚环 这种代数体系中二种运算中的谐调关系。环的定义及例子定义 设#；+,.是具有两个代数运算的代数体系，如果它满足(1)R；+是一个加法交换群(2)r. 一个半群.r的乘法” ”对加法”+”满足左右分配律,Va, b, c e R艮P a(b + c) = ab + ac 且(b + c)aVa, b, c e R那么称R;+,.是一个环，在不产生混淆的前提下，可以记这个环为R .注意1.上定义中说到R;+

3、是加法交换群.意味着R;+满足群的四条,其中单位元为0零元.Va e R，a的逆元为一a a的负元.而R;.是乘法半群,意味着R对” ”满 足封闭和结合律.例1. R;+,.中设Z为整数集,”+”和” ”为Z中通常的整数加法和乘法.易知R;+,.是一个环.习惯上称它为整数环，记为Z .同理还有有理数环，实数环，复数环。上述的四个环都是由数组成。故称为数环.例 2.偶数集2Z = .,-6,-4,-2,0,2,4,6,.对于整数通常的加法和乘法也是一个环.例。3.设 Zi = a + bi I Va,b e Z,按数的通常的加法也构成一个环，叫做高斯数环.例4.任取定一个数域F .由F上一切一付

4、元多项式组成的集合 Fx = a xn + a xn-1 + a x + a I a e F,n e N-1关于多项式nn-110 i通常的加法与乘法.也可构成一个环.这个环F x;+;.称为关于x的多项式，或一元多项式环.明示1.在例4中.若将数域F换成任一个数环,那么也能构成多项式环，譬如，取整数Z，则Zx - b xn + b xn-i hf b x + b I b e Z, n e N-1nn-110 i叫做，整系数多项式环.例5.取出数域F上的全部n阶方阵组成的集合，M (F) = (A = (a ) I a e F,1 i, j n关于矩阵的加法和乘法构成一个环，这个环M (F);

5、+;叫做n阶全矩阵环,或称为n阶矩阵环.明示2.在例5中，若用数环替代数域F后，结果仍成立，譬如.用偶数环替换F，得到M (2Z) = A = (a ) I a e 2Z,1 i, j n也是一个环.两个重要的环关于环，我们可以举出许许多多的例子.下面特别介绍两个用途 很广的环.(1)模m的剩余类环匕;+,.在第二章里，我们曾讨论模m的剩余类加群 Z ,+ Z = 0,1,.,m -1.(其中加群Z中的加法采用“钟表加法”). 为做zm成为一个环，首先要对Z.再定义乘法” ”：ij = ij:3 = 6.显然,这里也采用了 “钟表计数法”于是可以验证Z ;+,.是一个环.为了方便起见，特取m

6、= 6,现考察Z6；+,.是一个环.事实上：(1)Z6，+正是模6剩余类加群(第二章)(2)z 6，.是半群.从右边的乘法运算表可知Z，-对乘法封闭, 事实上：(1)Z6，+正是模6剩余类加群(第二章)(2)z 6，.是半群.从右边的乘法运算表可知Z，-对乘法封闭, 而满足结合律需要验算63次.(略).0 1 2 3 4 50 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5234500002402434502430304321 Va.b.c g Z6 .可知a(b + c) = ab + c = a (b + c) = ab + ac = ab + ac = a b + ac二a (b +

7、c) = a b + a c.同理有(b + c)a = ba + ca 由上(1),(2),(3) =Z6；+,.是一个环.(2)加群G的自同态环End(G);+,设G;+是一个加法群.若中:G T G是G的一个自同态映射是 指: Va,b g G卬(a + b)=中(a) +中(b).令End(G) = 中I中:G T G卬为自同态映射.我们将把End(G)构造成一个环：规定 End (G) 中一个加法”+” :V 具 g End(G).那么(b+c)(g) =。(g) +t (g).Vg g G,于是有Va, b g G.(b +c )(a + b) = b (a + b) +c (a

8、+ b) = b (a) +b (b) + c (a) +c (b) =b (a) +c (a) + b (a) +c (b) = (b +c )(a) + (b +c )(b)(b +c )(a + b) = (b +c )(a) + (b +c )(b) nb+c g End(G)即上述的”+”是封闭的.规定 End (G) 中一个乘法” ”： Vb ,c g End(G).(JT)(a + Z?)=cyT(g).Vg eG,这明易验证(JT)(a + b) = (JT)(a) + (jt)(Z?) e End(G)下面应该验证EG);+,.是一个环.E湖(G);+是一个加群;事实上，(i

9、 )”+”在e”G)中是封闭的.(由上可知)c+(T + p)(g) = (cy +c)+p(g)nc +(t + p) = (c +t) + p Vg e G4?(g)= o,，可知 ? e End(G)Vg e G(设?为&的零同态映射).？?是End (G) 中的单位元(即零元)(2)若 eEnd(G那么的负元为/ ,其中(7)(g) = 7(g)EG);.为半群(略)g(G);+, 满足左，右分配律(略)由，和知EG);+, 为环,叫做加群G的自同态环.环的简单性质因为环的英文名为”Ring”，所以习惯上用”R”表示环,设R是一个环，那么有如下性质./a,b,c g R. n,mw N

10、*性质1： c(a -b) = ca-cb 且 (a - b)c = ac-ab性质 2： Qa = aQ = Q性质 3： (a)b = a(-b) = -ab性质 4： (-a)(-Z?) = ab性质5：若a ,a , ,a cR,那么 12m a = a + a HF ai=1性质 6：( a )( b ) = (a + a )(b + b )ij1m 1ni=1j=1=a b + a b + a b + a b1 11 21 nm 1= !Ea b， 也就是说i = 1 j = 1（乙.）（，）卫性质7:(na )b = (a + a + + a )b = ab + ab + ab = n( ab)K7a (nb) = a (b + b + +b) = gb + ab +曲,=n(a